一道解三角形綜合題的解法探究

◎朱 琦(云南師范大學(xué)，云南 昆明 650500)

解三角形是高考的考點(diǎn)之一，近幾年在題型上增加了結(jié)構(gòu)不良試題，這在一定程度上增加了試題的開放性和難度.在解決解三角形問題的過程中，正弦定理和余弦定理是最常用的兩個定理，它們將三角形的邊、角有機(jī)地結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了“邊”和“角”的互化，從而為解三角形提供了強(qiáng)有力的支持.在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，人教A版新教材對正弦定理、余弦定理進(jìn)行了調(diào)整，其中最突出的變化就是編排順序，舊教材中將解三角形作為單獨(dú)一章，而新教材中將正弦定理和余弦定理放在了平面向量這一章，作為平面向量的應(yīng)用出現(xiàn).這一改變突出了向量在解決幾何問題上的簡潔性和價值.在日常的訓(xùn)練中，與向量結(jié)合的解三角形問題也慢慢出現(xiàn)在學(xué)生的視野中，求解這類問題對于大多數(shù)學(xué)生來說都是難點(diǎn).但進(jìn)行深入探索之后也開發(fā)出了多種解法，下面筆者以一道解三角形的綜合題為例，從多個角度探究其解法，以拓寬學(xué)生的思維.

試題呈現(xiàn)

分析：該題是一道解三角形的綜合題，考查了向量的運(yùn)算、正余弦定理、三角形的面積等多個知識點(diǎn)，涉及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法.題干所給條件大多是隱性的，需要做進(jìn)一步轉(zhuǎn)化才能得出初步結(jié)論，因此對大多數(shù)學(xué)生來說，解題是困難的.在得到初步結(jié)論之后，最重要的是要能夠畫出相應(yīng)圖形，借助數(shù)形結(jié)合找到問題解決的突破口.而在解決解三角形問題時，最常用的方法是幾何法和向量法，下面筆者從這兩種方法切入，多角度地探究問題的解法.

解法探究

所以點(diǎn)O為△ABC的重心.

角度1：等面積法

分別取BC，AC，AB邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接AD，BE，CF交于點(diǎn)O，如圖1.

圖1

由圖1可以看出，因?yàn)辄c(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，所以S△ADB=S△ADC，即

評析：等面積法是解決幾何問題的一種很重要的方法，它以幾何圖形的面積公式為基礎(chǔ)，建立起幾何元素間的數(shù)量關(guān)系.利用等面積法解決數(shù)學(xué)問題，往往能達(dá)到事半功倍、出奇制勝的效果，上述解答過程就很好地說明了這一點(diǎn).

角度2：利用正弦定理

評析：通過多次應(yīng)用正弦定理建立起三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系，不失為一種巧妙的解法.值得注意的是，在解三角形問題中，要善于利用互補(bǔ)的兩個角正弦值相等、余弦值互為相反數(shù)這一等量關(guān)系.

角度3：利用余弦定理

如圖1所示，在△ABC中，∠ADB和∠ADC互補(bǔ)，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC，即

化簡得AD2+CD2=18，(1)

化簡得

AD2-CD2+16=3AD，(2)

評析：上述解法利用互補(bǔ)的兩個角余弦值互為相反數(shù)這一結(jié)論，建立起了AD和CD之間的等量關(guān)系.但是，僅僅只有這個關(guān)系還不能解答此題，還需要建立其他的等量關(guān)系，可以通過再次使用余弦定理，最終構(gòu)建起方程組.

角度4：借助輔助線

在幾何問題中，添加輔助線是問題解答的關(guān)鍵和難點(diǎn)，它可以將條件中隱含的圖形性質(zhì)體現(xiàn)出來，使得問題迎刃而解，下面是該題兩種添加輔助線的方式.

(1)過點(diǎn)B作AC的平行線l,過點(diǎn)C作AB的平行線m,直線l和m交于點(diǎn)G，由此構(gòu)造出平行四邊形ABGC,如圖2.

圖2

因?yàn)樗倪呅蜛BGC為平行四邊形，

所以BG=AC=4，∠AGB=∠CAG.

