關(guān)聯(lián)調(diào)用核心知識 理性構(gòu)建基本圖形①
——一道尺規(guī)作圖題的解法探究賞析及教學(xué)價值導(dǎo)向

陶家友

(江蘇省南京市溧水區(qū)石湫中學(xué) 211222)

2021年南京中考第25題是考察用兩種不同的方法過圓外一點作圓的切線的尺規(guī)作圖題，對于初中學(xué)段加強(qiáng)尺規(guī)作圖的教學(xué)進(jìn)行了很好的評價引領(lǐng).現(xiàn)將本題的解法探究賞析及教學(xué)價值導(dǎo)向呈現(xiàn)如下.

(南京2021年中考第25題)如圖1，已知P是⊙O外一點．用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線．

圖1

要求：(1)用直尺和圓規(guī)作圖；(2)保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．

1 特色解讀

1.1 題目表述簡潔，選材背景熟悉，體現(xiàn)人文關(guān)懷

作為全卷倒數(shù)第3題，學(xué)生的第一印象往往是“艱澀”“不易下筆”等，有一些畏難心理.但此題一改常態(tài)，題目表述簡明，作切線的背景學(xué)生也很熟悉， 在學(xué)習(xí)圓的切線長這一課時，學(xué)生經(jīng)歷過從圓外一點作圓的切線的探究活動過程，積累了一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.因此較容易想到本題的一種作法，這樣就大大減少了學(xué)生心理上的焦慮和恐懼，增加了答題的信心和勇氣.較為熟悉的試題能使學(xué)生在答題時降低未知因素的干擾，能比較真實地展示出學(xué)生的思維水平，有助于穩(wěn)定學(xué)生的考試情緒，增強(qiáng)考試信心，既提升了試題的效度和信度，也傳達(dá)出命題者對學(xué)生的人文關(guān)懷.

1.2 解法開放多樣，關(guān)注核心知識，凸顯思維品質(zhì)

尺規(guī)作圖題要求保留作圖痕跡及必要的文字說明能充分暴露學(xué)生思考的方向和推理的路徑.本題明確了用尺規(guī)從圓外一點作圓的一條切線的作圖的要求，但具體怎樣作圖，學(xué)生關(guān)聯(lián)調(diào)用自己所熟知的核心知識，理性構(gòu)建已掌握的基本圖形來解決問題.由于不同學(xué)生的思維水平以及熟練掌握的模型具有明顯的個性差異，因此他們會從不同的角度出發(fā)，調(diào)用不同的核心知識，給出很多不同的解決方法.

本題的作法具有開放性和多樣性，涵蓋了初中階段大部分核心知識，如：等腰三角形、菱形、圓周角、全等及相似、勾股定理、射影定理等，由中考閱卷統(tǒng)計出學(xué)生有十幾種解答方法，異常精彩；但其中個體差異較大，較多學(xué)生只會利用解法1中的核心知識“直徑所對的圓周角是直角”來作切線，因此本題對學(xué)生的模型思想、綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決新問題的能力以及學(xué)生發(fā)散性思維的水平進(jìn)行了較為充分地考查.

2 解法賞析

學(xué)生對尺規(guī)作圖題的思考過程跟G·波利亞的怎樣解題的步驟大致相同，第一步是弄清題意，假設(shè)已經(jīng)作出切線，在紙上作出草圖，并在草圖上標(biāo)注已知的量以及要滿足的條件，完成對題目的理解；第二步是擬定計劃，就是思考怎樣去把這個圖形確定下來，即要使PQ是圓的切線，就要滿足∠PQO=90°，那具備什么條件就可以產(chǎn)生直角尤為關(guān)鍵.學(xué)生迅速在頭腦里搜索“直角”這個關(guān)鍵詞，閃現(xiàn)的“念頭”迸發(fā)精彩……

2.1 思路1：直接造因法

如何構(gòu)造產(chǎn)生直角呢？首先思索初中有哪些核心知識或者定理的結(jié)論是直角，然后設(shè)法滿足該定理的題設(shè)，從而得到直角的結(jié)果，這個種“因”收“果”的思路可稱為“造因法”.

解法1利用核心知識“直徑所對的圓周角是直角”構(gòu)造直角．

簡析：要使∠PQO=90°，∠PQO的度數(shù)及所對得邊是確定的，“定邊定角”問題學(xué)生比較自然聯(lián)想到用構(gòu)造直徑所對的圓周角來得到直角.

