一道雙根式和的最值問(wèn)題與變式拓展

杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校，610100)

一、問(wèn)題及解答

問(wèn)題已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，求

的最小值.

這是數(shù)學(xué)通訊2021年第8期上半月征解問(wèn)題506,是一道雙根式和的最值問(wèn)題.筆者經(jīng)過(guò)深入探究,給出其解法和變式拓展,供大家學(xué)習(xí)交流.

解法2由條件及柯西不等式和基本不等式,可得

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)c=2b=4a時(shí)成立，故M的最小值為8.

二、變式拓展

變式1已知a,b,c為正實(shí)數(shù),求

的最小值.

解由條件及基本不等式,可得

變式2已知a,b,c為正實(shí)數(shù),求

的最小值.

解由條件及基本不等式,可得

變式3已知a,b,c為正實(shí)數(shù),求

的最小值.

解由條件結(jié)合基本不等式,可得

≥5,

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b2=ac,a=4c時(shí)成立.故M的最小值為5.

變式4已知a,b,c為正實(shí)數(shù),求

的最小值.

解由條件及柯西不等式和基本不等式,同原問(wèn)題解法2可得

三、 推廣

推廣1已知a,b,c為正實(shí)數(shù),則

推廣2已知a,b,c為正實(shí)數(shù),則

以上兩個(gè)推廣，有興趣的讀者可自行完成.