在概念教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

【摘要】本文基于概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，以課例研究的方式，探討通過課前梳理明晰概念“身世”、通過操作體驗溯源概念本質(zhì)、通過多元建構(gòu)深化概念體悟、通過深度思考豐富概念內(nèi)涵、基于綜合運用延伸概念關(guān)聯(lián)的概念教學(xué)五大策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 數(shù)學(xué)思維 問題串

【中圖分類號】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）16-0042-04

數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解和解釋現(xiàn)實世界的思考方式?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的一個重要方面，認(rèn)為在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力;而運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進(jìn)行正確運算的能力，推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感知，推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。下面筆者以人教版數(shù)學(xué)二年級下冊“平均分”教學(xué)為例，談?wù)勗诟拍罱虒W(xué)中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的做法。

一、課前梳理，明晰概念“身世”

數(shù)學(xué)是邏輯性很強的學(xué)科，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)涉及眾多的數(shù)學(xué)概念，包括數(shù)的概念、運算的概念、常見的量的概念、圖形的概念、圖形運動的概念、式與方程的概念、正比例和反比例的概念、統(tǒng)計圖表的概念等。每個數(shù)學(xué)概念都不是獨立存在的，許多數(shù)學(xué)概念之間隱含著千絲萬縷的聯(lián)系，構(gòu)成線性或網(wǎng)格式的概念群。教師沿著“教什么”“為什么教”“怎樣教”的路徑進(jìn)行教學(xué)思考，必須確立“以學(xué)生為中心”的教學(xué)觀，在進(jìn)行概念教學(xué)準(zhǔn)備時，務(wù)必幫助學(xué)生厘清概念的“身世”，包括其“前世”“來生”，為學(xué)生正確地認(rèn)識和理解概念打下堅實的基礎(chǔ)。

美國著名認(rèn)知心理學(xué)家約翰·安德森（John R.Anderson）提出：新的知識是需要學(xué)習(xí)者自我建構(gòu)的，然而學(xué)習(xí)者不是簡單地將新知存儲在大腦中，而是必須將新知與自己的舊知建立關(guān)系，這個建立關(guān)系的過程就是學(xué)習(xí)的本質(zhì)。基于約翰·安德森的學(xué)習(xí)觀，教師在課堂教學(xué)中要善于利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識與學(xué)習(xí)經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生學(xué)習(xí)需求的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

針對本課教學(xué)，教師要讓學(xué)生明白：在學(xué)習(xí)新課之前，他們對“平均分”的數(shù)學(xué)知識是有所了解和感知的，這便是“平均分”的前概念，或者說是“平均分”概念的“前世”。比如：在“數(shù)的分與合”的操作中“似曾相識”地體驗過“平均分”，知道2可以分成1和1，4可以分成2和2;在解決實際問題“3個同學(xué)一起折小星星，每人折了6個，一共折了多少個？”“女孩剪了8個窗花，男孩剪的窗花和女孩一樣多，男孩和女孩一共剪了多少個窗花？”的過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過“每份同樣多”。除了“前世”，學(xué)生還要對概念的“來生”有所感知。比如，在學(xué)完“平均分”之后，他們便可以學(xué)習(xí)“除法的認(rèn)識”“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”“倍的認(rèn)識”“按比例分配”等新知識了。

二、操作體驗，溯源概念本質(zhì)

概念教學(xué)中，對于教材中完整呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念“每份分得同樣多，叫平均分”，教師通常用讀概念、記概念、用概念的方法推進(jìn)教學(xué)，而有意無意地忽略了概念的形成過程，結(jié)果便是學(xué)生只知其然而不知其所以然，既不利于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系，更不利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

課堂教學(xué)“平均分”例1把6顆糖果分成3份的內(nèi)容，筆者沒有直接呈現(xiàn)課本中分糖果的過程和答案，而是對題目稍稍進(jìn)行了改編，引導(dǎo)學(xué)生通過“擺一擺”的操作體驗活動，自主探究問題解決的方案。最終學(xué)生用交互式電子白板呈現(xiàn)了自己的數(shù)學(xué)思考和操作結(jié)果，總共呈現(xiàn)了三種不同的分法（如圖1），且多數(shù)學(xué)生“喜歡第三種分法，因為這種分法讓每人分得的糖果同樣多，更公平”。

