數(shù)學(xué)美融合高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

徐福龍

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的特點(diǎn)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體會數(shù)學(xué)美，并要對學(xué)生開展數(shù)學(xué)美教育，并以此調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的文化審美意識，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的應(yīng)用價值。本文以新教材《數(shù)列》單元教學(xué)為例，對融合數(shù)學(xué)美的意義及途徑與方式進(jìn)行闡述。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)美;數(shù)列

一、融合數(shù)學(xué)美的意義

1.基于改善如今教學(xué)現(xiàn)狀的需要

在目前的高中數(shù)學(xué)教育中，教師往往只注重于教會學(xué)生怎樣解題，而忽視了學(xué)生對數(shù)學(xué)美的發(fā)掘和鑒賞，這很不利于學(xué)生科研創(chuàng)新精神的啟發(fā)和養(yǎng)成?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，明確提出“進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的科研意義、使用意義、生命力和社會審美意義。”在當(dāng)前新課標(biāo)改革的大背景下，要通過發(fā)展傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育科目來培養(yǎng)學(xué)生的社會審美意義，使學(xué)生感受并體驗到數(shù)學(xué)的美好。

2.融合數(shù)學(xué)美，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

高中數(shù)學(xué)，也因為它的抽象和嚴(yán)密，常常讓學(xué)生有枯燥乏味之感，甚至敬而遠(yuǎn)之。這樣，教師在數(shù)學(xué)課堂上就要不斷地充分調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性，以增強(qiáng)他們對學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。要堅持的數(shù)學(xué)原理之一，是美的體驗原理，同時也是進(jìn)行數(shù)學(xué)美的素質(zhì)教育，即寓教于美，從美的體驗中使學(xué)生身心上得到親切感，產(chǎn)生求知激情，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣。

3.學(xué)生學(xué)會審美可以改善數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

融合數(shù)學(xué)美是從另外一個角度來鍛煉學(xué)生的邏輯思維，使學(xué)生能夠更加順利地解決數(shù)學(xué)疑問，更高效地學(xué)習(xí)。在具體教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生了解很多的數(shù)學(xué)知識公式與定理，會解答問題，更關(guān)鍵的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)知識的過程中發(fā)現(xiàn)和解決問題，而這個過程中就是對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力以及思維能力的有效鍛煉。而數(shù)學(xué)美在某些情況下可以幫助學(xué)生提供解決問題的思路與方向。數(shù)學(xué)美是聯(lián)結(jié)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要紐帶，它可以讓學(xué)習(xí)者在認(rèn)識、技能、品格的三維空間中縱向馳騁，既培養(yǎng)非智力因素，也塑造智力因素，進(jìn)而從總體上提升了現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的層次。

4.數(shù)學(xué)美可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值

數(shù)學(xué)美除對數(shù)學(xué)本身具有方法論的意義之外，對其它科學(xué)研究也具有巨大的意義。對數(shù)學(xué)美追求，是數(shù)學(xué)探索的最有力、最高尚的精神動力。具備這樣數(shù)學(xué)藝術(shù)思想的人，研究數(shù)學(xué)都顯示了巨大的熱情和獻(xiàn)身精神。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中時常融合數(shù)學(xué)美，能夠?qū)W(xué)生的探索欲更好地釋放出來，并且加深學(xué)生對數(shù)學(xué)公式定理的把握與了解，進(jìn)而學(xué)生能夠在以后的學(xué)習(xí)與工作中更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價值，享受數(shù)學(xué)美帶來的益處。

5.數(shù)學(xué)美育能夠促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展

素質(zhì)教育就是人的全面蓬勃發(fā)展的教育。因為文明的產(chǎn)生離不開數(shù)學(xué)本身，有數(shù)學(xué)教育就有數(shù)學(xué)美育。所以，數(shù)學(xué)美育就是整體人類發(fā)展素質(zhì)教育的一項重要部分，它能夠充實美化人們的智慧生命與科技藝術(shù)理想，進(jìn)一步發(fā)展人們對數(shù)學(xué)本身的興趣和熱愛，培育人們的審美觀，提高人們對數(shù)學(xué)美的欣賞力、創(chuàng)造性，從而引發(fā)對當(dāng)代人類教育事業(yè)的忠貞和熱愛，對人性真善美執(zhí)著的追求。馬克思說：“人也按照美的規(guī)律來構(gòu)造。”用在數(shù)學(xué)教學(xué)上可理解為，只有用數(shù)學(xué)美的法則來訓(xùn)練學(xué)生，才能訓(xùn)練出全面發(fā)展的學(xué)生。

