關(guān)于數(shù)學(xué)教師教育專業(yè)課程教學(xué)模式的思考
——以“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”為例

◎陳少林 張 蕓 陳 芳(衡陽師范學(xué)院,湖南 衡陽 421002)

1 引 言

教育部在《關(guān)于實(shí)施卓越教師培養(yǎng)計(jì)劃2.0的意見》中指出：要在2035年之前培養(yǎng)和造就數(shù)以十萬計(jì)的骨干教師、數(shù)以十萬計(jì)的卓越教師、數(shù)以萬計(jì)的教育家型教師.全國很多師范本科院校都是此卓越計(jì)劃的參與者，作為師范本科院校的數(shù)學(xué)教師，我們將專注于中學(xué)數(shù)學(xué)卓越教師的培養(yǎng).眾所周知，培養(yǎng)一名卓越的中學(xué)數(shù)學(xué)教師是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，而師范本科院校就是這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)工程的總設(shè)計(jì)師.成為一名卓越的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，首先要有高尚的師德；其次要有高超的解決數(shù)學(xué)問題的能力和精湛的現(xiàn)代化教學(xué)藝術(shù)，最后還要具備一定深度的且與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)相關(guān)的教育學(xué)和心理學(xué)知識等.著名數(shù)學(xué)家P.R.Halmos認(rèn)為：問題是數(shù)學(xué)的心臟，解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)家存在的理由.著名數(shù)學(xué)家G.Polya也曾指出：善于解題是掌握數(shù)學(xué)的標(biāo)志.因此，要想培養(yǎng)出卓越的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，除了高尚的師德，最重要的就是要解決如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)類師范專業(yè)本科生的數(shù)學(xué)思維和高超的數(shù)學(xué)解題能力的問題.從教育學(xué)的角度來講，要培養(yǎng)什么樣的人才，課程是重要的實(shí)現(xiàn)途徑之一.課程不僅是教育的橋梁，也是教學(xué)的靈魂.因此，我們要對教育進(jìn)行改革，就必須對課程教學(xué)進(jìn)行改革.類似于“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”等實(shí)踐類課程是高等師范院校數(shù)學(xué)教師教育課程體系中必不可少的一部分.本文主要討論“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”課程的教學(xué)改革問題.

2 教學(xué)模式的探究

數(shù)學(xué)類師范專業(yè)本科生和中學(xué)生的知識水平、理解能力、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和接受新知識的能力都存在很大的差異，而且兩者的培養(yǎng)目標(biāo)也是不同的，因此教學(xué)方法應(yīng)該也有很大的差異.雖然2001年教育部就印發(fā)了《普通高中研究性學(xué)習(xí)實(shí)施指南(試行)》，但是目前全國大多數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式仍然以教師講授為主.要想在普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍開展研究性學(xué)習(xí)，師資是關(guān)鍵.要培養(yǎng)具備這樣素質(zhì)的高中數(shù)學(xué)教師，高等師范院校有著義不容辭的責(zé)任.我們將以“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”為載體，培養(yǎng)數(shù)學(xué)類師范專業(yè)本科生指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的能力.下面本文將以“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”為例，探討如何在數(shù)學(xué)類師范專業(yè)本科生中開展研究性學(xué)習(xí).

2.1 選擇適當(dāng)?shù)膯栴}進(jìn)行深度解題教學(xué)

