翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐探討

摘 要：翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式是在信息技術(shù)的支持下實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的翻轉(zhuǎn)，在課堂教學(xué)前教師通過向?qū)W生分享教學(xué)視頻的方式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課程知識(shí)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)過程中重點(diǎn)幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和效果。本文從翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式入手，針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效改進(jìn)和創(chuàng)新教學(xué)模式的措施進(jìn)行了系統(tǒng)的探究，旨在能發(fā)揮翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)優(yōu)勢(shì)，使高中數(shù)學(xué)教學(xué)能高效率、多維度開展。

關(guān)鍵詞：翻轉(zhuǎn)課堂;高中;數(shù)學(xué)教學(xué);教學(xué)改革

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式是在信息技術(shù)的支撐下能對(duì)課堂教學(xué)和課外教學(xué)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)的教學(xué)模式。在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下，教師和學(xué)生的地位會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的變化，學(xué)生轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)活動(dòng)的主體力量，教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)課程知識(shí)的引導(dǎo)者、幫助者和合作者，使學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解能力有所提升。因此新時(shí)期在對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行改革的過程中，教師要深刻認(rèn)識(shí)到翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，并緊密結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的現(xiàn)實(shí)需求，探尋有效開展教學(xué)改革活動(dòng)的措施，確保能對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力進(jìn)行鍛煉，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)的綜合效率和效果。

一、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式發(fā)源于美國(guó)，最初是教師為了幫助學(xué)生趕上學(xué)習(xí)進(jìn)度，采用現(xiàn)代化軟件將課堂教學(xué)錄制成為視頻的形式，并在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上分享給學(xué)生，讓缺課學(xué)生在家也能夠通過觀看視頻進(jìn)行學(xué)習(xí)，其他學(xué)生可以結(jié)合視頻對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固和復(fù)習(xí)。翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式融入我國(guó)當(dāng)前教學(xué)改革實(shí)踐中，成為打破傳統(tǒng)教學(xué)時(shí)空限制的重要方法，在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下，教師能引導(dǎo)學(xué)生借助現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，并且在教學(xué)視頻的支持下為學(xué)生營(yíng)造出相對(duì)動(dòng)態(tài)化的學(xué)習(xí)環(huán)境，確保學(xué)生可以結(jié)合自己實(shí)際情況，在互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)上通過下載教學(xué)視頻對(duì)課程知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，在課堂上與其他同學(xué)進(jìn)行溝通和交流，并在教師的指導(dǎo)下解決學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，突出教學(xué)指導(dǎo)的針對(duì)性和有效性，促進(jìn)因材施教思想和有教無(wú)類思想的深入貫徹落實(shí)，使學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)更加全面、系統(tǒng)，能產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)性化理解和認(rèn)識(shí)[1]。翻轉(zhuǎn)課堂的實(shí)踐應(yīng)用為高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的創(chuàng)新推進(jìn)提供了有益補(bǔ)充，為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)提供良好的幫助。

二、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用，對(duì)教學(xué)改革產(chǎn)生了積極的影響，有助于促進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的全面創(chuàng)新，為學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行更好的學(xué)習(xí)搭建良好的平臺(tái)。

（一）有助于彰顯課堂教學(xué)活力

在高中階段的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，翻轉(zhuǎn)課堂能夠營(yíng)造和諧的教學(xué)氛圍，激活課堂教學(xué)的活力，從而讓學(xué)生能更加投入地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。在應(yīng)用數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)時(shí)，教師能引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行溝通和交流，實(shí)施針對(duì)性的指導(dǎo)，并在學(xué)生掌握一定數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)的情況下，根據(jù)教師的指導(dǎo)進(jìn)行討論探究，讓教師與學(xué)生之間、學(xué)生與學(xué)生之間能形成更好的互動(dòng)效果，充分彰顯課堂教學(xué)活力。

（二）有助于輔助學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系建構(gòu)

