思維導(dǎo)圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用探究

袁曉明 陳建華

(1.江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225002) 2.江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué),226500)

一、問(wèn)題背景

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的深入,倡導(dǎo)從知識(shí)學(xué)習(xí)走向“著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)”．相應(yīng)地,高考以“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”為考查內(nèi)容,評(píng)價(jià)考生素質(zhì)內(nèi)涵;以“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”為考查要求,評(píng)價(jià)學(xué)生素養(yǎng)達(dá)成度．

新高考試題基本上是在知識(shí)點(diǎn)的交匯點(diǎn)上命題,綜合性更加明顯,數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)等要求提高．高考中,學(xué)生暴露出很多問(wèn)題:題量大,做題時(shí)間來(lái)不及;題目長(zhǎng),閱讀理解有困難;立體多,空間想象要求高．如此等等,對(duì)高三數(shù)學(xué)課程復(fù)習(xí)提出挑戰(zhàn),有效學(xué)習(xí)成為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的追求．那么,有效教學(xué)是取決于積極的態(tài)度,行動(dòng)的效率,認(rèn)知的策略,結(jié)構(gòu)化的意義建構(gòu),還是有意義的情境、資源和工具呢?本文從圖式可視化的角度做一些探索．

二、工具策略

從普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念和考試說(shuō)明看，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需要我們將知識(shí)的積累作為素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ),素養(yǎng)的提升作為知識(shí)學(xué)習(xí)的歸宿．高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)在觀念上將結(jié)果取向與過(guò)程取向相結(jié)合:回歸教學(xué)的完整過(guò)程;在方法和措施上將接受學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)相互補(bǔ)充,構(gòu)筑教學(xué)的進(jìn)階路徑．在傳統(tǒng)復(fù)習(xí)授課的基礎(chǔ)上,可以引入思維導(dǎo)圖的方式,優(yōu)化過(guò)程設(shè)計(jì),提高復(fù)習(xí)的質(zhì)量和效果．

1. 思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖是表達(dá)發(fā)散性思維的有效圖形思維工具．作為認(rèn)知工具,思維導(dǎo)圖利用圖形、顏色、關(guān)鍵詞、公式、字母、線條等將復(fù)習(xí)課中大量的知識(shí)點(diǎn)整體呈現(xiàn)出來(lái),把復(fù)雜的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單化、可視化．作為組織工具,思維導(dǎo)圖有許多表現(xiàn)形式,每一種形式起到的思維功能各有側(cè)重．比如,輻射形的思維導(dǎo)圖可用于頭腦風(fēng)暴,幫助分類(lèi)、分解等;鏈形思維導(dǎo)圖有利于事件順序、表達(dá)因果聯(lián)系等線性思維．

2. 策略分析

在思維導(dǎo)圖中,思考的中心可以是一個(gè)主題、議題或問(wèn)題．運(yùn)用思維導(dǎo)圖可以促進(jìn)學(xué)生理清知識(shí)結(jié)構(gòu)體系,鞏固舊知識(shí),探索新知識(shí)．高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)通常會(huì)關(guān)注某一個(gè)主題知識(shí)和相關(guān)習(xí)題,因此,思維導(dǎo)圖更適合復(fù)習(xí)階段使用．思維導(dǎo)圖通過(guò)分層、分類(lèi),借助于直觀圖形將知識(shí)系統(tǒng)化,提高大腦組織、提取和應(yīng)用信息的效率;通過(guò)圖形在發(fā)散與聚合,邏輯與想象之間獲得問(wèn)題求解的思路、思考問(wèn)題的技巧;通過(guò)可視化的方式提高我們的注意力,協(xié)助記憶．具體有如下幾點(diǎn):

第一,基于問(wèn)題,積極理性認(rèn)識(shí)思維導(dǎo)圖

老師通過(guò)思維導(dǎo)圖的制作,展示如何探索和多元思考,如何尋找到問(wèn)題的突破點(diǎn),來(lái)充分暴露自己的思維過(guò)程．

第二,根據(jù)需要,選擇類(lèi)型繪制思維導(dǎo)圖

通過(guò)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題,師生討論,交流,分析如何確定思維導(dǎo)圖的類(lèi)型．在問(wèn)題解決時(shí),學(xué)生不僅熟悉題型,還構(gòu)建了相對(duì)完整的知識(shí)體系,提高了學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率．

