基于小學(xué)生解決“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”能力提升的實踐研究

馬華平

“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”屬于“解決問題”的范疇，是相對于“常規(guī)數(shù)學(xué)問題”而言的，是指學(xué)生無法用現(xiàn)成的、常規(guī)的方法解決數(shù)學(xué)問題。它包括讓學(xué)生用多種方法解決一個問題、解釋或證明一種解決方法、完成一個需要多步計算且有多種結(jié)果的過程、根據(jù)情境建立數(shù)學(xué)模型等，解決“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”往往需要學(xué)生進行更多的閱讀、比較、抽象、推理、計劃、分析、判斷、創(chuàng)造等，它不再聚焦于某一單項能力的考核，更側(cè)重于考查學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，是衡量學(xué)生是否理解數(shù)學(xué)知識的重要指標，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著舉足輕重的作用。

一、串聯(lián)知識體系，基于“整體關(guān)聯(lián)”深度研讀教材

數(shù)學(xué)本身就是一個知識系統(tǒng)，不同領(lǐng)域之間存在著一定的關(guān)聯(lián)，同一內(nèi)容不同知識點之間也存在著內(nèi)在的邏輯關(guān)系。教師對于數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵本質(zhì)，首先要有“知其然并知其所以然”的通透理解，站在“整體關(guān)聯(lián)”的角度，去分析每個知識點的前學(xué)習(xí)支撐點、現(xiàn)實學(xué)習(xí)起點以及后續(xù)學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)點，研判每一個知識點在整個知識體系中的坐標、價值、蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、體現(xiàn)的數(shù)學(xué)精神等，厘清各知識點之間的內(nèi)在邏輯、層級序列、前后關(guān)系，并有意識地在教學(xué)中整體建構(gòu)。

如，長度單位厘米的認識、分米的認識、米和毫米的認識，這三個課時從基本知識、基本技能看，有著共通之處，前一課是后一課的基礎(chǔ)，后一課是前一課的延續(xù)和補充，因此在教學(xué)中，溝通三者之間的縱向聯(lián)系和橫向異同非常重要。同時因測量對象的不同，學(xué)生還可以自主遷移至更大和更小的長度單位。而長度單位的學(xué)習(xí)經(jīng)驗又可以遷移到面積單位、容積單位、體積單位、時間單位、質(zhì)量單位等，當(dāng)知識間的脈絡(luò)打通后，就可以形成關(guān)于度量知識的整體知識系統(tǒng)。

教師通過對教材系統(tǒng)化的整體研讀，教學(xué)視野、備課的質(zhì)態(tài)、統(tǒng)領(lǐng)課堂的能力、專業(yè)成長等都會有一定的提升，能有效幫助學(xué)生聚焦知識本質(zhì)，突破單一知識結(jié)構(gòu)，學(xué)會用運動、練習(xí)、發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué)問題，形成主動遷移的學(xué)習(xí)能力。

二、立足多元開放，基于“學(xué)力提升”變革學(xué)生思維方式

“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”往往存在于一個真實的、復(fù)雜的情境中，信息量大，沒有固定的解題思路。課堂中，教師需要改變傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式，借助恰當(dāng)?shù)摹敖虒W(xué)材料”，通過開放性問題、變式練習(xí)、題組對比、習(xí)題重組等，讓學(xué)生經(jīng)歷分類、聚焦、辨析、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動，通過數(shù)學(xué)語言、圖示、操作等方法展示數(shù)學(xué)思維過程，從不同的角度感受數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，實現(xiàn)從表征到結(jié)構(gòu)、從表象到要素的深入學(xué)習(xí)，以高階思維“包裹”學(xué)生學(xué)習(xí)。