作法：如圖2，連接PO，以PO為直徑作⊙A，⊙O與⊙A交于點Q，則PQ即為所求作的切線．

圖2

解法2利用常用模型“如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”構(gòu)造直角．

簡析：學(xué)生關(guān)聯(lián)熟練掌握的定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，聯(lián)想到它的的逆命題是構(gòu)造直角三角形的常用方法.

作法：如圖3，連接PO，作PO的垂直平分線l交PO于點A，以A為圓心，AO長為半徑作弧交⊙O于點Q，則PQ即為所求作的切線．

圖3

解法3利用核心知識“等腰三角形的三線合一”構(gòu)造直角．

簡析：用“等腰三角形的三線合一”來構(gòu)造直角是重要且常用的方法.

作法：如圖4，以O(shè)為圓心，2OA長為半徑作弧，以P為圓心，PO長為半徑作弧，兩弧交于點B，連接OB與⊙O相交于點Q，連接PQ，則PQ即為所求作的切線．

圖4

解法4利用核心知識“菱形的對角線互相垂直”構(gòu)造直角．

簡析：關(guān)聯(lián)了等腰三角形之后繼續(xù)搜索，利用四邊形的性質(zhì)呢？進(jìn)而想到用“菱形的對角線互相垂直”構(gòu)造直角．

作法：如圖5，以O(shè)為圓心，2BC長為半徑作弧，以P為圓心，PO長為半徑作弧，兩弧交于點B，分別以B、O為圓心，PO為半徑作弧，兩弧交于點C，連接PC、OB相交于點Q，則PQ即為所求作的切線．

圖5

解法3與解法4有什么共同之處？構(gòu)造的等腰三角形及菱形都是軸對稱圖形，本質(zhì)上是利用軸對稱的性質(zhì)：對稱點的連線被對稱軸垂直平分，那當(dāng)然也可以構(gòu)造箏形．

解法5利用常用結(jié)論“箏形的對角線互相垂直”構(gòu)造直角．(作法略)

2.2 思路2：間接復(fù)制法

沒用聯(lián)想到相關(guān)知識來構(gòu)造直角，是不是可以先作一個直角，然后在指定位置把直角復(fù)制過來？怎么復(fù)制呢？嘗試通過圖形的變換，即用全等或相似的方法.

解法6利用圓現(xiàn)有的點作出直角，再用“全等”在指定位置復(fù)制直角．

簡析：在PO與⊙O的交點A處作一個直角，結(jié)合圖形再通過SAS構(gòu)造“鏢形”全等來巧妙地復(fù)制直角.

作法：如圖6，連接PO交⊙O于點A，過點A作l⊥OP，以O(shè)為圓心，OP長為半徑作弧交l于點B，連接OB交⊙O于點Q，連接PQ，則PQ即為所求作的切線.

圖6

解法7利用圓上任意一點作出直角，再用“全等”在指定位置復(fù)制直角．

簡析：由解法6追問：為什么一定要在點A處作直角呢？其它任意一點也可以嗎.這樣具有一般性，更為本質(zhì).“鏢形”全等演變?yōu)椤靶D(zhuǎn)型”全等或“軸對稱”全等.

作法：如圖7，在⊙O上任取點A，連接OA，過點A作l⊥OA，以O(shè)為圓心，OP長為半徑作弧交l于點B，連接OB，作∠POQ=∠BOA，OQ交⊙O于點Q，連接PQ，則PQ即為所求作的切線．

圖7

解法8利用“相似”復(fù)制直角．

簡析：既然通過全等變換可以復(fù)制直角，那通過相似是不是也可以呢？先構(gòu)造以2PO為直徑所對的圓周角來得到直角，再通過位似復(fù)制直角.

作法：如圖8，以O(shè)為圓心，OP長為半徑作圓，連接PO并延長分別交小圓大圓于點A、B、C，以C為圓心，AB長為半徑作圓交大圓于點D，過點O作OQ⊥PD交PD于點Q，連接PQ，則PQ即為所求作的切線．

圖8

解法8通過位似放大來構(gòu)造直角，當(dāng)然通過位似縮小也可以.

