均值代換法在解題中的幾類(lèi)應(yīng)用

劉家新

(湖南省常德市澧縣第一中學(xué)，415599)

一、求代數(shù)式的值

例1已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=0,a3+b3+c3=0,求a5+b5+c5的值.

若c=0，則a=-b,此時(shí)有a5+b5+c5=0.

綜上，a5+b5+c5的值為0.

評(píng)注本題中有三個(gè)變量?jī)蓚€(gè)等式,看似無(wú)法求解.此時(shí)我們轉(zhuǎn)換觀察問(wèn)題的角度,視c為常數(shù),運(yùn)用均值代換法進(jìn)行求解,方法新穎,過(guò)程簡(jiǎn)潔,令人耳目一新.

二、解方程

例2解方程

評(píng)注本題是一道無(wú)理方程,若直接求解,過(guò)程相當(dāng)冗繁.而應(yīng)用均值代換法將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程,能使問(wèn)題得以順利解決.

三、證明不等式

評(píng)注本題首先進(jìn)行均值代換，并利用已知條件得到新元t的取值范圍,然后對(duì)目標(biāo)式左邊變形、轉(zhuǎn)化,并求得取值范圍,從而使不等式獲證.

四、求最值

評(píng)注本題利用均值代換法結(jié)合二元均值不等式求解,解法別具一格,充分體現(xiàn)了均值代換法的應(yīng)用價(jià)值.

評(píng)注本題根據(jù)已知等式進(jìn)行均值換元,代入目標(biāo)式得到關(guān)于新元t的式子,再進(jìn)行“1”的代換,運(yùn)用配湊、變形,最后利用基本不等式求解.