為了尋找合適的問題，教師應(yīng)考慮如下幾個(gè)方面的內(nèi)容.首先，教師應(yīng)該對授課對象的知識儲備和認(rèn)知水平有一定的了解.數(shù)學(xué)類師范專業(yè)本科生一般在大三第二學(xué)期才開設(shè)類似“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”這樣的課程，此時(shí)，他們幾乎已學(xué)完了數(shù)學(xué)專業(yè)必修基礎(chǔ)課程，大部分同學(xué)已具備了一定的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng).其次，教師要盡可能選擇既具有中學(xué)數(shù)學(xué)背景，又與大學(xué)某個(gè)(或某些)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容相聯(lián)系的問題，那樣更能提高學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的興趣.再次，教師選擇的問題要有代表性且難度要適中.如果太難將不易激發(fā)學(xué)生的積極性，反之，如果太容易將沒有任何挑戰(zhàn)性，且研究性學(xué)習(xí)也將失去意義.一旦選定合適的問題之后，我們建議提前布置任務(wù)給學(xué)生，并允許他們查找相關(guān)資料以及組隊(duì)研究.最后，教師應(yīng)該至少從如下3個(gè)維度對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo).

表1 解題維度表

2.2 以2001年的一道全國理科數(shù)學(xué)高考題作為深度解題案例

問題1 已知m,n是正整數(shù),且m(1+n)m[2001全國統(tǒng)一數(shù)學(xué)試卷(理科)第20題].

表2 要完成的任務(wù)

為了完成上述任務(wù)，我們將班級同學(xué)分成3人一組來進(jìn)行探究(時(shí)間為30分鐘).無論完成好壞，每組都必須匯報(bào)探究成果.對于問題1，從反饋的情況來看，大部分組都想到了利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，也有部分組想到了利用二項(xiàng)式定理展開來證明，還有極少數(shù)組想到了利用幾何平均值不等式來證明.具體情況如下.

證明方法(一)：

由二項(xiàng)式定理得:

所以

因此

即(1+m)n>(1+n)m.問題1證畢.

也有個(gè)別組提出可以用幾何平均值不等式去做.具體如下.

證明方法(二)：

由幾何平均值不等式得：

=(m+1)n.

而1+n≠1,且n>m，因此取不到等號.

于是有(1+m)n>(1+n)m,

所以,命題成立.

證明方法(三)：

所以f′(x)<0.

即f(x)是單調(diào)遞減的.

因此

以上三種證明方法相比較，第一種和第三種證明方法比較常規(guī)，然而第一種證明方法計(jì)算難度比較大；相比之下，第二種證明方法比較簡潔，且用到的知識點(diǎn)很簡單.雖然沒有哪一組的同學(xué)能夠同時(shí)想到這三種方法，但是他們通過反饋與交流都學(xué)會了這三種方法.遺憾的是，同學(xué)們對于問題1的其他任務(wù)完成得都不盡人意，因此我們有必要對此進(jìn)行引導(dǎo).

受問題1的證明方法(三)的啟發(fā)，我們?nèi)魧栴}1中的整數(shù)改成有理數(shù)，則可得到如下結(jié)論.

2.3 命題1

設(shè)m,n∈N+且m≤n,則有

教師向同學(xué)們繼續(xù)提問：能否用幾何平均值不等式證明此命題？

很多同學(xué)能很快給出如下證明.

證明：只需證明右邊，因?yàn)橛疫叺淖C明完全類似.

由幾何平均值不等式得：

2.4 命題2

設(shè)x1≤x2∈Q+,其中Q+表示正有理數(shù)集.則有

(1+x2)x1≤(1+x1)x2.

證明：存在m∈N+,使得mx1,mx2∈N+.

則原命題等價(jià)于

(1+x2)mx1≤(1+x1)mx2.

由幾何平均值不等式得：

=(1+x1)mx2.

因此(1+x2)x1≤(1+x1)x2且當(dāng)x1=x2時(shí)取等號.

特別要指出的是，我們利用有理數(shù)的稠密性可將命題2改寫成如下形式.

2.5 命題3

設(shè)x1≤x2∈R+,則有

(1+x2)x1≤(1+x1)x2,其中R+表示正實(shí)數(shù).

為了進(jìn)一步鞏固解題成果，我們下一步將繼續(xù)討論.筆者按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)了如下問題并要求學(xué)生對照表3進(jìn)行深度解題.

