基于問(wèn)題解決感悟“模型”思想

錢里兵

數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分，在教學(xué)中有意滲透能幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想和方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就能使新知識(shí)較順利地納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。因此，筆者努力用比較寬廣的視野看待小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅考慮顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，用數(shù)學(xué)思想、方法來(lái)指導(dǎo)和帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，從而讓學(xué)生不斷形成解決問(wèn)題的意識(shí)。

一、將數(shù)學(xué)問(wèn)題“化繁為簡(jiǎn)”，感悟“模型”思想

數(shù)學(xué)教學(xué)不能只停留在知識(shí)和方法的層面，而要深入數(shù)學(xué)的“腹地”。優(yōu)化作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用它可有效地分析和解決問(wèn)題。在教學(xué)中，我通過(guò)層層推進(jìn)，將數(shù)學(xué)思考引向深入。在反饋和交流的過(guò)程中，學(xué)生學(xué)會(huì)把復(fù)雜的問(wèn)題納入已有模式之中，使原有的模型成為構(gòu)建和解決新問(wèn)題的工具。在數(shù)學(xué)思考中，學(xué)生的思維由“混沌”逐漸走向“清晰”，慢慢感悟著“優(yōu)化策略”的價(jià)值，體驗(yàn)著“模型”思想的無(wú)限魅力。

案例：“找次品”教學(xué)片段

師：老師想考驗(yàn)一下咱們班同學(xué)的數(shù)學(xué)感覺如何，看看誰(shuí)的反應(yīng)快？如果是27瓶中有1瓶次品，用天平稱稱，至少幾次保證找到？

生：3次。

師：（故作驚訝！）別亂說(shuō)，不可能吧？27瓶呀蠻多的，3次怎么可以保證找到？

生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶;稱1次就可以推斷次品在哪個(gè)9瓶里。然后9瓶就像剛才那位同學(xué)那樣再均分3份來(lái)稱，2次就夠了。我這里只增加了1次，所以3次就找到了。

師：如果不是27瓶，而是81瓶呢？

生：4次就夠了。

在提出問(wèn)題后，教師注重引導(dǎo)學(xué)生自己先思考和探究解決問(wèn)題的策略，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“猜測(cè)”，逐步脫離實(shí)物操作，在頭腦中進(jìn)行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納、推理的方法體會(huì)運(yùn)用優(yōu)化策略解決問(wèn)題的有效性，感受數(shù)學(xué)的魅力。找次品的基本數(shù)學(xué)模型跟3的次冪相關(guān)，小學(xué)生不易理解。我通過(guò)將瓶子的數(shù)量逐漸變大，給學(xué)生較強(qiáng)的沖擊力，它立刻讓學(xué)生處于欲言不能的“憤”“悱”狀態(tài)，問(wèn)題解決了，規(guī)律找到了，學(xué)生對(duì)優(yōu)化的價(jià)值認(rèn)識(shí)更深刻了。通過(guò)這樣的教學(xué)，學(xué)生在富有挑戰(zhàn)性的思維活動(dòng)中掌握了優(yōu)化的策略，感悟“模型”思想。

二、將數(shù)學(xué)問(wèn)題“一以貫之”，感悟“模型”思想

古人云：“大道至簡(jiǎn)，萬(wàn)法歸一?！弊怨乓詠?lái)，無(wú)數(shù)的先賢哲人不斷思索：世界千變?nèi)f化的背后，有沒有一個(gè)一以貫之的“一”存在？對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題而言，能夠一以貫之的又是什么呢？數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，是課堂教學(xué)的主線。我在教學(xué)中努力尋找那根串起知識(shí)的“線”。在教學(xué)“植樹問(wèn)題”中，有些學(xué)生雖然會(huì)解決這一問(wèn)題，但這些學(xué)生尚不能把植樹問(wèn)題的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進(jìn)行知識(shí)鏈接，這就導(dǎo)致了能找到規(guī)律但不會(huì)熟練應(yīng)用規(guī)律，反映出學(xué)生只是在“機(jī)械應(yīng)用”，思維的靈活性卻明顯不夠。在教學(xué)中，我另辟蹊徑，讓學(xué)生掌握知識(shí)背后蘊(yùn)含的“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想和以問(wèn)題為原型建構(gòu)的“普適”的數(shù)學(xué)模型。這樣學(xué)生能夠“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，靈活解決各類問(wèn)題。