在高中階段組織開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過程中，教師采用翻轉(zhuǎn)課堂引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅能向?qū)W生講解數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，還能通過激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能連貫性地對(duì)知識(shí)進(jìn)行探索，從而結(jié)合舊知識(shí)的復(fù)習(xí)引入新知識(shí)的探索，讓學(xué)生可以體會(huì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)對(duì)另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋，并且在自主學(xué)習(xí)探究中，深刻認(rèn)識(shí)到不同數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，有助于幫助學(xué)生完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解掌握能力和遷移運(yùn)用能力，有效培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力[2]。

（三）有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力

在基于翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過程中，高中數(shù)學(xué)教師會(huì)有意識(shí)地針對(duì)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的應(yīng)用開展教學(xué)活動(dòng)。教師在教學(xué)實(shí)踐中能鼓勵(lì)學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)進(jìn)行探索，在通過視頻輔助促進(jìn)學(xué)生對(duì)課程知識(shí)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的自主探究能力會(huì)得到相應(yīng)的鍛煉，提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力和效果，為學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的系統(tǒng)探究創(chuàng)造良好的條件。這樣在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的支撐下，就能引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)，學(xué)生在自主探究過程中可以產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獨(dú)特理解，也能找到適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧和方法，能全面優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和整體水平。

三、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式是近幾年受到廣泛關(guān)注的教學(xué)模式，通過課堂教學(xué)活動(dòng)的有效翻轉(zhuǎn)，達(dá)到學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的有效學(xué)習(xí)，有助于全面提高課堂教學(xué)活動(dòng)的整體質(zhì)量和水平。本文為驗(yàn)證翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)效果，主要選取了立體幾何“直線與平面平行”相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)針對(duì)課堂教學(xué)改革進(jìn)行探究。

（一）課前視頻引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的作用下，課前環(huán)節(jié)要通過視頻教學(xué)的方式對(duì)學(xué)生做出相應(yīng)的引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的自主探究，讓學(xué)生能通過課前視頻自主學(xué)習(xí)，掌握立體幾何方面數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)，能對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)形成深刻的認(rèn)識(shí)，從而在課堂上按照教師的引導(dǎo)進(jìn)行深層次的探索。在實(shí)際開展教學(xué)活動(dòng)的過程中，教師可以在課前引導(dǎo)視頻中講解基礎(chǔ)知識(shí)，并且為學(xué)生布置自主探究任務(wù)，確保課前學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中能充分彰顯主觀能動(dòng)性，有效引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教師布置的數(shù)學(xué)任務(wù)進(jìn)行探究，確保學(xué)生在自主探究、提出質(zhì)疑的基礎(chǔ)上形成對(duì)課程知識(shí)的深入理解。

例如：在“直線與平面平行”教學(xué)中，教師要先通過教材分析和教學(xué)要點(diǎn)分析，明確本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)主要是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行確定、幫助學(xué)生了解直線與平面平行的判定原理，能對(duì)直線與平面平行的性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)的解讀，并掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)原理解決實(shí)際問題的要點(diǎn)。以此為基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)教師在對(duì)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)視頻進(jìn)行設(shè)計(jì)的過程中，就可以采用視頻教學(xué)演示的方式為學(xué)生呈現(xiàn)與教材內(nèi)容、教學(xué)任務(wù)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，并在視頻中發(fā)布引導(dǎo)學(xué)生自主探究的探究任務(wù)，如“探究任務(wù)1.用我們手中的筆畫一條直線，用課本對(duì)平面進(jìn)行演示，你能發(fā)現(xiàn)平面和直線有怎樣的位置關(guān)系？探究任務(wù)2.結(jié)合公共點(diǎn)的情況，怎樣對(duì)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行分類？”通過課前探究任務(wù)的設(shè)計(jì)和教學(xué)視頻的引導(dǎo)，學(xué)生能在視頻的輔助下針對(duì)這方面的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究，掌握本節(jié)課的學(xué)習(xí)要點(diǎn)，并且通過適當(dāng)?shù)恼n前學(xué)習(xí)，對(duì)自己學(xué)習(xí)過程中遇到困難的地方進(jìn)行確定，為課堂討論探究做好準(zhǔn)備，促使教師能根據(jù)學(xué)生的狀態(tài)設(shè)置教學(xué)活動(dòng)，提高課堂教學(xué)的針對(duì)性。

