基于“FAST”主動(dòng)反射面形狀調(diào)節(jié)問題的研究

張科智 魏 魁 王 帥 李思陽(yáng)

（1.河西學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院；2.河西學(xué)院非線性物理研究所，甘肅 張掖 734000）

引言

中國(guó)天眼FAST是目前世界上口徑最大、最具威力的單天線射電望遠(yuǎn)鏡，它的建成對(duì)于我國(guó)在人類直接觀測(cè)遙遠(yuǎn)星系行星、尋找類似太陽(yáng)系或地球的宇宙環(huán)境，以及潛在智慧生命方面都有關(guān)鍵性的作用，在航天工程及其他領(lǐng)域具有廣泛用途［1，2］，它的啟用對(duì)我國(guó)在科學(xué)前沿實(shí)現(xiàn)重大原創(chuàng)突破、加快創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展具有重要意義.

天眼FAST由主動(dòng)反射面、饋源艙以及相關(guān)系統(tǒng)組成.其模型是：利用可見光模擬天眼接收到電磁波信號(hào)，經(jīng)過反射面板工作將可見光反射匯聚到模擬饋源艙與接收機(jī)系統(tǒng)，此后將接收到的可見光通過光敏電阻及相關(guān)電路轉(zhuǎn)換為電信號(hào)［3，4］.但當(dāng)可見光經(jīng)反射面板不能準(zhǔn)確反射到光敏電阻位置時(shí)，可利用紅外遙控器對(duì)天眼的控制與模擬測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，使饋源艙的位置達(dá)到可見光反射點(diǎn)位置.其中，主動(dòng)反射面系統(tǒng)是由主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動(dòng)器及支承結(jié)構(gòu)等主要部件構(gòu)成的一個(gè)可調(diào)節(jié)球面.利用主動(dòng)反射面技術(shù)可將反射面調(diào)節(jié)為工作拋物面.

本文討論在反射面板調(diào)節(jié)約束下，利用幾何規(guī)律和粒子群優(yōu)化算法確定被測(cè)天體S位于基準(zhǔn)球面的不同方位時(shí)，體系的旋轉(zhuǎn)拋物面方程和基準(zhǔn)球面方程，研究FAST主動(dòng)反射面的天體形狀調(diào)節(jié)問題.通過調(diào)節(jié)促動(dòng)器的徑向伸縮量，將天體位于不同方位時(shí)的反射面板調(diào)節(jié)為工作拋物面，使得該工作拋物面盡量貼近理想拋物面，讓到達(dá)饋源艙的平行電磁波最強(qiáng)，以獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果.

1 理論模型

FAST 主動(dòng)反射面可分為兩個(gè)狀態(tài)：基準(zhǔn)態(tài)和工作態(tài).基準(zhǔn)態(tài)時(shí)反射面為半徑約300m、口徑D 為500m的球面（基準(zhǔn)球面）；工作態(tài)時(shí)反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個(gè)300m口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面（工作拋物面），F(xiàn)AST在觀測(cè)時(shí)的剖面示意圖，如圖1所示，C點(diǎn)是基準(zhǔn)球面的球心，饋源艙接收平面的中心只能在與基準(zhǔn)球面同心的一個(gè)球面（焦面）上移動(dòng)，兩同心球面的半徑差為F=0.466Rm（其中R為基準(zhǔn)球面半徑，稱F/R為焦徑比）.饋源艙接收信號(hào)的有效區(qū)域?yàn)橹睆?m的中心圓盤.當(dāng)FAST觀測(cè)某個(gè)方向的天體目標(biāo)S時(shí)，饋源艙接收平面的中心被移動(dòng)到直線SC 與焦面的交點(diǎn)P處，調(diào)節(jié)基準(zhǔn)球面上的部分反射面板形成以直線SC為對(duì)稱軸、以P為焦點(diǎn)的近似旋轉(zhuǎn)拋物面，從而將來(lái)自目標(biāo)天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域.

圖1 “FAST”剖面示意圖

由于不同的工作狀態(tài)選取的工作拋物面不同，這里我們以球心C坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，首先建立觀測(cè)天體S位于基準(zhǔn)球面的正上方時(shí)的理想拋物面模型，然后進(jìn)一步探究觀測(cè)天體位于任意方位角和仰角時(shí)的理想拋物面模型.