案例：“植樹問(wèn)題”教學(xué)片段

師：想一想，生活中還有什么事情跟擺花盆這樣的問(wèn)題類似，可以用“一一對(duì)應(yīng)”的方法來(lái)解決？

師生交流，逐步出示：植樹問(wèn)題、路燈問(wèn)題、鋸木問(wèn)題、排隊(duì)問(wèn)題、爬樓問(wèn)題等。

師：想一想，在這些問(wèn)題中誰(shuí)和誰(shuí)是“一一對(duì)應(yīng)”的？同桌互相說(shuō)一說(shuō)。

小組討論，然后全班交流，師借助圖示幫助學(xué)生理解。

生1：我們討論的是路燈問(wèn)題，路燈數(shù)和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生2：鋸木問(wèn)題里，鋸的次數(shù)和鋸的段數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

師：鋸的段數(shù)也就是間隔數(shù)，鋸的次數(shù)也和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生3：排隊(duì)問(wèn)題里，人數(shù)和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生4：植樹問(wèn)題里，樹的棵數(shù)和間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

生5：爬樓問(wèn)題里，爬的樓梯數(shù)和樓層數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

師：大家想一想，這些問(wèn)題有什么共同特點(diǎn)？

生：它們都與“間隔”有關(guān)。

讓學(xué)生帶著剛剛明確的“一一對(duì)應(yīng)”重返生活，有意識(shí)地關(guān)注過(guò)去沒有注意的現(xiàn)象，經(jīng)歷從諸多實(shí)際問(wèn)題中抽取出植樹問(wèn)題模型的過(guò)程，使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到所有這些具體問(wèn)題事實(shí)上都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可以被歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模式，鞏固、深化對(duì)“一一對(duì)應(yīng)”的理性認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。它們都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可以被歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模式，可以統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)模型”。我引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光敏銳地觀察生活，讓學(xué)生給生活中的數(shù)學(xué)卸下情境的“外妝”，以最本真、最簡(jiǎn)單的方式納入原有知識(shí)結(jié)構(gòu)，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，又能成為植樹問(wèn)題模型的生活原型。如此一來(lái)，紛繁變化的一一間隔排列規(guī)律用“模型”這一數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)起來(lái)。

三、將數(shù)學(xué)問(wèn)題“觸類旁通”，感悟“模型”思想

將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)一步提煉，出示變式問(wèn)題，讓學(xué)生去理解，識(shí)別模型，從而達(dá)到同化的作用。再讓學(xué)生自己去編制同類的問(wèn)題，這既可以讓學(xué)生更進(jìn)一步明確問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、模型，能讓學(xué)生很好地經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程。這樣的教學(xué)過(guò)程，會(huì)讓學(xué)生感受到模型的力量和數(shù)學(xué)的魅力。在教學(xué)“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，我給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主探究，從而使學(xué)生的思維真正活起來(lái)，有利于學(xué)生舉一反三、觸類旁通，學(xué)會(huì)多角度思考問(wèn)題。

案例：“雞兔同籠”教學(xué)片段：

（出示：一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩列并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共五十五，數(shù)腳共有一百九。）

師：我們研究了雞兔同籠，也來(lái)給這首兒歌取個(gè)名字？

生：人狗同行。

師：看了“人狗同行”的兒歌，和“雞兔同籠”比較，你有什么話想說(shuō)？

生：我覺得它和雞兔同籠的問(wèn)題仍然是一樣的。獵人相當(dāng)于雞，狗相當(dāng)于兔。

師：他的這個(gè)理解可以嗎？

生：可以。

師：雖然把獵人看作雞有些不雅，但是從研究的角度看，你們能找到它們數(shù)量上的聯(lián)系嗎？

生：獵人和雞都有兩只腳;狗和兔都有四只腳。

師：回想一下，從“雞兔同籠”到“人狗同行”，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

（再次顯示：“雞兔同籠”有什么獨(dú)特的魅力？）

生1：雞兔同籠是多方面的。

生2：“雞兔同籠”可以表示好多種和“雞兔同籠”相同的情況。

在教學(xué)中，我注意把握題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比應(yīng)用，用系統(tǒng)的眼光來(lái)看待它的教學(xué)價(jià)值。從一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，研究解法，并上升到一種模型，最后進(jìn)行廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)就是這樣發(fā)展起來(lái)的。同樣，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能有“模型”的意識(shí)，舉一反三，能觸類旁通，那么必將會(huì)走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自由王國(guó)。

日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾說(shuō)過(guò)：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益。”筆者通過(guò)創(chuàng)造性地使用教材，在教學(xué)內(nèi)容的廣度和深度上進(jìn)行拓展，著力培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，從中逐步感悟數(shù)學(xué)思想，不斷形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。