（二）課堂小組討論，激活學(xué)生合作意識(shí)

在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下，在教師發(fā)布視頻教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生參與課前自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在課堂教學(xué)實(shí)踐中，可以將學(xué)生劃分為4-6個(gè)人的學(xué)習(xí)小組，讓學(xué)生根據(jù)自己在課前自主學(xué)習(xí)情況、課前學(xué)習(xí)過程中遇到的問題進(jìn)行小組討論，通過互相分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)逐步解決自己在學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，在討論結(jié)束后讓學(xué)生重點(diǎn)針對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)的探究。在此過程中，借助課堂小組討論教學(xué)，教師能有效激發(fā)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)意識(shí)，并且也能促使學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的合作學(xué)習(xí)取得良好的發(fā)展成效。

結(jié)合“直線與平面平行”教學(xué)內(nèi)容，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論的過程中，教師可以先讓學(xué)生針對(duì)課前學(xué)習(xí)結(jié)果和課前學(xué)習(xí)困惑進(jìn)行自主溝通和交流，然后為了對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)尿?yàn)證，可以讓學(xué)生在小組中針對(duì)具體的訓(xùn)練題進(jìn)行討論，通過適當(dāng)?shù)卦O(shè)置訓(xùn)練題幫助學(xué)生對(duì)課前自主學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行整合，并在小組討論的基礎(chǔ)上輔助教師對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)情況形成深層次的認(rèn)識(shí)。具體可以設(shè)計(jì)如下課堂小組討論訓(xùn)練題：“如果想要證明直線a與平面α是平行的，那么具體的步驟是應(yīng)首先說(shuō)明直線a與平面α ? ？然后需要在平面α內(nèi)找到 ? ，并證明直線與它 ? ，由直線與平面平行的定理可以證明存在平行關(guān)系?！币部梢栽O(shè)計(jì)更加復(fù)雜的訓(xùn)練題，讓學(xué)生在小組內(nèi)通過小組討論找到解決問題的正確答案，從而加深對(duì)課程內(nèi)容的理解。在學(xué)生完成小組討論和小組合作訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，教師針對(duì)學(xué)生在小組討論環(huán)節(jié)遇到的障礙和學(xué)習(xí)活動(dòng)中存在的不足之處，可以開展教學(xué)活動(dòng)，因材施教落實(shí)各項(xiàng)教學(xué)指導(dǎo)[3]。

（三）教師教學(xué)引導(dǎo)，解決學(xué)生學(xué)習(xí)困惑

在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下，教師的課堂教學(xué)指導(dǎo)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，教師在教學(xué)過程中根據(jù)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)變化情況對(duì)學(xué)生實(shí)施針對(duì)性的指導(dǎo)，能讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)所學(xué)課程知識(shí)的深層次認(rèn)識(shí)，有助于幫助學(xué)生找到解決數(shù)學(xué)問題的答案，也能讓學(xué)生在系統(tǒng)探究的基礎(chǔ)上探尋數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的實(shí)踐應(yīng)用，從而在深入理解的基礎(chǔ)上找到有效應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的技巧。所以在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，教師可以采用情境創(chuàng)設(shè)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)等教學(xué)方法輔助教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)造沉浸式的學(xué)習(xí)環(huán)境，啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的思考、探索和創(chuàng)新，在調(diào)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性的基礎(chǔ)上，使高中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)逐漸優(yōu)化。

在具體根據(jù)“直線與平面平行”課程教學(xué)開展教學(xué)活動(dòng)的過程中，教師可以先創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的教學(xué)情境，如“在我們的生活中，燈管的吊線與墻壁保持平行并且兩根燈管與房頂、地面都保持平行的關(guān)系，在生活中你認(rèn)為還有哪些例子？你覺得應(yīng)用‘直線與平面平行’方面的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決哪些生活問題？”在情境創(chuàng)設(shè)的作用下，教師可以初步吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，然后教師在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生在自主學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)對(duì)“直線與平面平行”證明不夠熟練、知識(shí)應(yīng)用存在障礙的情況，重點(diǎn)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)例題對(duì)學(xué)生實(shí)施針對(duì)性的講解，讓學(xué)生能在教師的指導(dǎo)下掌握有效解決問題的方法，對(duì)前期自主學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行鞏固。