如，教學(xué)“圓柱的體積”時，學(xué)生通過將圓柱的底面平均分成16份，得到一個近似的長方體，并在實驗操作中推導(dǎo)出圓柱的體積=底面積×高。隨后，教師將轉(zhuǎn)化后長方體翻轉(zhuǎn)擺放（如下圖），追問：現(xiàn)在長方體的底面積相當(dāng)于圓柱的什么？長方體的高相當(dāng)于圓柱的什么？圓柱的體積公式還可以怎樣表示？這個長方體還可以怎樣翻轉(zhuǎn)呢？翻轉(zhuǎn)后你們又發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過觀察比較、合作交流、質(zhì)疑思辨等，自然卷入學(xué)習(xí)過程，發(fā)現(xiàn)圓柱的體積還可以從不同的角度去思考，但不管從哪一個角度去思考，最終都能得到“圓柱的體積=底面積×高”這一結(jié)論，既深化了對圓柱體積的認識，又拓寬了學(xué)生根據(jù)實際條件靈活解決圓柱體積問題的能力，積累了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，開闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。

三、創(chuàng)編練習(xí)形式，基于“靶向發(fā)力”提升學(xué)生思維層次

在日常教學(xué)中，教師要善于做有心人，跳出“常規(guī)數(shù)學(xué)問題”的局限，有意識地挖掘“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”的素材，通過創(chuàng)設(shè)信息豐富而關(guān)聯(lián)性弱的相關(guān)文本，或綜合運用條件、文字、圖形、表格、繪畫等手段，積極創(chuàng)編“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”，讓學(xué)生耳熟能詳?shù)臄?shù)學(xué)問題變得有新鮮感、陌生感、挑戰(zhàn)感。通過創(chuàng)編，可以讓練習(xí)本身成為“信息源”，向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)常識、數(shù)學(xué)文化、人文歷史、趣味方法;可以讓解題過程成為“方法源”，讓學(xué)生感受問題解決的不同方法和策略，體會數(shù)學(xué)思想;還可以讓探究得到的規(guī)律、結(jié)果、證明等成為“條件源”，幫助學(xué)生去解決新的問題。

如，在百分數(shù)解決問題練習(xí)中，筆者就對一道練習(xí)題進行了如下改編：

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的障礙表明：當(dāng)關(guān)系越復(fù)雜、信息越多元時，學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙就會越大;當(dāng)抽象的數(shù)學(xué)知識融入具體的生活情境時，會增加學(xué)生知識遷移的難度。只有教師在平時的教學(xué)中多滲透引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生研究“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”中的相關(guān)術(shù)語、描述、說明等，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去認識數(shù)學(xué)問題，理解不同答案背后的思維方法，學(xué)生才會在復(fù)雜的條件中讀懂情境、分析信息、處理信息、運算求解、推理判斷，從而更全面整體地認識數(shù)學(xué)問題、更規(guī)范科學(xué)地理解數(shù)學(xué)知識、更多樣靈活地尋找解決“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”的策略。

四、開展數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)，基于“未來之人”培育學(xué)生的綜合素養(yǎng)

數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)課程為基礎(chǔ)，把教材、師生、學(xué)習(xí)時空、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)資源、學(xué)習(xí)技術(shù)等因素有效融合，將原本碎片化的教學(xué)內(nèi)容融入一個基于真實問題的項目之中，學(xué)生在一個個具體項目的研究中，通過“做”“考察”“探究”“設(shè)計”“創(chuàng)作”“想象”“表達”“反思”等一系列富有個性的研究方式，有效解決了實際問題，提升了學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

如，在六年級學(xué)習(xí)了百分數(shù)的相關(guān)知識后，聚焦生活中的現(xiàn)象，教師和學(xué)生一起，以“揭秘商家促銷”項目化學(xué)習(xí)為主題，開展實踐研究活動。（如下表）

這樣的項目化學(xué)習(xí)，把數(shù)學(xué)知識化為來自現(xiàn)實世界的真實問題，實現(xiàn)了資源的重組和經(jīng)驗的重構(gòu)。學(xué)生親臨其中，在真操作、真思考、真協(xié)作、真研究、真反思、真收獲中實現(xiàn)了“在場”和“在思”的高度整合，關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)言語的自主覺醒，確保了學(xué)生學(xué)習(xí)的主角地位，發(fā)展了學(xué)生的公民意識，提高了學(xué)生解決“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”的實際能力。

綜上所述，“非常規(guī)數(shù)學(xué)問題”更側(cè)重于發(fā)展學(xué)生基于現(xiàn)實背景和真實問題解決的綜合能力，它通過對學(xué)習(xí)過程中情境、問題、素材、方式、評價等的革新升級，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實世界的意識和習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。