當(dāng)觀測(cè)天體S位于基準(zhǔn)球面的正上方時(shí)，α=0°，β=90°，其剖面如圖1所示.

由幾何關(guān)系和物理規(guī)律建立基準(zhǔn)球面的剖面方程為：

我們?cè)诨鶞?zhǔn)球面（4）式的基礎(chǔ)上，通過改變促動(dòng)器的伸縮量來(lái)改變工作拋物面的位置，經(jīng)計(jì)算口徑為300m 的旋轉(zhuǎn)拋物面與球面的徑向距離之差超過促動(dòng)器徑向伸縮范圍-0.6m～+0.6m 的主索點(diǎn)有423 個(gè)，因此，需要對(duì)旋轉(zhuǎn)拋物面進(jìn)行修正.設(shè)拋物面焦距的修正量為d，其中d 的取值范圍是［-0.6m，0.6m］，則修正后的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為：

結(jié)合反射面板調(diào)節(jié)因素，可以優(yōu)化計(jì)算得到旋轉(zhuǎn)拋物面焦距修正量d.（5）式是我們求解改變主動(dòng)反射面形狀后體系理想拋物面的關(guān)鍵.其中反射面反調(diào)節(jié)因素示意圖如圖2所示，包括主索節(jié)點(diǎn)、反射面板及促動(dòng)器的徑向伸縮量等［5］.本文中我們采用主動(dòng)反射面共有主索節(jié)點(diǎn)2226個(gè)，不考慮周邊支承結(jié)構(gòu)連接的部分反射面板共有4300塊［2］.

圖2 反射面板、主索網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意圖

當(dāng)天體位于任意方位角和仰角時(shí)，可在上述模型的基礎(chǔ)上利用坐標(biāo)變換確定理想拋物面模型.

2 天體位于α=0°， β=90°時(shí)理想拋物面的確定

將反射面調(diào)節(jié)為工作拋物面是主動(dòng)反射面技術(shù)的關(guān)鍵，該過程通過下拉索與促動(dòng)器配合來(lái)完成［6］.下拉索長(zhǎng)度固定，促動(dòng)器沿基準(zhǔn)球面徑向安裝，其底端固定在地面，頂端可沿基準(zhǔn)球面徑向伸縮來(lái)完成下拉索的調(diào)節(jié)，從而調(diào)節(jié)反射面板的位置，最終形成工作拋物面.從而使信號(hào)更好的反射到饋源艙，其工作面反射如圖3所示.

圖3 工作面反射示意圖

結(jié)合反射面板調(diào)節(jié)因素，經(jīng)優(yōu)化計(jì)算得到旋轉(zhuǎn)拋物面焦距修正量為0.204m，結(jié)合（5）式，由matlab畫圖得到到理想拋物面的曲面方程，如圖4和圖5所示.

從圖4我們看到，經(jīng)過修正后當(dāng)被測(cè)天體S位于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)得到理想的拋物面如圖4中的藍(lán)色曲線所示，非常好的貼近基準(zhǔn)球面如圖4中的紅色曲線.為了更清楚的描述理想拋物面的貼合程度，把圖4中的藍(lán)色曲線另畫如圖5所示.由拋物面的對(duì)稱性及球面的徑向距離之差超過促動(dòng)器徑向伸縮范圍-0.6m～+0.6m此約束條件知，此時(shí)的反射面是最理想的工作拋物面，使得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的接收效果最佳.

圖4 天體位于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)理想拋物面與基準(zhǔn)球面的比較，紅色線代表基準(zhǔn)球面，藍(lán)色線代表理想拋物面

圖5 天體位于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)理想拋物面

3 天體位于α=36.795°， β=78.169°時(shí)，理想拋物面的確定

3.1 模型建立

當(dāng)觀測(cè)天體S位于任意方位角和仰角時(shí)，可將天體位于基準(zhǔn)球面正上方所得到的理想拋物面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換確定此時(shí)的理想拋物面.本文任意選擇某一角度如α=36.795°，β=78.169°，建立反射面板調(diào)節(jié)模型，利用約束條件使反射面盡量貼近理想拋物面.