以此為基礎(chǔ)，筆者開始將實物糖果抽象為數(shù)學(xué)圖形“○”，設(shè)計了一個更加開放的“分一分”操作活動，引導(dǎo)學(xué)生在做中學(xué)、做中思、做中悟，進(jìn)一步發(fā)展操作能力、表達(dá)能力、概括能力和創(chuàng)新思維能力。

師：老師也喜歡這種“每份分得同樣多”的分法。如果老師把糖果換成6個“○”，你還會分嗎？（生齊答“會”）那怎樣分才能讓每份同樣多呢？請你和同桌商量一下，再分一分，并把你的分法畫下來。

學(xué)生完成操作后，匯報交流了三種不同的分法（如圖2）。

師：誰來說一說，上面的三種分法有什么相同的地方？

生1：都有6個“○”。

生2：分得的結(jié)果都是每份同樣多。

師：說得真好，一句話就把三種分法的共同點講清楚了。像這樣每份分得同樣多的分法，就叫“平均分”。（板書：每份分得同樣多，叫平均分。）

師：你能用“平均分”說一說上面的三種分法嗎？

生1：共有6個“○”，每3個“○”為一份，平均分成了2份。

生2：共有6個“○”，每2個“○”為一份，平均分成了3份。

生3：共有6個“○”，每個“○”為一份，平均分成了6份。

師：誰還有不同的說法？

生4：把6個“○”平均分成2份，每份是3個“○”。

生5：把6個“○”平均分成3份，每份是2個“○”。

生6：把6個“○”平均分成6份，每份是1個“○”。

生7：老師，我還有一種分法，就是把6個“○”分成一份，每份還是6個“○”。

師：老師要特別感謝小銘（指生7）的分享，我們一起來看看這種分法是不是“每份分得同樣多”。（師在交互式電子白板一邊演示一邊講解）把6個“○”分為一份（圈出一份，如圖3），還有哪一份跟它一樣多？（生齊答“沒有”）所以這種分法是不是平均分？（生齊答“不是”）原因在哪里？（生紛紛議論作答）是的，他沒有把6個“○”分成幾個部分。

以上“分一分”活動，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生探究新知的欲望;在直觀形象、生動具體的學(xué)習(xí)情境中，學(xué)生明白了“平均分”中隱含了“分成幾個部分”且“每個部分一樣多”的真正含義。以上活動設(shè)計，超越了教材“比一比哪種分法是平均分”的思維局限，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖操作、多重對比、反復(fù)思辨，牢牢地抓住了“平均分”的本質(zhì)“每份分得同樣多”，促進(jìn)了學(xué)生對概念的深度理解。

三、多元建構(gòu)，強化概念體悟

皮亞杰的建構(gòu)主義理論強調(diào)，學(xué)習(xí)是積極主動的意義建構(gòu)過程。小學(xué)數(shù)學(xué)每一個新概念的學(xué)習(xí)過程對學(xué)生來說都是一次知識再造的過程。

在本課中，當(dāng)學(xué)生在“擺一擺”的活動中初步認(rèn)識了“平均分”的本意，在“分一分”的活動中加深了對“平均分”概念本質(zhì)的理解之后，筆者緊接著創(chuàng)設(shè)了一個“畫一畫，圈一圈，說一說”的系列活動，讓學(xué)生手、腦、眼、嘴、耳多種感官同步參與學(xué)習(xí)探究活動，強化學(xué)生對“平均分”概念的討論和個性化體悟。

師：學(xué)校大隊部開展“學(xué)雷鋒”志愿服務(wù)活動，準(zhǔn)備把12個垃圾鏟平均分給各中隊，你知道可以分給幾個中隊、每個中隊分得幾個嗎？請大家試著畫一畫、分一分。

生1：我用小棒表示垃圾鏟，如果2個2個分，可以分給6個中隊;6個6個分，可以分給2個中隊;4個4個分，可以分給3個中隊;3個3個分，可以分給4個中隊;1個1個分，可以分給12個中隊。（師課件呈現(xiàn)學(xué)生的畫法、分法，如圖4）