2.3 思路3：定量刻畫法

解法9利用核心知識勾股定理直接確定切線長．

簡析：在作法探析中，從“確定”的眼光審視Rt△POQ，⊙O的半徑確定、點P的位置確定，從而PO的長度確定，根據(jù)勾股定理得出切線長PQ也確定，

作法：如圖9和10，作∠BMC=90°，在MB上截取MD=OA，以D為圓心，OP長為半徑作弧，交MC于點E．以P為圓心，ME長為半徑作弧交⊙O于點Q，連接PQ，則PQ即為所求作的切線．

圖9

圖10

解法10利用核心知識射影定理和切割線定理確定切線長．

簡析：切線作法探析過程中，除了想到直角，還能自然聯(lián)想到什么基本圖形？常見的切割線的圖形不難想到，那又如何根據(jù)割線來確定切線呢？構(gòu)造射影定理的念頭自然迸發(fā).

作法：如圖11，連接PO，并延長分別交⊙O于點A、B，以PB為直徑作⊙M，過點A作AC⊥PB交⊙M于點C，連接PC，以P為圓心，PC長為半徑作弧交⊙O于點Q，連接PQ，則PQ即為所求作的切線．

圖11

學(xué)生大多作出了過圓心的割線，那任意一條割線也是可以的，更具一般性.

解法11利用“全等”確定點和圓心連線與切線的夾角．

簡析：解法9從“確定”的眼光通過勾股定理確定切線長，那圖中還有哪些量確定，能不能換個思路？容易想到確定的直角三角形中不但邊確定，角也是確定的.因此只需確定點和圓心連線與切線的夾角即可.

作法：如圖12和13，作∠BMC=90°，在MB上截取MD=OA，以D為圓心，OP長為半徑作弧，交MC于點E．以P為頂點作∠OPQ=∠MED，則PQ即為所求作的切線．

圖13

3 教學(xué)導(dǎo)向分析

本試題突出對尺規(guī)作圖的背后的思維品質(zhì)的考查，雖然作法豐富多彩，但通過閱卷反饋，學(xué)生解答并不理想，沒有達(dá)到我們的預(yù)期，甚至有不少學(xué)生連一種方法都難以作出，8分的作圖題均分卻沒能達(dá)到3分，這不禁激起我們反思尺規(guī)作圖教學(xué)的現(xiàn)狀并進(jìn)行理性思考.

3.1 剖析尺規(guī)作圖存在問題

(1)機(jī)會較少，方法不多

從圓外一點作圓的切線是在學(xué)習(xí)圓的切線長這一課時，會自然經(jīng)歷的尺規(guī)作圖，也是很好的通過尺規(guī)作圖來發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維和數(shù)學(xué)推理能力的機(jī)會，但閱卷暴露出不少學(xué)生甚至連一種方法都難以完成，究其原因就是教師為了快速得出切線長定理，僅僅讓學(xué)生草草畫出作圓的切線的示意圖，剝奪了讓學(xué)生自主探究尺規(guī)作圖方法的好機(jī)會，或者雖然讓學(xué)生尺規(guī)作圖，但得出一種最常用的方法就鳴金收兵，作法單一，錯失了探究作法多樣性的機(jī)會.

(2)作前不析，直接告知

由于現(xiàn)行教材中尺規(guī)作圖的內(nèi)容的呈現(xiàn)方式較多采用程序性操作，例如五種基本尺規(guī)作圖等簡單作圖，多數(shù)教師在教學(xué)時，作圖被弱化為一種操作，往往直白地告知作圖步驟，然后當(dāng)成技能訓(xùn)練去反復(fù)強(qiáng)化，卻很少讓學(xué)生主動探索分析作圖方法，剝奪了學(xué)生經(jīng)歷分析條件、主動關(guān)聯(lián)、調(diào)用模型、構(gòu)建圖形的完整思維過程.導(dǎo)致學(xué)生對作圖原理認(rèn)識不足.很遺憾沒有在作圖的起始階段將尺規(guī)作圖過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行外化.

(3)作后不證，不重說理

尺規(guī)作圖是隱去書寫過程的解題，但不寫過程，不代表沒有思維過程，現(xiàn)實是作圖完成后，很多教師并不注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說理，而是開始找大量練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生作法的熟練程度，這樣會加劇學(xué)生不重“理”的現(xiàn)象，久而久之還會造成學(xué)生胡亂“造”圖的現(xiàn)象，作圖后證明說理既是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn)，又是作圖思維的價值所在，不可或缺.