二、融合數(shù)學(xué)美的途徑與方式

1.通過生活實例為背景融合數(shù)學(xué)美

現(xiàn)實生活中有很多美麗的事物。在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師只有挖掘現(xiàn)實生活中的“美麗”，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的實質(zhì)，并引領(lǐng)學(xué)生自覺地探索美、發(fā)掘美、享受美，并努力地去燃起每個學(xué)生心中美的火花，才能使學(xué)生從數(shù)學(xué)課堂上獲得美感，使數(shù)學(xué)本身的美好特色在高中數(shù)學(xué)課堂上落地生根。比如，教師在講《數(shù)列的概念》時，就可以通過書本第10頁斐波那契數(shù)列融合數(shù)學(xué)美。我們知道斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……

這個數(shù)列中，從第三項開始，每一個都為它前二項之和，比如1+1=2，2+3=5等，這個數(shù)列前后兩項的比值隨項數(shù)的增加越來越接近0.618。這也正是斐波那契數(shù)列性質(zhì)和黃金分割規(guī)律的重要聯(lián)系。新教材選擇性必修二第11頁，用文字說明“樹枝的生長、花瓣的數(shù)量、植物種子都遵循了斐波那契數(shù)列的規(guī)律”，文字旁邊的圖畫則生動地表達(dá)了自然界的美和數(shù)的聯(lián)系，同時，文字說明中也指出了自然界的美這種規(guī)律和數(shù)列之間的關(guān)聯(lián)。教師運(yùn)用多媒體技術(shù)給學(xué)生呈現(xiàn)了生動豐富的自然情景，讓學(xué)生體驗到自然界的奧妙與神秘，并感受數(shù)學(xué)教育中沁人心脾的美感。

同時，斐波那契數(shù)列運(yùn)用得非常普遍，與其它學(xué)科也有著非常密切的結(jié)合。生理學(xué)上有名的魯?shù)戮S格定理：花卉在每一個的分枝數(shù)組成了斐波那契數(shù)列。而一般水生植物花的瓣數(shù)即為斐波那契數(shù)列中的某項，如百合花、茉莉等的瓣數(shù)為三，山胡椒的瓣數(shù)為五，藍(lán)鈴花的瓣數(shù)為八。而花卉的生長發(fā)育特性，和斐波那契數(shù)列間的密切聯(lián)系并不是完全巧合，而是因為花卉的生長發(fā)育特性可以最好地使用空間。所以，斐波那契數(shù)列也反映了幾何自身和生物之間的密切聯(lián)系。又因為斐波那契數(shù)列自身就有著與自然界調(diào)和、一致的藝術(shù)美，所以在繪畫、建筑設(shè)計上也有著重要應(yīng)用。而與斐波那契數(shù)列密切相關(guān)的黃金分割在繪畫、建筑設(shè)計上的運(yùn)用則是不勝枚舉。比如，達(dá)芬奇的不少代表作中，如，《維特魯威人》《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》等作品，都恰到好處地運(yùn)用了黃金分割比例關(guān)系。學(xué)生經(jīng)過對斐波那契數(shù)列的學(xué)習(xí)后，能感受到數(shù)學(xué)美育和生活中及其它學(xué)科之間的密切聯(lián)系，對學(xué)生逐步形成數(shù)理應(yīng)用意識產(chǎn)生著積極影響。

2.通過數(shù)學(xué)運(yùn)算融合數(shù)學(xué)美

數(shù)列這個單元課程中涉及許多數(shù)學(xué)運(yùn)算，包括在數(shù)列求和中常用的倒序相加法、裂項相消法、錯位相減法等，這些數(shù)學(xué)運(yùn)算中包含了對稱性美、奇特美、簡潔美、嚴(yán)謹(jǐn)美，還有形式美與統(tǒng)一美等，我們可以以此激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的濃厚興趣，并轉(zhuǎn)變學(xué)生對數(shù)學(xué)單調(diào)難學(xué)的刻板印象，同時起到鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰皠?chuàng)新性邏輯思維的目的，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（1）對稱美

在等差數(shù)列和等比數(shù)列中有很多可以融合數(shù)學(xué)美的題型，在這些題型的解答過程中，學(xué)生能夠很好地體會到數(shù)學(xué)的對稱美，感受到數(shù)學(xué)美的魅力。比如，數(shù)列中一些設(shè)元技巧就很具有對稱性，即對稱美。如以下例題，如果已知等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列。我們知道可以設(shè)這四個數(shù)分別是a-3d，a-d，a+d，a+3d（公差為2d）。這樣的設(shè)元就體現(xiàn)出數(shù)學(xué)對稱美，同時數(shù)學(xué)美給學(xué)生提供另外一個角度思考問題。

再比如，裂項相消中同樣具有對稱美，同時也體現(xiàn)奇異美，比如，數(shù)列，求它的前n項和Sn.