生2：我也是這樣分的，還記下了每次分得的份數(shù)。

生3：我用不同顏色的彩鉛圈出不同的分法，可以看得更清楚。（師課件呈現(xiàn)學(xué)生的畫法、分法，如圖5）

師：老師贊同大家的分法。不過，老師只畫了一幅圖，大家想看看嗎？（生齊答“想”，師課件出示圖6）

生4：老師，還可以用乘法口訣來分，比如，二六十二，可以是2個一份，也可以是6個一份;三四十二，可以是3個一份，也可以是4個一份。

師：你真會聯(lián)想，在“畫一畫”的過程中居然想到了學(xué)過的乘法口訣！老師給你點個贊！

在“畫一畫、圈一圈、說一說”的系列活動中，學(xué)生經(jīng)歷了操作、表達(dá)、說理的過程，結(jié)合圖示表達(dá)自己對平均分的認(rèn)識、理解和應(yīng)用，深刻體悟“每份分得同樣多就是平均分”的概念，主動建構(gòu)一個數(shù)里包含有幾個幾的“包含分”的意義，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

四、深度思考，豐富概念內(nèi)涵

蘇霍姆林斯基曾說：學(xué)生要想牢固地掌握數(shù)學(xué)，就必須用內(nèi)心創(chuàng)造與體驗的方法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教材中的內(nèi)容相對來說是線性發(fā)展的，通常是按照一定的規(guī)則由問題推導(dǎo)出結(jié)果，而忽視了學(xué)生個體不同的理解水平。如果換成由小學(xué)生自主推導(dǎo)，這個過程中極有可能出現(xiàn)“非正?！钡慕Y(jié)果。為此，筆者再次改編了教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，針對例2教學(xué)，通過設(shè)置有效的“問題串”，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生通過細(xì)思慢學(xué)、層層遞進(jìn)，最終實現(xiàn)對“等分”意義的深度理解。

問題1：把18個桔子平均分到6個盤子里，每個盤子里放幾個？先說說你打算怎樣分，再畫出你的分法。

生1：我1個1個地分，邊分邊數(shù)，直到分完為止。最后發(fā)現(xiàn)，每個盤子里可以放3個桔子。（師課件展示該生的分法，如圖7）

生2：我先2個2個地分，再1個1個地分，也是每個盤子放3個桔子。

師：誰還有不同的分法？

生3：我是這樣想的，因為有6個盤子，乘法口訣三六十八，每個盤子直接就分3個桔子，18÷6=3。

師：先想乘法口訣再分，能分得更快。老師還沒教除法，你就會用除法算式表示了，真厲害！

師：同學(xué)們再想一想，是不是每次都能用乘法口訣來分呢？如果老師現(xiàn)在拿走一個盤子，剩5個盤子，18個桔子還可以平均分嗎？（課件呈現(xiàn)“問題2”）

問題2：18個桔子能平均分到5個盤子里嗎？說說你是怎么想的。

生4：我認(rèn)為不能進(jìn)行平均分了，因為我1個1個地分，分完之后有的盤子分得4個桔子，有的盤子分得3個桔子。

師：還有不同的分法和想法嗎？

生5：我認(rèn)為每個盤子可以分得一樣多，都放3個，還剩下3個不用分，課本后面“有余數(shù)的除法”就是這樣分的。

師：你的自學(xué)能力太強了，真是出乎老師的意料！給你點兩個贊！

師：在日常生活中，當(dāng)我們“平均分”物品的時候，可能剛好能夠“分得完”，也可能“分不完”、有剩余。大家再想一想，要把18個桔子全部平均分到盤子里，應(yīng)該準(zhǔn)備幾個盤子才合適呢？（課件出示“問題3”，要求學(xué)生以四人小組為單位合作完成如表1所示學(xué)習(xí)單）

問題3：把18個桔子平均分到盤子里，要求全部分完，準(zhǔn)備幾個盤子合適？

生6：我們小組有4個解決方案。方案一，準(zhǔn)備6個盤子，每個盤子分得3個桔子;方案二，準(zhǔn)備3個盤子，每個盤子分得6個桔子。方案一和方案二用的都是乘法口訣“三六十八”。方案三，準(zhǔn)備2個盤子，每個盤子分得9個桔子;方案四，準(zhǔn)備9個盤子，每個盤子分得2個桔子。后兩個方案用的都是乘法口訣“二九十八”。

