透過觀察 抓住本質(zhì)
——巧解排列組合中的有序數(shù)組問題

魯和平

(浙江省嘉善第二高級中學(xué),314100)

在高中數(shù)學(xué)排列組合問題教學(xué)中,學(xué)生有時會遇到一類有序數(shù)組問題.這類題目都有一個華麗的外表迷惑學(xué)生,需要我們用一雙慧眼由表及里、去偽存真,透過現(xiàn)象看本質(zhì),只有通過不斷轉(zhuǎn)化命題方能抓住問題最本質(zhì)的內(nèi)核,使問題冰消獲解.

一、抽絲剝繭,始見真容

有些題目,單從外表來看,學(xué)生就已望洋興嘆.但如果我們冷靜分析,將所有已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸,就會有“驀然回首,那人卻在燈火闌珊處”的感覺.

例1設(shè)?ABC的內(nèi)角滿足A≤B≤C,且cos 20A=cos 20B=cos 20C=1,則滿足要求的數(shù)組(A,B,C)共有______個.

解由條件可知20A=2k1π,20B=2k2π,20C=2k3π,其中k1,k2,k3∈N*,k1≤k2≤k3.在?ABC中，由A+B+C=π,可得20(A+B+C)=2(k1+k2+k3)π=20π,即k1+k2+k3=10.

用枚舉可知(k1,k2,k3)=(1,1,8),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,2,6),(2,3,5),(2,4,4),(3,3,4),相應(yīng)的(A,B,C)共有8個.

二、刪繁就簡,水落石出

有些題目條件紛繁無序,求解時往往要借力于多次的命題轉(zhuǎn)化,甚至要隨時借助函數(shù)的神力,才能撥開云霧見天日.

例2若正整數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d,ac=bd,ad=bc,且20≤ab+bc+cd+da≤2 020,則滿足以上條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)共有多少個?

設(shè)f(x)=xlnx,則f(a)=f(b),又f(x)在(2,+∞)單調(diào)增,故a=b.又ac=bd,故c=d.再由a+b=c+d,可得a=b=c=d.結(jié)合20≤ab+bc+cd+da≤2 020,可得5≤a2≤505,故3≤a≤22,相應(yīng)有序數(shù)組(a,b,c,d)共有20個.

若a=1或b=1,同理可得a=b=c=d=1,此時ab+bc+cd+da=4,與已知條件矛盾.

綜上,所求有序數(shù)組(a,b,c,d)共有20個.

三、快速鏈接,腦洞大開

如果我們大腦里儲存的數(shù)學(xué)知識容量大且結(jié)構(gòu)佳,在審題時就能浮想聯(lián)翩,快速鏈接,慧眼識真金.

由加法原理,可知所求(a1,a2,a3,a4)共有38個.

四、條分縷析,思路井然

有些問題存在多種可能性,無法一言以蔽之.那就需要我們思維縝密,把各種可能性考慮周全,再按照一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論,則可使思路既有條理又流暢清晰.

例4已知?ABC的三邊長a,b,c(a≤b≤c)均為正整數(shù),且滿足(1)a,b,c成等比數(shù)列;(2)a,b,c中至少有一個等于100.求符合要求的三元數(shù)組(a,b,c)的個數(shù).

解依題意,a+b>c,b2=ac.

由于數(shù)組(a,b,c)=(100,100,100)一共出現(xiàn)了3次,綜上得三元數(shù)組(a,b,c)共有7+4+2-2=11(個).

例5設(shè)正整數(shù)x,y,z滿足1≤x,y,z≤6,且10整除xyz,則有序數(shù)組(x,y,z)共有多少個?

解因為1≤x,y,z≤6,若正整數(shù)x,y,z的乘積xyz能被10整除,則有以下3種情形:

綜上,所求有序數(shù)組(x,y,z)共有9+36+27=72(個).

五、筑巢引鳳,模型轉(zhuǎn)化

對于很抽象的問題,我們應(yīng)該學(xué)會退步思考,一直退回到我們最熟悉、最原始的狀態(tài),然后借助于已有的思維模型,化險為夷，柳暗花明.

例6從數(shù)1,2,3,…,14中取出由小到大的三個數(shù)a1,a2,a3,滿足a2-a1≥3,a3-a2≥3,則所有符合上述要求的有序數(shù)組(a,b,c)共有多少個?

例7設(shè)a,b,c,d∈{-1,0,1},若有序數(shù)組(a,b,c,d)滿足a+b,c+d,a+c,b+d互不相同,則稱(a,b,c,d)為“好數(shù)組”,求滿足題設(shè)的“好數(shù)組”(a,b,c,d)的個數(shù).

解依題意,若a,b,c,d的取值為“2個1,1個0,1個-1”,或“2個-1,1個0,1個1”時,有序數(shù)組(a,b,c,d)才有可能成為“好數(shù)組”.

當(dāng)(a,b,c,d)的取值為“2個-1,1個0,1個1”時,同理可得 “好數(shù)組”共有8個.

綜上,“好數(shù)組”一共有16個.

例8設(shè)集合A∪B∪C={1,2,3,…,9},則三元有序數(shù)組(A,B,C)共有______個.

同理,其它8個數(shù)出現(xiàn)的可能性都有7種.

如圖1,用3個圓圈分別表示集合A,B,C,則圖中一共有7個獨立的區(qū)域,每一個數(shù)都可以選擇這7個區(qū)域的任何一個區(qū)域放置.故有序數(shù)組(A,B,C)一共有79個.

六、以點帶面,退位思考

當(dāng)一個問題非常抽象時,就應(yīng)該毫不猶豫地退位思考.從最基本、最原始的情形入手,找出解決問題的規(guī)律,然后如法炮制,就能徹底解決抽象的問題.

例9若正整數(shù)a,b,c,d,e,f,g滿足1≤a,b,c,d,e,f,g≤8,并且a+b+c+d+e+f+g-abcdefg=6,問滿足要求的有序數(shù)組(a,b,c,d,e,f,g)共有多少個?

解先從最簡單的情形入手分析.由于1+1+1+1+1+1+1-1·1·1·1·1·1·1=7-1=6,故此時有序數(shù)組(a,b,c,d,e,f,g)=(1,1,1,1,1,1,1),有1個.又1+1+1+1+1+1+x-1·1·1·1·1·1·x=(6+x)-x=6,x≠1,由于x有7種擺放位置,故對于給定的x,有序數(shù)組(a,b,c,d,e,f,g)共有7個.

又因為x可取2,3,4,5,6,7,8,故有序數(shù)組(a,b,c,d,e,f,g)共有1+7×7=50(個).

七、整體思考,剔除另類

在解決排列組合問題時,可以先從大處著手考慮問題,再將不合要求的情形排除(同時注意將過多排除的情形進(jìn)行彌補(bǔ)).

例10題同例5.

解x,y,z的取法共有63種,x,y,z都不取2,4,6的取法共有33種,x,y,z都不取5的取法共有53種,因為{1,3,5}∩{1,2,3,4,6}={1,3},x,y,z都不取2,4,5,6的取法共有23種,故有序數(shù)組(x,y,z)共有63-33-53+23=72(個).