“1”在數(shù)學(xué)解題中的妙用初探

?甘肅省天水市第九中學(xué) 陶建宏

1 引言

在解答數(shù)學(xué)題目時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到一些覺(jué)得束手無(wú)策的情況，但通過(guò)仔細(xì)思考，不難發(fā)現(xiàn)題目中隱含的一個(gè)數(shù)“1”，若能發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)，將會(huì)收到意想不到的效果，下面通過(guò)幾個(gè)題目加以說(shuō)明.

2 “1”的妙用

2.1 “1”在求三角函數(shù)值問(wèn)題中的運(yùn)用

例1已知tana=2求4sin2a-sinacosa-cos2a的值.

分析：這個(gè)題目如果由tana=2出發(fā)去求sina和cosa的值，再代入所求式子方可求出，但是在求sina和cosa的值時(shí)要分第一和第三象限兩種情況進(jìn)行討論，并且在第一和第三象限sina和cosa的正負(fù)相同，在兩種情況下得到的答案相同，但作為一個(gè)解答題時(shí)必須分兩種情況進(jìn)行計(jì)算.可是如果我們?cè)俸煤糜^察不難發(fā)現(xiàn)所求式子的分母是經(jīng)常容易被人們忽視的“1”，而這里1=sin2a+cos2a再將分子分母分別除以cos2a，從而化為了正切的形式.

詳解：4sin2a-sinacosa-cos2a

注意：這里分母是“1”很少能引起人們的注意，以為沒(méi)有分母，而實(shí)質(zhì)分母是容易被人們忽視的“1”.在三角函數(shù)部分多用1=sin2a+cos2a.

再比如，2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽(高二)中有這樣一道題目：已知7sinα+24cosα=25，則tanα=( ).

分析：對(duì)于此題如果能求出sina和 cosa的值，再利用商數(shù)關(guān)系可以求出tana的值，但是這很難求解.若對(duì)原式兩邊平方，再注意到sin2a+cos2a=1，得

(7sinα+24cosα)2=252×1=252[(sin2a+cos2a]，展開(kāi)整理得(24sinα-7cosα)2=0.

通過(guò)這兩個(gè)題目讓學(xué)生在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中注意這個(gè)很重要的數(shù)字“1”以及1=sin2a+cos2a.

2.2 “1”在指數(shù)、對(duì)數(shù)中的運(yùn)用

在數(shù)學(xué)解題中，若能根據(jù)題目特征巧妙地利用“1”作代換，常能出奇制勝，取得較好解題效果.比如在指數(shù)和對(duì)數(shù)中經(jīng)常會(huì)遇到一些有關(guān)“1”的問(wèn)題.

例2解方程4x-2=1.

解析：因?yàn)閍0=1(a≠0)，所以4x-2=40，得x-2=0，即x=2.

看起來(lái)這是一個(gè)簡(jiǎn)單的指數(shù)方程問(wèn)題，但如果不知道a0=1(a≠0)這個(gè)條件，就無(wú)法更簡(jiǎn)單求解.

例3解不等式lgx>1.

解析：因?yàn)閘ogaa=1(a>0且a≠1) 所以lg10=1.又根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，由lgx>lg10，得x>10.

例4函數(shù)y=loga(x-4)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)________.

解析：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0),由x-4=1,可得x=5.則函數(shù)y=loga(x-3)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(5,0).

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)是考試?？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)，它都涉及常數(shù)“1”.

通過(guò)這幾個(gè)題目可以看出在指數(shù)與對(duì)數(shù)中“1”顯得特別重要.要注意“1”這個(gè)特殊的數(shù)字，它的作用非常大，不能藐視.

2.3 “1”在求多元函數(shù)最值問(wèn)題中的運(yùn)用

分析：這個(gè)題目是求多元函數(shù)最值的一個(gè)常見(jiàn)題目，學(xué)生剛開(kāi)始覺(jué)得不好做，但若能靈活運(yùn)用已知條件中的“1”作適當(dāng)?shù)恼w代換，再利用均值不等式方可求解.

3+2+2+2=9，

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=6,z=9時(shí)取得最小值9.

此題如果不能注意到“1”乘任意一個(gè)數(shù)都得這個(gè)數(shù)的話，這個(gè)題目就無(wú)法更簡(jiǎn)單求解.

2.4 “1”在求多元條件下代數(shù)式的最值問(wèn)題的運(yùn)用

例6已知x>0,y>0且x3+y3=2，試求x+y的最大值.

所以x+y的最大值是2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取到最大值2.

2.5 “1”在求無(wú)理式的最值問(wèn)題中的運(yùn)用

分析：解決這個(gè)題的關(guān)鍵是如何去掉根號(hào)，這樣才能利用x+y+z=1這個(gè)條件.在選修教材4-5中，學(xué)習(xí)了柯西不等式求最值，這個(gè)題就可以利用柯西不等式去求解.

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上五類問(wèn)題的典型例題，在求代數(shù)式的值或最值時(shí)，如果注意到“1”這個(gè)特殊數(shù)字，巧妙地利用“1”作代換，往往可以幫助我們把一個(gè)復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到事半功倍的解題效果.這里僅列舉了有針對(duì)性的七道例題，以達(dá)到拋磚引玉的目的.而實(shí)質(zhì)上“1”這個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)字還有好多作用，這需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，做一個(gè)教與學(xué)的有心人，審題時(shí)要注意挖掘隱含條件，解題過(guò)程中要多做一些反思與總結(jié)，通過(guò)總結(jié)去加深理解并學(xué)以致用，從而提高解題能力、發(fā)散思維能力和探究歸納的能力.