生7：我們小組補充方案五，準(zhǔn)備18個盤子，每個盤子分得1個桔子。

生8：我補充意見，以上方案都可以用除法算式表示，18÷6=3，18÷3=6，18÷2=9，18÷9=2，18÷18=1。

師：看來，大家對“平均分”的真面目認(rèn)識得越來越清晰了，平均分就是——（生答）每份分得同樣多。

像這樣“細(xì)思慢學(xué)”，不僅關(guān)注學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識的結(jié)果，更重視學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、獲取數(shù)學(xué)知識的過程。如圖9所示，“想、畫、數(shù)、聽、說”都緊緊圍繞核心問題串展開，3個核心問題對應(yīng)3個不同層次的操作活動，著眼于平均分概念本質(zhì)“每份分得同樣多”不同層面的理解，有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

師：剛才我們是用什么方法解決分糖果、分圓片、分垃圾鏟、分桔子的問題的？

生：畫圖和列表的方法。

師：畫圖、列表都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法?，F(xiàn)在誰來說說你眼中的“平均分”是什么樣子的？

生1：平均分就是分東西的時候，每份分得同樣多。

生2：平均分有時候正好分得完，有時候會有剩余。

生3：可以用乘法口訣來做平均分的題目。

生4：還能用除法算式表示平均分。

以上教學(xué)過程，通過創(chuàng)設(shè)適合的學(xué)習(xí)情境、思考路徑、表達(dá)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生運用適合的方法學(xué)習(xí)、理解和解決“平均分”的問題，實現(xiàn)了“三個轉(zhuǎn)化”，即數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)心的創(chuàng)造和體驗，動態(tài)操作轉(zhuǎn)化為靜態(tài)留痕，具體事物（糖果、垃圾鏟、桔子）轉(zhuǎn)化為抽象的幾何圖形（“○”“|”）。整節(jié)課圍繞三次“畫平均分”展開，學(xué)生畫一次解決一個關(guān)鍵知識點，有效的操作活動逐漸掀開“平均分”的面紗，形成了“分成幾部分，各部分一樣多”→“包含分”→“等分（正好分完或分后有剩余）”的完整學(xué)習(xí)鏈條，讓學(xué)生準(zhǔn)確、完整地建構(gòu)起“平均分”的概念，既知其然又知其所以然。

五、綜合運用，延伸概念關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)概念之間聯(lián)系緊密，層層推進(jìn)，通常前一個概念是后一個概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而后一個概念又是前一個概念的擴展、升級、完善，最終形成縱橫交錯、密切關(guān)聯(lián)的知識網(wǎng)絡(luò)。概念教學(xué)一向具有承前啟后的作用?！捌骄帧钡膶W(xué)習(xí)是為除法和分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備的，課堂中的平均分案例都是對多個物品或圖形的平均分，為了延伸概念關(guān)聯(lián)，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的過程性、關(guān)聯(lián)性、整體性和發(fā)展性的體悟過程，筆者設(shè)計了下面的實踐操作練習(xí)：要把一根彩帶平均分給四個小朋友，你打算怎么做？同時為每一個學(xué)生準(zhǔn)備了一張20厘米長的紙條，引導(dǎo)學(xué)生在綜合運用知識解決問題的過程中修改、完善操作方案，發(fā)展對“平均分”概念的認(rèn)知，強化對該概念全面而深刻的理解，以及長久的記憶。

在接下來的學(xué)習(xí)成果展示活動中，生1“把紙條對折再對折，得到了4個大小一樣的長方形并把它們裁開分給了四個小朋友”，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考“她的辦法是不是平均分，為什么”，學(xué)生能夠基于自身對概念的理解進(jìn)行解答“是平均分，因為每份分得同樣多”。最后筆者進(jìn)行小結(jié)：生活中我們可以把幾個物體平均分，也可以把一個物體平均分，只要每份分得同樣多就是平均分。

本課教學(xué)秉持“向?qū)W而教，以學(xué)定教，為學(xué)善教”的教學(xué)理念，運用學(xué)生喜聞樂見的“畫概念”學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在不同層面的操作活動中積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流，在操作體驗中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在觀察比較中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，在課堂討論中培育思辨能力，有效發(fā)展了學(xué)生的運算能力、推理意識和推理能力，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

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[2]陳沙沙，蔡金法.合作學(xué)習(xí)中的問題提出助力概念理解：“周長”教學(xué)實踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（2）：17-21.

[3]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

作者簡介：黃鳳揚（1974— ），廣西德保人，高級教師，廣西特級教師，主要研究方向為數(shù)學(xué)教育和教育管理。

（責(zé)編 白聰敏）