3.2 認(rèn)識尺規(guī)作圖教學(xué)價值

尺規(guī)作圖，以開放發(fā)散的思路、幾何直觀的方式、思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫵蔀閿?shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含思維價值的教學(xué)內(nèi)容.本試題一方面突出考查了尺規(guī)作圖的背后的思維品質(zhì)，又直面當(dāng)前尺規(guī)作圖教學(xué)存在問題，很好地為教師指引尺規(guī)作圖教學(xué)的方向.尺規(guī)作圖具有如下教學(xué)價值：

(1)發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維

本題中作圓的切線關(guān)鍵就是構(gòu)造直角.在作法思路的探析時，不同的學(xué)生會關(guān)聯(lián)調(diào)用他最熟悉的核心知識和經(jīng)驗來推理構(gòu)造直角，基于不同的“理”就會誕生不同的“圖”、不同的“法”，從而迸發(fā)出豐富精彩的作圖方法.有“直接造因法”、“間接復(fù)制法”、“定量刻畫法”.這不但為不同思維層次的學(xué)生提供了探究空間，同時自己創(chuàng)造及與他人合作交流得到的多種方法，有利于發(fā)張學(xué)生的發(fā)散性思維，激發(fā)探究的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

(2)發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力

借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.學(xué)生在作圖過程中，首先是頭腦中想象目標(biāo)幾何圖形，然后畫出示意圖，再根據(jù)直觀的示意圖厘清圖形中的數(shù)量和位置關(guān)系，因此尺規(guī)作圖是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的好載體.

(3)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力

尺規(guī)作圖補(bǔ)在是機(jī)械的作法，它蘊(yùn)含了獨(dú)特的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?其中的推理包含兩部分.一部分是作法探析時的思考過程，以解法7為例，目標(biāo)切線如何得到的？怎樣構(gòu)造直角？可嘗試通過弱化條件，先過圓上任意一點作出切線，得到直角，然后再通過構(gòu)造全等復(fù)制到指定位置，那又如何構(gòu)造全等？哪些邊角要素已經(jīng)確定， 哪些要素還無法直接確定？雖然無法直接確定的要素，但有怎樣的條件限制？怎樣去滿足這樣的條件……這樣的作法分析過程本質(zhì)上就是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程.另一部分是作圖完成后的說理證明，以確保作出圖形是正確的.無論是作法的思路探析還是正向證明都需要學(xué)生調(diào)用所學(xué)核心知識、活動經(jīng)驗進(jìn)行推理，凸顯了作法背后的“理”與“法”，充分發(fā)展了學(xué)生的推理能力.

3.3 加強(qiáng)尺規(guī)作圖探究引導(dǎo)

(1)重視尺規(guī)作圖 增加作圖機(jī)會

尺規(guī)作圖，以開放發(fā)散的思路、幾何直觀的方式、思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫵蔀閿?shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含思維價值的教學(xué)內(nèi)容.本試題一方面突出考查了尺規(guī)作圖的背后的思維品質(zhì)，又直面當(dāng)前尺規(guī)作圖教學(xué)存在問題，很好地為教師指引尺規(guī)作圖教學(xué)的方向.尺規(guī)作圖具有發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維、幾何直觀、數(shù)學(xué)推理能力的教學(xué)價值.

因此要重視尺規(guī)作圖的教學(xué)，在日常教學(xué)中要適時增加尺規(guī)作圖的機(jī)會，可以是在定理的探索過程中，例如本試題就不容錯過；可以在命題理解過程中，例如，在學(xué)習(xí)“邊邊角”無法判定三角形全等時，可以引導(dǎo)學(xué)生作圖感受“邊邊角”一般有兩種情況；也可以在問題解決過程中，例如，以一個角為基礎(chǔ)，用尺規(guī)作圖畫一個平行四邊形，并說明理由.學(xué)生在作法探析過程中，需要關(guān)聯(lián)調(diào)用平行四邊形的判定定理；當(dāng)然還可以進(jìn)行尺規(guī)作圖微專題的解題教學(xué)，例如“過點切邊”類的尺規(guī)作圖及變式探究.

(2)選好作圖素材 開放課堂探究

本試題取材源自教材，源于課堂教學(xué)，在學(xué)習(xí)切線長定理引入時，就可以設(shè)計自然的問題：過一點畫圓的切線可以畫幾條？請用尺規(guī)作圖畫出.學(xué)生首先要對點與圓的位置關(guān)系進(jìn)行分類，從過圓內(nèi)一點不可以作切線，到過圓上一點可畫一條切線，再到過圓外一點可作兩條切線，學(xué)生的思維自然有序，接下來探究“有內(nèi)涵但不復(fù)雜”的過圓上一點畫切線，其作法也是豐富多彩，最后在已有活動經(jīng)驗上類比探究“更有思維含量”的過圓外一點作切線.

