初中數(shù)學(xué)之半角模型的應(yīng)用

◎馬敏豇(江蘇省鎮(zhèn)江市江南學(xué)校,江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

在初中階段，蘇教版數(shù)學(xué)課本中包含大量邊角論證的題目，這類題目對(duì)解題思路要求較高，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)解題難度較大，并且很難較快學(xué)習(xí)和掌握學(xué)習(xí)方法.為了解決這一難題，廣大教師研究出了各式各樣的解題模板，其中半角模型脫穎而出，其能夠有效解決一系列論證問(wèn)題，幫助學(xué)生解答幾何題目.

比如，根據(jù)圖1所示的圖形完成相關(guān)的解題任務(wù).

圖1

在整個(gè)圖形當(dāng)中，選取另外兩點(diǎn)E，F(xiàn)，保證E點(diǎn)在BC上，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，∠EAF=45°，則EF=BE+DF，然后證明出來(lái)此結(jié)論能夠通過(guò)把△ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°來(lái)獲得即可.此類圖形就是半角模型，學(xué)生可以利用這個(gè)模型結(jié)論進(jìn)行論證.因?yàn)樾枰\(yùn)用半角模型的題目越來(lái)越多，所以學(xué)生必須掌握應(yīng)用半角模型解題的具體方法，不斷提升解題的能力.半角模型在初中數(shù)學(xué)題目中的形式多種多樣，具體的應(yīng)用情況如下.

一、題目中已經(jīng)存在半角模型

題目中存在半角模型的題非常多，也出現(xiàn)在了實(shí)際中考題目當(dāng)中.本篇文章就以具體的例題為例，分析半角模型的應(yīng)用情況.具體來(lái)講，以圖2中的圖形作為參照，已知條件中知道正方形的邊長(zhǎng)是4，然后將A作為頂點(diǎn)，畫(huà)一個(gè)45度的角,角的兩邊和正方形兩邊的延長(zhǎng)線分別相交，交點(diǎn)為點(diǎn)E和點(diǎn)F，假設(shè)CE=a，CF=b，再要求學(xué)生分析∠BAF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)期間，a與b的關(guān)系，列出關(guān)系式并闡明原因.

根據(jù)圖2，將M和N連到一起，就形成了半角模型，然后應(yīng)用該模型即可解答上述問(wèn)題.

圖2

分析的解題步驟如下：

假設(shè)DM=c，BN=d，那么CM=4-c，CN=4-d.

∵△ADM∽△ECM，∴AD∶EC=DM∶CM，

∵△ABN∽△FCN，∴AB∶FC=BN∶CN，

由半角模型可以推出MN=DM+BN，

∴MN2=(DM+BN)2.

在△CMN中，通過(guò)勾股定理可得

CM2+CN2=MN2=(DM+BN)2，

然后化簡(jiǎn)整理即可.

此類題目都可以按照上述解題模式進(jìn)行求解.

二、根據(jù)已知條件構(gòu)造半角模型

仍然按照中考中已有的題型樣式進(jìn)行分析.

比如，如圖3所示，已知在四邊形ABCD中，AD和BC邊平行，且∠BCD=90°，∠DAC=45°，AB=BC+AD，E點(diǎn)在邊CD上，且∠BAE=45°，若邊CD的長(zhǎng)度為4，求三角形ABE的面積.

圖3

根據(jù)已知條件可得出AD=CD=4，又有∠BAE=45°，這樣我們就得出了正方形的部分圖形，解題時(shí)就可以根據(jù)正方形性質(zhì)，在圖形中構(gòu)造半角模型了.

以圖3為基礎(chǔ)作圖，過(guò)A點(diǎn)作線段AF，并保證AF和CB垂直，F(xiàn)點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上，這樣就得到了四邊形ADCF，可以直接論證四邊形ADCF是正方形，如圖4所示.

圖4

假設(shè)BC=a，則BF=4-a,AB=4+a.

在直角三角形ABF中，根據(jù)勾股定理可得

(4+a)2=(4-a)2+42，

解得a=1，

∴BF=3.

假設(shè)DE=b，則CE=4-b，

根據(jù)半角模型性質(zhì)可知BE=BF+DE=3+b.

在Rt△BCE中，由勾股定理，得(3+b)2=(4-b)2+12,

還有很多中考題目可以應(yīng)用半角模型來(lái)解答，同學(xué)們可以根據(jù)題目中的已知條件創(chuàng)設(shè)半角模型.

比如，如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別和x軸，y軸相交，交點(diǎn)為A，B，已有條件是點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，0)，假設(shè)點(diǎn)P是線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，且∠CPA=∠ABO，求m的值.

圖5

分析研究該題目就可以發(fā)現(xiàn)A點(diǎn)的坐標(biāo)是(m，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，m)，

可得∠CPA=∠ABO=45°,而且P是OB的中點(diǎn).

圖6

在Rt△CDF中，由勾股定理可得m=12.

三、正方形中半角模型的應(yīng)用

(一)模型例題

如圖7，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是正方形BC，CD邊上一點(diǎn)，∠EAF=45°，求證：EF=DF+BE.

