例談平面向量問題解題思維的拓展

◎劉校星(東吳外師附屬越溪實(shí)驗(yàn)中學(xué),江蘇 蘇州 215000)

向量是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中同樣被應(yīng)用廣泛.物理學(xué)中將向量稱為矢量，力、速度、加速度、位移等均是矢量；在數(shù)學(xué)中，向量是聯(lián)系代數(shù)和幾何的樞紐，是不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的媒介，所以中學(xué)平面向量問題解答時(shí)往往一題多法，常用的有向量法、坐標(biāo)法和幾何法.

向量法實(shí)則依據(jù)平面向量基本定理，與物理學(xué)中“力的分解”理論一致.在數(shù)學(xué)解題中一般以平面向量正交分解為理論依據(jù)，先選擇一組基底，再運(yùn)用平面向量基本定理將已知向量和結(jié)論向量表示為基底的線性組合，最后通過向量運(yùn)算法則解決問題.

坐標(biāo)法將向量代數(shù)化，是中學(xué)階段滲透數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵，也是幾何和代數(shù)的重要鏈接.解題時(shí)，主要結(jié)合平面直角坐標(biāo)系和平面向量正交分解理論，通過表示有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，將向量之間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的代數(shù)關(guān)系，最后運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.由于互相垂直的兩個(gè)向量坐標(biāo)關(guān)系的特殊性，解題時(shí)也會(huì)以坐標(biāo)軸上的向量作為基底來表示已知向量和未知向量，以達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的效果.

幾何法結(jié)合法向量、數(shù)量積、向量與向量投影等知識(shí)，以及已知向量之間的數(shù)量關(guān)系，找尋結(jié)論向量的幾何意義，所以幾何法要求學(xué)生具備更完備的數(shù)學(xué)知識(shí)和敏捷的數(shù)學(xué)思維，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求.

以下通過例題展示三種方法的特點(diǎn).

圖1

【方法一：向量法】

圖2

【方法二：坐標(biāo)法】

解：如圖3所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

圖3

設(shè)C(0,t)，P(0，y)，

【方法三：幾何法】

解：如圖4所示，

圖4

陳小華：基本上這個(gè)行業(yè)里大部分創(chuàng)業(yè)者都認(rèn)識(shí)，往往他們做不下去的都會(huì)來找我們溝通，姚勁波（58集團(tuán)CEO）還經(jīng)常感嘆悲劇一再重演。很多創(chuàng)業(yè)者會(huì)和我們說，你再給我一個(gè)億我就能干到一百億，因?yàn)槲疫@個(gè)模式實(shí)在太好了。但我們?cè)谶@個(gè)時(shí)候往往有一種無力感，這個(gè)教訓(xùn)只有自己走過才能算教訓(xùn)，別人提醒，你還會(huì)覺得是不是別人看我收入這么多眼紅？這種案例很多，我們會(huì)建議一些公司在現(xiàn)金為零的時(shí)候停止，出售企業(yè)或者放緩節(jié)奏，活下來就好。但是這些企業(yè)往往會(huì)進(jìn)行最后一搏，就是去讓用戶充值，等到了不得不去找投資人救市的時(shí)候，這些公司就不僅是一個(gè)價(jià)值為零的公司，而是一個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)非常大的坑，沒有投資人會(huì)愿意進(jìn)來。

例2已知向量a，b，|a|=|b|=a·b=2，(a-c)·(b-c)=0，則|2b-c|的最大值是________.

【方法一：向量法】

分析：不同于例1中的基底轉(zhuǎn)換，本題直接將目標(biāo)向量2b-c整體代換到已知等式中，經(jīng)過化簡(jiǎn)，將向量模的最值問題最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域內(nèi)的最值問題.

解：(a-c)(b-c)=(a-2b+2b-c)(2b-c-b)

=(2b-c)2-(a-3b)(2b-c)-b(a-2b)，

令t=|2b-c|，α是2b-c與a-3b的夾角，

【方法二：坐標(biāo)法】

分析：本題不同于例1有很明顯的建系基礎(chǔ)，a，b兩者之間的位置關(guān)系和大小關(guān)系是確定的，所以將其平移到同起點(diǎn)，建系通過坐標(biāo)法求解，就可將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

解：a·b=|a||b|cos 〈a,b〉=4cos 〈a,b〉=2，

所以〈a,b〉=60°，

圖5

【方法三：幾何法】

分析：找尋幾何意義，根據(jù)已知條件，找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，于是此題轉(zhuǎn)換為求定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)之間距離的最值問題.

解：由方法二得〈a,b〉=60°，如圖6所示，

圖6

C點(diǎn)在以A，B中點(diǎn)O為圓心的圓上，當(dāng)直線CD經(jīng)過圓心O時(shí)，|2b-c|存在最大值.

在平時(shí)練習(xí)中，學(xué)生對(duì)平面向量問題難以找到突破口，其原因可以歸結(jié)為對(duì)平面向量、向量的模、共線定理區(qū)分不清，對(duì)向量運(yùn)算、向量模、向量數(shù)量積的幾何意義理解不透等.平面向量是代數(shù)和幾何的交匯點(diǎn)，從以上例題也可以看出，向量法、坐標(biāo)法、幾何法，三種方法各自持有自己的主旋律，但又密不可分，相輔相成.向量法是基于對(duì)向量本質(zhì)的理解，運(yùn)用向量運(yùn)算逐漸指向目標(biāo)向量；坐標(biāo)法則是建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題代數(shù)化加以解決；幾何法是利用數(shù)形結(jié)合找尋幾何意義，尋求直觀上的解釋.所以只要理解相關(guān)概念和幾何意義，解決問題就殊途同歸了.

從概念的角度來講，學(xué)生必須理解平面向量及其幾何意義、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義，理解零向量、向量的模、共線向量、單位向量、平行向量、向量相等、向量夾角等概念；從運(yùn)算的角度來講，學(xué)生要掌握平面向量加法、減法、數(shù)乘的法則，并理解其幾何意義，理解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決問題，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積與兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系，平面向量加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的平行和垂直等.

向量聯(lián)系著代數(shù)和幾何，解題時(shí)我們可以利用基底，運(yùn)用基底的基本性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算推導(dǎo)，也可以建立坐標(biāo)系，用純代數(shù)法解題，還可以運(yùn)用幾何意義，并且?guī)缀我饬x更加直觀明了，但是幾何意義的尋找需要知識(shí)的積淀，對(duì)學(xué)生要求更高.一般情況下，學(xué)生更常用代數(shù)法，尤其是坐標(biāo)法.每一種方法各有利弊，沒有絕對(duì)的好方法，適合學(xué)生的才是最好的.一線教師在平時(shí)教學(xué)中要堅(jiān)持滲透思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的推導(dǎo)思想和基本策略，源于數(shù)學(xué)活動(dòng)，也在數(shù)學(xué)活動(dòng)中愈加成熟，是數(shù)學(xué)的靈魂.向量作為溝通數(shù)與形的橋梁，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中舉足輕重.在實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師除了要幫助學(xué)生建構(gòu)平面向量基本知識(shí)體系、形成坐標(biāo)運(yùn)算框架、展示向量的實(shí)際應(yīng)用外，還要盡可能地通過一題多法教學(xué)，建立不同方法之間的聯(lián)系，揭示其本質(zhì)，幫助學(xué)生拓寬解題思路，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).