依據(jù)分析，建立如下數(shù)學(xué)模型：

圖6 天體S方位角和仰角示意圖

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-49.287m，-36.865m，-293.823m）.

3.2 目標(biāo)函數(shù)

因主動(dòng)反射面工作時(shí)要求將主動(dòng)反射面調(diào)整成盡可能接近理想拋物面的形狀，使到達(dá)饋源艙的平行電磁波最強(qiáng).因此調(diào)整后的節(jié)點(diǎn)位置相對(duì)于理想拋物面的偏差為最小時(shí)便是此問題的目標(biāo)函數(shù).故，設(shè)xi0（i=1，2,3…n）為節(jié)點(diǎn)i的初始位置坐標(biāo)向量.調(diào)整后對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移為

3.3 約束條件

假設(shè)基準(zhǔn)狀態(tài)下，促動(dòng)器頂端徑向伸縮量為0，其徑向伸縮范圍為-0.6m～+0.6m；主索節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)后，相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離變化不能太大，會(huì)發(fā)生微小變化，變化幅度不超過0.07%.故約束條件為

3.4 結(jié)果及應(yīng)用

通過式（9），利用約束條件和粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化得到天體位于α=36.795°，β=78.169°時(shí)，理想拋物面如圖7所示.

理想拋物面的圖像如圖7和圖8所示.

圖7 藍(lán)色代表α=36.795°，β=78.169°時(shí)的理想拋物面，紅色線代表α=0°，β=90°時(shí)的基準(zhǔn)球面

圖8 天體位于α=36.795°，β=78.169°時(shí)的理想拋物面

為了對(duì)比方便，我們給出了α=0°，β=90°的理想拋物面和α=36.795°，β=78.169°的對(duì)比圖如圖7所示.顯然，利用約束條件將重新建立的旋轉(zhuǎn)拋物面利用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，使反射面調(diào)節(jié)為工作拋物面，使得如圖7所示的拋物面盡可能的貼近理想拋物面，已獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果.在此過程中為使反射面盡量貼近該理想拋物面，可選反射面300m口徑內(nèi)主索節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的促動(dòng)器的伸縮量為控制變量，反射面與理想拋物面之間的徑向距離最小為目標(biāo)函數(shù)見（10）式，建立反射面板調(diào)節(jié)的優(yōu)化模型，利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)反射面300m口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化得到調(diào)節(jié)各促動(dòng)器的伸縮量及各主索節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo).

4 結(jié)論

本文對(duì)射電望遠(yuǎn)鏡的反射面的形狀進(jìn)行了分析，根據(jù)幾何關(guān)系和物理規(guī)律，結(jié)合反射面板的調(diào)節(jié)因素，建立反射面板的理想拋物面以及反射面板調(diào)節(jié)的優(yōu)化模型，模型能夠給出使反射面最接近理想拋物面的促動(dòng)器伸縮量及主索節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，研究結(jié)果對(duì)于射電望遠(yuǎn)鏡反射面板的調(diào)節(jié)具有一定的參考意義.結(jié)果表明：當(dāng)待觀測(cè)天體位于基準(zhǔn)球面正上方，即α=0°，β=90°時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系及反射面板的調(diào)節(jié)因素確定了一個(gè)理想拋物面，使得該工作拋物面盡量貼近理想拋物面，以獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果.當(dāng)待觀測(cè)天體位于任意方位角和仰角α=36.795°，β=78.169°時(shí)，利用對(duì)稱性將得到的理想拋物面經(jīng)旋轉(zhuǎn)操作后可得到天體位于任意角度α=36.795°，β=78.169°方位的理想拋物面以及理想拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（-49.38m，-36.86m，-293.92m）.然后以促動(dòng)器的伸縮量為控制變量，以調(diào)節(jié)后反射面板與理想拋物面之間的距離最小為目標(biāo)函數(shù)，以促動(dòng)器徑向伸縮范圍和主索節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)后相鄰節(jié)點(diǎn)之間變化幅度不超過0.07%為約束條件，建立反射面板調(diào)節(jié)的優(yōu)化模型.此方法適合任意方位角的優(yōu)化計(jì)算和鏡面調(diào)節(jié).最后采用粒子群算法求解該模型，得到調(diào)節(jié)后反射面300m口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)、位置坐標(biāo)和各促動(dòng)器的伸縮量.