表3 要完成的任務(wù)

2.6 案 例

問題2 設(shè)xk和yk都是正實(shí)數(shù)(k=1,…,n).證明：

同學(xué)們普遍覺得問題2要比問題1難，而且明顯感到將問題1的證明方法直接遷移過來不是很實(shí)用.特別要指出的是：幾乎所有組的同學(xué)都認(rèn)為問題1的證明方法(三)對問題2已失效.但是稍加提示之后，很多同學(xué)很快就將問題1的證明方法(一)和(二)遷移過來.

提示：將乘積展開，再考慮用幾何平均不等式.

有了這個(gè)提示之后，很多同學(xué)很快給出了證明方法(一).證明方法(一)：

①

由幾何平均值不等式得：

因此

將此不等式代入①式即可得要證明的結(jié)論.

提示：先將問題2中要證明的不等式的右邊除以左邊，然后再考慮可否利用幾何平均值不等式來證明.

有了這個(gè)提示之后，大部分組的同學(xué)很快給出了如下證明.

證明方法(二):

原證命題等價(jià)于

由幾何平均值不等式得：

因此

問題2證畢.

以上整個(gè)教學(xué)過程始終是以學(xué)生為中心，教師通過這樣的協(xié)同探究過程激發(fā)學(xué)生解題的“元認(rèn)知”，從而引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)深度解題.這個(gè)分組探究的學(xué)習(xí)過程不僅激發(fā)了學(xué)生的解題興趣，還拓展了學(xué)生的解題視野以及知識面.學(xué)生不僅學(xué)會了解題，還學(xué)會了如何深度解題.為了鞏固學(xué)習(xí)成果，我們給每個(gè)小組布置布置了如下作業(yè).

(1)按照問題1的任務(wù)模式，給出如下命題的證明：

設(shè)aij>0(i=1,…,n;j=1,…,k).則有

(2)要求每個(gè)同學(xué)對解題過程和解題方法進(jìn)行回顧和再認(rèn)識，將以上解題成果拓展的過程“精致化”，并建立相應(yīng)的模型.

(3)以組為單位，自選主題(建議以歷年的中、高考題為例)，開展類似的深度解題活動(dòng)并記錄下來.每個(gè)人都必須分別標(biāo)注自己在本次深度解題活動(dòng)中的貢獻(xiàn)并上交.(這是在該課程過程中給學(xué)生記平時(shí)分的主要依據(jù).)

2.7 作業(yè)反饋

對上述案例進(jìn)行分析，我們的主要目的不是讓未來的中學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)會解這種類型的題目，而是培養(yǎng)他們這種深度解題意識和習(xí)慣.他們一旦養(yǎng)成了深度解題習(xí)慣，受益的不僅是他們自己，還有他們將來要教的學(xué)生.對于教師來說，這樣的深度解題教學(xué)模式嘗試一次并不難，但要長期堅(jiān)持下去卻極具挑戰(zhàn)性.因?yàn)檫@樣的教學(xué)模式對教師提出了極高的要求，它不僅需要教師熟讀教材，還需要教師具有廣博的知識以及高超的深度解題能力.另外，這還需要教師對每一次課的內(nèi)容的廣度與深度進(jìn)行精心設(shè)計(jì).除此之外，教師需要在“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”課程的教學(xué)過程中始終堅(jiān)持以學(xué)生為中心，通過激發(fā)學(xué)生的“元認(rèn)知”和提升學(xué)生的交流與協(xié)同意識來調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行深度解題的積極性.

表4 作業(yè)反饋表

3 結(jié) 語

“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”作為數(shù)學(xué)類師范專業(yè)本科生的一門重要的專業(yè)實(shí)踐課，它有著自身的特點(diǎn).教師通過這門課程的教學(xué)，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)專業(yè)知識的理解并拓展學(xué)生的知識面，以及提高學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力.為了實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，教師需要在嚴(yán)格遵循“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念的前提下，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式.對于“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”這門課程的教學(xué)，我們極力推薦基于研究性學(xué)習(xí)的深度解題教學(xué)模式.