第三,樣例示范,鼓勵(lì)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖

老師向?qū)W生呈現(xiàn)一批優(yōu)質(zhì)的思維導(dǎo)圖,學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)和分析,再?lài)L試實(shí)踐,最終形成自己的圖式．在繪制思維導(dǎo)圖、形成知識(shí)架構(gòu)的過(guò)程中,進(jìn)行自我評(píng)價(jià)、自我檢測(cè)．

三、應(yīng)用舉例

1.借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生理清知識(shí)結(jié)構(gòu),形成宏觀分析體系

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,也是高考命題的熱點(diǎn)之一．傳統(tǒng)高三復(fù)習(xí)做法是按照知識(shí)點(diǎn)的章節(jié)順序制作活動(dòng)單,幫助學(xué)生回顧總結(jié)所學(xué)知識(shí)點(diǎn),查漏補(bǔ)缺．通過(guò)活動(dòng)單上的例題、錯(cuò)題重現(xiàn),喚醒學(xué)生記憶,再通過(guò)專(zhuān)題和綜合試卷的形式,進(jìn)行題組訓(xùn)練．這樣復(fù)習(xí)周期長(zhǎng),知識(shí)遺忘快,學(xué)習(xí)效率低,解題突破問(wèn)題仍不易解決．因此在教學(xué)中,嘗試采用思維導(dǎo)圖工具歸納和整理數(shù)列考查的知識(shí)點(diǎn).

如圖1,使用XMind繪制的思維導(dǎo)圖，四個(gè)分支直觀地呈現(xiàn)了數(shù)列中的常見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)．碎片化的知識(shí)經(jīng)過(guò)組織,有利于學(xué)生系統(tǒng)梳理舊知,促進(jìn)對(duì)知識(shí)的記憶與理解，改變了以往復(fù)習(xí)重練習(xí)輕反思的現(xiàn)狀．除了用思維導(dǎo)圖進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)總結(jié)外,還可以用思維導(dǎo)圖的形式幫助學(xué)生總結(jié)提煉數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵幾個(gè)模塊(如圖2)．

圖2思維導(dǎo)圖的繪制,將數(shù)列單元的題型、思想方法和復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等集中化和可視化,通過(guò)精心梳理總結(jié),學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)更加明確,復(fù)習(xí)方向更加精準(zhǔn)．每位學(xué)生還可以根據(jù)自身復(fù)習(xí)的心得體會(huì)不斷完善思維導(dǎo)圖,彌補(bǔ)傳統(tǒng)復(fù)習(xí)單一化、流水式復(fù)習(xí)的不足,使復(fù)習(xí)變得更加高效．

2.借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生形成解題思路,明確解題方向

數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成必然訴諸解題,解題能為學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)、形成品質(zhì)打好基礎(chǔ)．以解析幾何的復(fù)習(xí)為例,學(xué)生的難點(diǎn)往往不在于解析幾何知識(shí)本身,而在于解析幾何與其他知識(shí)的綜合;不在于運(yùn)算技巧與方法,而在于思維,在于如何尋找合理的運(yùn)算思路與方法;不在于運(yùn)算的難與繁,而在于學(xué)生對(duì) “難與繁”的心理預(yù)期．常態(tài)化的老師講解、學(xué)生板演;多媒體投影關(guān)鍵步驟,老師口述解題思路;典型題的重復(fù)模仿訓(xùn)練等復(fù)習(xí)過(guò)后,解題突破口的尋找、計(jì)算中的推理依然是獨(dú)立解題的困難所在．思維導(dǎo)圖是思維的工具,它的意義在于激活思維、整理思維、提升思維．

圖3是教學(xué)中提供給學(xué)生的解析幾何一般思路的思維導(dǎo)圖．它通過(guò)研究探索解析幾何問(wèn)題中的核心思想、思維特征、核心方法等幾個(gè)部分的內(nèi)容,加深學(xué)生對(duì)解析幾何整體的理解與分析,對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)、合理選擇方法、拓寬思維通道有很好的啟發(fā)作用．比如下面是學(xué)生練習(xí)中的一道解析幾何題,由于方法或引入變量的方式的差異,學(xué)生可繪制多種解題流程,再由學(xué)生動(dòng)手演算,比較各個(gè)方向的異同,確定問(wèn)題一般的解決方法．

分析若假設(shè)存在點(diǎn)P,使得四邊形APQM為梯形,顯然AM,PQ不平行,所以AP和MQ平行,即kAP=kMQ.接下來(lái)通過(guò)思維導(dǎo)圖(如圖4)分別給出設(shè)點(diǎn)法、設(shè)線法和幾何法的解題思路．