在△AGB中，由余弦定理得

(2)過點(diǎn)O作OK∥AB，交AC于點(diǎn)K，如圖3.

圖3

在△AOK中，由余弦定理得

評析：第一種解法巧妙地運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，從而便于使用正、余弦定理.第二種方法多依靠初中平面幾何知識，通過構(gòu)建相似三角形得出線段之間的數(shù)量關(guān)系.對比兩種解法，解法1更為便捷和巧妙，解法2相對復(fù)雜.在幾何問題中，輔助線的作用在于幫助學(xué)生快速解答問題，但是幾何方法靈活多變，如何構(gòu)建恰當(dāng)?shù)妮o助線是一大難點(diǎn)，學(xué)生往往不能理解添加輔助線的本質(zhì)目的，只能憑借記憶模仿或盲目嘗試，因此，在很大程度上，問題的解決全憑運(yùn)氣.在日常教學(xué)中，師生共同歸納總結(jié)常見的幾何模型，深刻理解模型的關(guān)鍵條件，有助于學(xué)生遇到類似問題時產(chǎn)生聯(lián)想，從而有目的地添加輔助線，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)慕忸}模型.

角度5：向量法

如圖1所示，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的重心，

化簡得

因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的重心，

評析：向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁.利用向量法解決幾何問題可以把原來思辨的過程轉(zhuǎn)化為較為簡單的運(yùn)算過程，降低了思考的難度，可以讓學(xué)生感受到向量在解決某些平面幾何問題中的優(yōu)勢.

教學(xué)反思

“一題多解”作為變式教學(xué)的一種，不僅在完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)、發(fā)散思維等方面起著至關(guān)重要的作用，而且能夠?qū)崿F(xiàn)思維的分層教學(xué)，滿足不同層次學(xué)生的需求.“一題多解”教學(xué)意味著課堂開放性強(qiáng)，這在一定程度上對教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了挑戰(zhàn)，下面針對“一題多解”教學(xué)提出三點(diǎn)策略.

1.精選解法，注重解法之間的聯(lián)系

在“一題多解”教學(xué)中，解法不是越多越好，也不是越簡潔越好，而是要有價值，有助于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí).這意味著教師首先要將問題研究透徹，精選解法，事先設(shè)計好教學(xué)環(huán)節(jié)，讓課堂教學(xué)在問題的引導(dǎo)下有序進(jìn)行，而不是將問題一味地丟給學(xué)生，讓學(xué)生自主探索.其次是要注意解法之間的聯(lián)系.目前很多教師存在羅列解法的習(xí)慣，過分追求解法的數(shù)量，忽視了解法之間的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生對解法的本質(zhì)認(rèn)識不夠深刻.

2.因材施教，給學(xué)生提供平等的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)會

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)指出：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，這表明學(xué)生之間存在差異性，教師在教學(xué)時要看到這種差異并有針對性地進(jìn)行教學(xué).

在“一題多解”教學(xué)中，解法有易有難，有的學(xué)生可能只理解其中一種，而有的學(xué)生可能理解所有解法，但無論如何，學(xué)生總能找到最適合自己的那一種，這樣一來便兼顧了不同層次學(xué)生的需求.因此，教師可以利用這種差異給不同學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)會.對于數(shù)學(xué)學(xué)困生，教師可以給其提供更多的課堂提問和板演的機(jī)會；對于數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生，教師要發(fā)揮好引導(dǎo)作用，鼓勵他們從多個角度解決問題.

3.注重過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

美國數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的”“是什么促使你這樣想、這樣做的”，這表明了解題的目的不在于答案，而在于將知識和問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的數(shù)學(xué)思維過程.在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，學(xué)生的思維習(xí)慣于定向，而“一題多解”則是讓學(xué)生克服定式思維，培養(yǎng)思維靈活性的有效途徑.

因此，教師在日常教學(xué)中，要留意典型數(shù)學(xué)問題，適時開展“一題多解”訓(xùn)練，讓學(xué)生親自體驗(yàn)、感受、思考，在這個過程中對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行再創(chuàng)造，這樣一來學(xué)生不僅鞏固了數(shù)學(xué)知識，而且在思維上得到了訓(xùn)練，有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升.