一類高維波動方程和熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的簡易解法

◎喬 雨 匡 超 蔣思楊(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西 西安 710119)

1 引 言

偏微分方程起初源于對物理與幾何問題的研究，用來描述諸如振動弦與流體等物體的機(jī)械行為.現(xiàn)今在諸多數(shù)學(xué)分支,例如調(diào)和分析、泛函分析、微分幾何與指標(biāo)定理等領(lǐng)域，偏微分方程都被廣泛地研究和應(yīng)用.在本科階段的課程中，偏微分方程主要是學(xué)習(xí)波動方程、熱傳導(dǎo)方程與位勢方程的求解方法.其中波動方程和熱傳導(dǎo)方程，通常用Poisson公式和Poisson積分進(jìn)行求解，但計算較為復(fù)雜.疊加原理在微分方程的求解中起到了非常重要的作用.在常微分方程中，非齊次線性常微分方程的解可以分解為對應(yīng)的齊次方程的通解和一個特解之和.同樣，疊加原理對于(線性)偏微分方程的求解也很重要，在許多非齊次邊界條件的問題中也有著廣泛的應(yīng)用.本文旨在探索應(yīng)用疊加原理簡化一類問題求解步驟的方法，可以在教學(xué)過程中加深學(xué)生對疊加原理的認(rèn)識與理解.

本文首先討論了在齊次情況下，利用疊加原理與達(dá)朗貝爾公式對一類高維波動方程Cauchy問題進(jìn)行降維的方法.之后根據(jù)齊次化原理討論了非齊次情況下的降維方法.最后討論利用類似方法對一類熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題進(jìn)行求解.

2 齊次高維波動方程的Cauchy問題

對于齊次高維波動方程的Cauchy問題：

(2.1)

我們考慮在什么條件下可將上述方程拆解為如下三個一維方程：

(t>0,(x,y,z)∈R3)

(2.2)

(t>0,(x,y,z)∈R3)

(2.3)

(t>0,(x,y,z)∈R3)

(2.4)

這樣拆解的優(yōu)點是方程(2.2)～(2.4)是一維方程.而我們已經(jīng)知道一維波動方程可采用達(dá)朗貝爾公式進(jìn)行求解.

引理1(達(dá)朗貝爾公式) 一維齊次波動方程：

的解為：

對于二維以上的情況，下述定理給出了一個充分條件，使得方程(2.1)的求解可轉(zhuǎn)化為方程(2.2)～(2.4)的求解.

定理1 (疊加原理)若齊次高維波動方程(2.1)滿足下述條件：

(1)疊加關(guān)系：φ(x,y,z)=φ1(x,y,z)+φ2(x,y,z)+φ3(x,y,z),ψ(x,y,z)=ψ1(x,y,z)+ψ2(x,y,z)+ψ3(x,y,z).

(2)線性關(guān)系：φ1(x,y,z),ψ1(x,y,z)關(guān)于y,z線性；φ2(x,y,z),ψ2(x,y,z)關(guān)于x,z線性；φ3(x,y,z),ψ3(x,y,z)關(guān)于x,y線性.

則方程(2.1)的解為方程(2.2)～(2.4)的解之和.

證明：只需驗證u(x,y,z,t)=u1(x,y,z,t)+u2(x,y,z,t)+u3(x,y,z,t)是方程(2.4)的解即可.對于初值條件顯然滿足；對于方程來說：utt=u1tt+u2tt+u3tt，且φ1(x,y,z),ψ1(x,y,z)關(guān)于y,z是線性的，根據(jù)引理1，則u1(x,y,z,t)關(guān)于y,z是線性的；同理可得φ2(x,y,z),ψ2(x,y,z)關(guān)于x,z是線性的，則u2(x,y,z,t)關(guān)于x,z是線性的；φ3(x,y,z),ψ3(x,y,z)關(guān)于x,y是線性的，則u3(x,y,z,t)關(guān)于x,y是線性的.故uxx=u1xx,uyy=u2yy,uzz=u3zz，utt=u1tt+u2tt+u3tt=a2(u1xx+u2yy+u3zz)，所以utt=a2(uxx+uyy+uzz)，即方程(2.4)的解為u(x,y,z,t)=u1(x,y,z,t)+u2(x,y,z,t)+u3(x,y,z,t).證畢.

例1求解下面波動方程的Cauchy問題：

解:由定理1，得方程的解等于下列三個方程解之和：

利用引理1可得這三個方程的解分別為

u1=x3+3a2xt2，u2=z(x2+a2t2)，u3=0，

從而原方程的解u=u1+u2+u3，即u(x,y,z,t)=x3+x2z+a2t2z+3a2t2x.

3 非齊次高維波動方程的Cauchy問題

對于非齊次的情況，我們首先根據(jù)齊次化原理給出一維非齊次波動方程的求解公式.

引理2 對于一維非齊次波動方程:

利用齊次化原理可得方程的解為

因此，對于非齊次高維波動方程的Cauchy問題

由定理1與引理2，我們可以將上述方程拆解為一維齊次方程與非齊次波動方程，從而由疊加原理求出該方程的解.下面給出幾個具體例子.

例3求解下面非齊次方程的Cauchy問題：

解：該方程的解等于下列方程的解之和：

4 高維熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題

一維熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題可采用傅里葉變換得到求解公式.對于二維或更高維數(shù)的情形，盡管可利用高維傅里葉變換得出相應(yīng)的求解公式，但是計算量較大.在下面的討論中，我們將對一類具有特定條件的高維熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題，利用疊加原理將其拆分為一維情形進(jìn)行求解.

引理3 一維熱傳導(dǎo)齊次方程：

的解為

類似于波動方程的情況，我們對熱傳導(dǎo)方程給出如下解的“乘積原理”.

定理2 對于二維熱傳導(dǎo)齊次方程：

若函數(shù)φ滿足拆分條件φ(x,y)=φ1(x)φ2(y)(即φ1(x),φ2(y)分別與y,x無關(guān))，那么此Cauchy問題的解為u(x,y,t)=u1(x,t)u2(y,t)，其中u1(x,t),u2(y,t)分別為如下兩個方程的解：

所以u(x,y,t)=u1(x,t)u2(y,t)是定理2中方程的解.

解：根據(jù)定理2，該方程的解等于以下兩個方程的解之積：

u1(x,t)=sinxe-t,u2(y,t)=sinye-t，

所以u(x,y,t)=sinxsinye-2t.

對于高維非齊次熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題，可利用齊次化原理轉(zhuǎn)化為高維齊次熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題，若滿足定理2的條件，則可轉(zhuǎn)化為低維方程進(jìn)行求解，這里不做過多闡述.