教學(xué)實(shí)施中,面對(duì)問(wèn)題首先明確研究對(duì)象的幾何特征,然后需要用到哪些代數(shù)條件將幾何問(wèn)題代數(shù)化,最后根據(jù)題設(shè)條件,研究解決轉(zhuǎn)化之后的代數(shù)問(wèn)題．思維導(dǎo)圖改變了以往雜亂無(wú)章的思維方式,幫助學(xué)生梳理歸納出解題思路,提示學(xué)生梯形的幾何特征之后,很容易轉(zhuǎn)化為AP與MQ平行,接下來(lái)就是思考如何利用題設(shè)條件,給出解題過(guò)程．通過(guò)整體與部分的關(guān)系闡釋,學(xué)生對(duì)于一類(lèi)題型的掌握更加系統(tǒng)全面．當(dāng)有了解題方向之后,學(xué)生就可以動(dòng)手實(shí)踐運(yùn)算了．圖4的魚(yú)骨圖表達(dá)簡(jiǎn)潔,脈絡(luò)清晰,有效解決了傳統(tǒng)復(fù)習(xí)過(guò)程中學(xué)生思維表達(dá)受阻、問(wèn)題解決怕難怕繁等等問(wèn)題,它清晰展示了解題流程以及邏輯關(guān)系,不僅避免了大量演算帶來(lái)的時(shí)間消耗,節(jié)約了時(shí)間,而且主次分明,重點(diǎn)突出,更有利于學(xué)生前后思維的銜接．

3.借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)討論,培養(yǎng)邏輯思維

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一．作為貫穿高中課程的主線,函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法支撐了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系.然而在復(fù)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生遇到了很多困難,尤其是在含參函數(shù)的極值最值、單調(diào)性討論方面,雖然學(xué)生清楚問(wèn)題考查涉及的知識(shí)點(diǎn)與解題方向,但是很多學(xué)生在分類(lèi)討論的過(guò)程中要么思維混亂、書(shū)寫(xiě)無(wú)序,要么思維不嚴(yán)謹(jǐn),過(guò)程重復(fù)或遺漏．移到“師生討論”之后，比如可以利用思維導(dǎo)圖中的組織流程圖,探討一類(lèi)含參二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．通過(guò)繪制思維導(dǎo)圖,歸納總結(jié)這類(lèi)題型分類(lèi)討論的方向,由因到果,層層提煉,最終形成學(xué)生自己的思維導(dǎo)圖．

案例2討論函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(a-2)x的單調(diào)性.

師:解決函數(shù)問(wèn)題首先要關(guān)注什么?

生:定義域,本題的定義域是(0,+∞).

生:應(yīng)該將函數(shù)表達(dá)式通分?

師:好的,通分后我們發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的分子是含參二次函數(shù),接下來(lái)如何判斷呢?

生:對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

師:好的,進(jìn)入到本題的關(guān)鍵部分——分類(lèi)討論階段了．我們必須清楚參數(shù)對(duì)函數(shù)有哪些影響,這里我們可以參考圖5的組織流程圖進(jìn)行思考．

生:交流討論中……

師:好的,現(xiàn)在有了分類(lèi)討論的方向了嗎?

生:本題當(dāng)二次項(xiàng)參數(shù)為零時(shí),分子是一次函數(shù),可以直接判斷正負(fù)．當(dāng)二次項(xiàng)參數(shù)不為零時(shí),可以進(jìn)行因式分解,當(dāng)確定好開(kāi)口方向之后,再比較兩根的大小和根與區(qū)間端點(diǎn)的大小．

師:好的,每個(gè)人在剛才分析交流的基礎(chǔ)上,繪制本題的思維導(dǎo)圖(示例略)．

四、結(jié)語(yǔ)

思維導(dǎo)圖的本質(zhì)是一種學(xué)習(xí)筆記.由于它能以直觀形象的方式表征知識(shí),有效呈現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián),體現(xiàn)思維過(guò)程,教師可通過(guò)思維導(dǎo)圖以圖形化的方式把題目中所給的信息結(jié)構(gòu)化，把解題思維過(guò)程及方法的形成過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，這有利于學(xué)生更好地分析、理解、聯(lián)想、整合并產(chǎn)生新的想法[3].在實(shí)際教學(xué)過(guò)程的很多環(huán)節(jié)運(yùn)用思維導(dǎo)圖,可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)要點(diǎn)、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò);梳理解題思路、形成方法體系;進(jìn)行分類(lèi)討論、培養(yǎng)邏輯思維等等．