（四）課后拓展訓(xùn)練，延伸翻轉(zhuǎn)教學(xué)影響

在構(gòu)建翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的過程中，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到不僅要對(duì)課堂教學(xué)組織形式進(jìn)行創(chuàng)新開發(fā)，凸顯翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的效果，還要在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)理念的支撐下不斷對(duì)學(xué)生課后實(shí)踐訓(xùn)練的推進(jìn)進(jìn)行創(chuàng)新開發(fā)，使翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的影響力得到進(jìn)一步彰顯。在教學(xué)中教師可以綜合分析課堂教學(xué)的成果，探尋翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)與其他課后鞏固訓(xùn)練的契合點(diǎn)，從而選擇合適的方式落實(shí)課后鞏固訓(xùn)練，凸顯課后鞏固訓(xùn)練的個(gè)性化、開放化，滿足不同層次學(xué)生的差異化學(xué)習(xí)和訓(xùn)練需求[4]。

例如：在“直線與平面平行”教學(xué)后，教師就可以根據(jù)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)“直線與平面平行”相關(guān)知識(shí)、參與具體習(xí)題訓(xùn)練的表現(xiàn)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)層次進(jìn)行判斷，然后依托翻轉(zhuǎn)課堂，在線上教學(xué)平臺(tái)為學(xué)生提供多層次的“直線與平面平行”數(shù)學(xué)訓(xùn)練題，也可以提供多類型的數(shù)學(xué)訓(xùn)練題，讓學(xué)生在課后環(huán)節(jié)結(jié)合自身學(xué)習(xí)“直線與平面平行”課程知識(shí)的實(shí)際情況，選擇基礎(chǔ)訓(xùn)練類型的鞏固方式、實(shí)踐驗(yàn)證類型的鞏固方式、挑戰(zhàn)自我類型的鞏固方式等，也可以讓學(xué)生在課后鞏固訓(xùn)練中，以小組為單位通過互相交流和互相幫助，完成教師所布置的綜合訓(xùn)練任務(wù)，真正把握不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，形成對(duì)本節(jié)課程內(nèi)容的全面系統(tǒng)認(rèn)識(shí)和理解，最大限度地發(fā)揮多渠道課后鞏固訓(xùn)練的效果，使翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)組織效果得到進(jìn)一步優(yōu)化和提升，為高中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次探究創(chuàng)造良好的鞏固訓(xùn)練條件，從而有效凸顯翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下課堂教學(xué)活動(dòng)的綜合效果，助力學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)。

結(jié)束語(yǔ)

在全面深化高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)改革的過程中，把握翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的內(nèi)涵和優(yōu)勢(shì)，通過引導(dǎo)教師和學(xué)生之間角色的互換開展教學(xué)活動(dòng)，能將課堂教學(xué)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。教師可以綜合分析學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和學(xué)習(xí)規(guī)律開展數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)工作，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)自主性的顯著提升，為學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的有效學(xué)習(xí)和系統(tǒng)探索創(chuàng)造條件。因此，要把握翻轉(zhuǎn)課堂的核心思想內(nèi)涵，就要從多角度探索翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的有效融合和多元化滲透，重點(diǎn)開發(fā)完善的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)組織體系，支撐學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的深度挖掘，從而構(gòu)建高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)組織體系。

參考文獻(xiàn)

[1]姚斌.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].基礎(chǔ)教育論壇，2021，36（31）：95-97.

[2]孫娟.思維導(dǎo)圖優(yōu)化高中數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的探究[J].智力，2021，25（30）：64-66.

[3]劉旭.“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式在高中歷史教學(xué)中的運(yùn)用探索[J].高考，2021，33（25）：137-138.

[4]李德志.高效“6+1”教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)特色課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].教師，2021，25（24）：33-34.

作者簡(jiǎn)介：卜凡蕾（1978— ），男，漢族，山東日照人，山東省日照海曲高級(jí)中學(xué)，中學(xué)一級(jí)，學(xué)士學(xué)位。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。