試題要求用兩種不同的方法作切線，旨在考察學(xué)生發(fā)散性思維及解決問題方法的多樣性.中考閱卷反饋情況并不理想，甚至不少學(xué)生連一種方法都沒想出，深刻反思平時尺規(guī)作圖教學(xué)，為什么想不到？究其根本原因，是我們的尺規(guī)作圖課堂教學(xué)時直白告知，封閉單一，得出一種方法就大功告成，鳴金收兵.因此，教師要精心選取作圖素材，設(shè)計適切的問題活動，始終堅持“學(xué)為中心”的理念，多給學(xué)生探究的時間和空間去思考探究作法，讓學(xué)生大膽地表達(dá)自己的“念頭”，而不是去揣度教師期望的標(biāo)準(zhǔn)答案，教師要具有一雙慧眼，及時關(guān)注學(xué)生在作法探析過程中面臨的思維障礙和困難，捕捉學(xué)生暴露出真實的、自然的、有價值的原始思維，正如全國知名中考命題專家王紅兵老師倡導(dǎo)的以學(xué)定教，順學(xué)而教，教師分步適時介入.通過點撥及追問，激發(fā)學(xué)生主動關(guān)聯(lián)調(diào)用相關(guān)核心知識，并將其整體化、經(jīng)驗化、結(jié)構(gòu)化，理性構(gòu)建基本圖形來獲取解決問題的思路，潛移默化地達(dá)到了深度學(xué)習(xí)，這樣開放的探究課堂上才會不斷迸發(fā)精彩，高潮迭起.

(3)基于通性通法，追求解法自然

本試題的解法眾多，大多方法是基于核心知識的關(guān)聯(lián)提取以及模型思想自然運(yùn)用，著重過程與方法目標(biāo)的考察，這就要求教師在學(xué)生“憤悱”之時，必須要“逼”他們充分體驗結(jié)果“若隱若現(xiàn)”的“痛苦”，就差一口氣出不來；然后在老師的“撩撥”之下“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)功夫”；最后學(xué)生之間主動相互“撩撥”，點到為止再思考，“心有靈犀”交流共享自己創(chuàng)造的獨(dú)特解法，進(jìn)而感受解法探究的“欲罷不能”.

張景中院士認(rèn)為：小巧一題一法，不應(yīng)提倡，大巧法無定法，也確實太難，出路在于中 巧.這里的中巧，指的就是數(shù)學(xué)解題中有章可循的通性通法.教師應(yīng)加強(qiáng)通性通法的指導(dǎo)，力圖外顯一般化的思考方法，引領(lǐng)學(xué)生形成一般化的思維習(xí)慣和自主探析作法的能力.正如蘇步青數(shù)學(xué)教育獎、生長數(shù)學(xué)倡導(dǎo)者、設(shè)計者、探索者、實踐者卜以樓老師所追求的營造前后一致，邏輯連貫，一以貫之的生長性思維.我們倡導(dǎo)發(fā)散性思維，并不是刻意追求解法越多越好，而是引導(dǎo)學(xué)生主動自覺地用通性通法探究解法，實現(xiàn)最近聯(lián)想的自然性.其實本試題還有如圖14，15的“三條割線”、“兩雙割線”這樣僅用無刻度直尺作圖的方法，但這樣的解法既想不到，也不會證明，對學(xué)生的思維發(fā)展的價值很小，如果有點價值，那就是學(xué)生驚嘆其神奇，有點興趣而已.相較于一題多解，方法的歸納梳理有助于提升思維品質(zhì).

圖14

圖15

尺規(guī)作圖教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去分析思維的起點與突破口，尋找樸素的適合學(xué)生思維的自然，堅持前后一致的必然，揭示揭示本質(zhì)貫通的超然.即首先要讓學(xué)生“想得到”，知法明理，再讓學(xué)生“想得妙”，優(yōu)化思維.教給學(xué)生作法背后的“套路”，感悟“套路”背后所蘊(yùn)含最基本的思想方法，最后讓學(xué)生“想得透”，讓通性通法成為學(xué)生作圖的“家常菜”，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).