在上面求和的過程中，式子的基本結(jié)構(gòu)中存在著三個確定的“對稱”項：①式子前后部分留下的項數(shù)都是一致的;②在消去后，式子前后部分留的項的位置都是相應(yīng)的，如前面留的為第一項，則后面留的為倒數(shù)第一項;③所留項的符號也是相應(yīng)的，如第一項是正號，那么最后一個的符號必是負(fù)號，反之亦然。這樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算中包含的對稱美同樣可以給學(xué)生一種檢驗自己的運(yùn)算是否正確，提供檢驗解決問題的思路。

同樣，對稱美在等差數(shù)列中通項公式與一次函數(shù)的一致性中也有體現(xiàn)，比如，通過斜率公式啟發(fā)學(xué)生感知斜率公式的對稱美，同時引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想斜率公式可運(yùn)用于已知等差數(shù)列任意兩項求公差，只要將公式中的字母作對應(yīng)替換，它就是的公式，體現(xiàn)了斜率公式多功能的價值美。在中點(diǎn)坐標(biāo)公式? 和等差中項中同樣存在著這樣的價值美。

（2）簡潔美

數(shù)學(xué)的優(yōu)美提問常常蘊(yùn)涵著“簡單化”原則，比如使用裂項相消求和，通過對數(shù)列中大部分的項有序地相互消去以達(dá)到簡化式子的目標(biāo)，其結(jié)構(gòu)變化，從多項到有限項，結(jié)論的簡潔為解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題創(chuàng)造了有利的條件。裂項相消過程中所有的項目都被神秘地消去，即留下了一個簡單的結(jié)果使人震驚，它不但給予了學(xué)生對數(shù)學(xué)“簡潔美”的直觀感受，而且使學(xué)生從體驗中有所感受，從而進(jìn)一步地提高了學(xué)習(xí)信心。比如，的數(shù)列，最終，變成一個非常簡單的式子。

3.通過數(shù)學(xué)史融合數(shù)學(xué)美

對數(shù)學(xué)美教育與當(dāng)代數(shù)學(xué)在課程上的融合而言，一個最主要的方式就是通過講解重大的數(shù)學(xué)故事以及重大的數(shù)學(xué)歷史人物，其中大量而又生動有趣的數(shù)學(xué)案例可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展史予以更加形象化的理解與認(rèn)知，也能夠使學(xué)生可以從更深入的層次上了解與認(rèn)知當(dāng)代數(shù)學(xué)，從而感受前人對數(shù)學(xué)的鉆研精神，并體會數(shù)學(xué)的獨(dú)特之美。比如，人類對等差與等比數(shù)列求和問題的興趣就由來已久，大約在公元1800年，古埃及的“加罕紙草書”上就記載了等差數(shù)列的求和問題;中國古代一些有名的數(shù)學(xué)家對導(dǎo)出高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)立并開發(fā)了名為“垛積術(shù)”的算術(shù)，這都顯示了前人的聰明才智。

比如，北宋的著名數(shù)學(xué)家沈括淵博多才、善于考察。相傳有一日，他進(jìn)入了一個飯館，看到一層層壘起的酒壇，不禁想：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”沈括“用芻童（長方臺）法求之，常失于數(shù)少”，他想，堆積的酒壇、棋子等雖然看起來像實體，但中間是有空隙的，應(yīng)該把它們看成離散的量。經(jīng)過反復(fù)嘗試，沈括提出對于上底有ab個，下底有cd個，共n層的堆積物，可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”，相當(dāng)于求數(shù)列ab，（a+1）（b+1），（a+2）（b+2），……，（a+n-1）（b+n-1）=cd的和，然而“隙積術(shù)”的意義并不在于提出了二階等差數(shù)列的一個求和公式，而在于發(fā)展了自《九章計算》以來對等差數(shù)列難題的深入研究，開啟了中國“垛積術(shù)”的新探索。

研究數(shù)學(xué)史，一方面，可以使中小學(xué)生了解到數(shù)學(xué)的發(fā)展史，另一方面，也對學(xué)生的民族榮譽(yù)感進(jìn)行了激勵，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的濃厚興趣。作為數(shù)學(xué)教師，要注意有關(guān)資料的收集整理，在教學(xué)的時候信手拈來，強(qiáng)化數(shù)學(xué)美的傳授。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)美自始至終都存在，也就是說，只要有數(shù)學(xué)知識，那么數(shù)學(xué)美就存在。所以，當(dāng)教師在對數(shù)學(xué)概念和定理進(jìn)行剖析的時候，如對等差等比數(shù)列的前n項和問題，要利用實際問題情境、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)名題對數(shù)學(xué)之美加以滲透，以便于讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念與定理有更良好的掌握和把握，并且使學(xué)生對數(shù)理概念與公理的認(rèn)識更加深入，同時使學(xué)生的數(shù)理思維能力得以提高，整個數(shù)學(xué)知識體系的形成更全面。

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責(zé)任編輯? 陳紅兵