圖7

習(xí)題解析：該題是常見(jiàn)的半角模型旋轉(zhuǎn)應(yīng)用題，可以利用旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)建全等三角形，將EF，DF，BE轉(zhuǎn)化到同一直線上，進(jìn)而求證.

解法：

思路1，如圖8所示，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到△ADE′,使得E′D，E′F，DC在同一直線上，利用△ABE和△ADE′的邊角關(guān)系，證得△AEF≌△AE′F,得出EF=E′F.在直線E′C上，E′F=E′D+DF，從而得出EF=DF+BE.

圖8

思路2，利用軸對(duì)稱變換構(gòu)建全等三角形，如圖9所示，將△ABE沿AE對(duì)折，連接FB′，EB′.由軸對(duì)稱可得，△ABE≌△AB′E,則B′E=BE，根據(jù)∠AB′E+∠AB′F=180°，得出EB′，EF，F(xiàn)B′共線，再證△AB′F≌△ADF,得出DF=B′F,就可以得到EF=DF+BE.

圖9

解法總結(jié)：以上兩種解題思路是應(yīng)用正方形半角模型的常規(guī)思維，是借助相等線段進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和折疊，從而構(gòu)造兩個(gè)全等三角形進(jìn)行求解的.具體特征為：由正方形頂點(diǎn)發(fā)出的兩條射線，所夾的角為45°.解題方法總結(jié)：把半角一側(cè)的三角形借助旋轉(zhuǎn)或者軸對(duì)稱進(jìn)行變化構(gòu)建，構(gòu)建新的三角形，再利用三角形的全等關(guān)系來(lái)探究正方形內(nèi)邊與邊的關(guān)系.如圖10所示.

圖10

(二)拓展模型

對(duì)半角模型中常見(jiàn)的90°，45°模型進(jìn)行拓展，能夠進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生的解題視野，起到更好的教學(xué)效果.

變式1：如圖11所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,DC上，∠EAF=45°，連接BD，分別交AE，AF于點(diǎn)M,N,求證△DMA∽△AMN.

圖11

變式2：如圖12所示，在正方形ABCD中，M，N分別在CB，DC的延長(zhǎng)線上，∠MAN=45°,求證：MN+BM=DN.

圖12

四、初中數(shù)學(xué)之半角模型的解題反思

(一)深度挖掘教材,拓展解題思路

數(shù)學(xué)教材是教與學(xué)的核心，數(shù)學(xué)定義、原理、例題等是經(jīng)過(guò)反復(fù)篩選、驗(yàn)證后精編而成的，在知識(shí)解讀和習(xí)題學(xué)習(xí)上有豐富的潛在價(jià)值.因此，數(shù)學(xué)教師需要在半角模型應(yīng)用中，充分挖掘教材相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生能夠由教材看到半角模型的衍生規(guī)律和原理，剖析圖形的本質(zhì)規(guī)律和解題思路，通過(guò)“看題型、套模型、出結(jié)果”的解題思路來(lái)應(yīng)對(duì)不同變式的數(shù)學(xué)習(xí)題，簡(jiǎn)化習(xí)題難度，掌握更加正確的解題思維和路徑.

(二)重視課堂教學(xué)，創(chuàng)新教學(xué)方式

半角模型的應(yīng)用對(duì)學(xué)生的解題思維有較高的要求.數(shù)學(xué)教師需要重視課堂教學(xué)，要借助互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)來(lái)創(chuàng)新教學(xué)方式，將半角模型的多種變式生動(dòng)形象地呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生能夠直觀地感受到圖形的構(gòu)建和變化，更加清晰地梳理其中的邊角關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力.

基于此，數(shù)學(xué)教師需要不斷創(chuàng)新教學(xué)理念，更新教學(xué)模式，提高自身的教學(xué)水平，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力，由點(diǎn)及面地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提升.

(三)重視問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題探究能力

半角模型是基于數(shù)學(xué)習(xí)題衍生出來(lái)的，數(shù)學(xué)教師需要通過(guò)變條件、變結(jié)論、變圖形等方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，讓學(xué)生感受到圖形的變化，從而針對(duì)半角模型進(jìn)行深入探究，對(duì)不同的問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)性的總結(jié)、歸納，學(xué)生借助半角模型經(jīng)歷應(yīng)用、變式、解題等循環(huán)步驟，鍛煉自身解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合能力的提高.

結(jié) 語(yǔ)

總而言之，分析研究近年來(lái)各地區(qū)的中考數(shù)學(xué)試題后發(fā)現(xiàn)：題型越來(lái)越豐富，檢驗(yàn)的內(nèi)容越來(lái)越多，這就要求學(xué)生具備較強(qiáng)的解題能力，掌握豐富的解題方法.教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)工作當(dāng)中，會(huì)給學(xué)生滲透多種解題模式.目前來(lái)看，要想解決幾何問(wèn)題，學(xué)生可以積極應(yīng)用半角模型，因?yàn)橹锌贾械暮芏囝}目都直接給出了半角模型；也可以根據(jù)題目中所給的條件創(chuàng)設(shè)半角模型，再根據(jù)半角模型的相關(guān)結(jié)論解答題目中的具體問(wèn)題.在初中階段的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，半角模型的應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，能夠幫助學(xué)生更快地解答相關(guān)習(xí)題.