考研背景下一般拓撲學中幾個概念的講授方法

◎龐 斌(北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,北京 102488)

一、引 言

隨著我國高校擴招,高校畢業(yè)生人數(shù)逐年增長,就業(yè)市場也日趨飽和.在這種大的教育背景下選擇讀研成為提高就業(yè)競爭力、完善自身知識結(jié)構(gòu)以及實現(xiàn)自我價值的重要途徑.因此,“考研熱”給傳統(tǒng)的本科生數(shù)學課程的教學模式帶來新的沖擊,有以下兩方面的體現(xiàn):

一方面,數(shù)學專業(yè)研究生入學考試考查內(nèi)容數(shù)學分析、高等代數(shù)這兩門課程在大二就已經(jīng)學習結(jié)束.“考研熱”導致很多學生過早地準備考研專業(yè)課的復習,所以對于后繼專業(yè)課程的學習沒有足夠重視.這種學習模式的后果是學生只會熟練地解答數(shù)學分析和高等代數(shù)中的具體題目,但對于需要學習的其他高年級數(shù)學專業(yè)課程知之甚少.因此學生對本科階段的數(shù)學課程沒有整體的把握和理解,數(shù)學綜合素質(zhì)較差,許多考生在考研初試中取得較高成績，但是因為綜合能力差而在復試過程中被淘汰.

另一方面,“考研熱”對于本科畢業(yè)論文指導過程產(chǎn)生影響.畢業(yè)論文要求學生將本專業(yè)所學知識和實踐相結(jié)合,在深化所學知識的同時,突出知識的運用能力.這就要求學生具有扎實的基本功,除了熟練掌握基礎課程,還要對各門高年級專業(yè)課程進行串聯(lián)和梳理,整體把握整個數(shù)學課程體系的內(nèi)容，從而提高對于所學知識的掌握能力以及創(chuàng)新運用能力.如果學生僅局限于考研課程的學習,會極大地限制學生的思維,導致畢業(yè)論文缺乏新意.

綜上,在考研背景下,高年級的各類專業(yè)課程教學面臨著新的挑戰(zhàn).教師不僅需要以學生能力的提升為目的調(diào)整教學內(nèi)容,還要探索出既可以培養(yǎng)學生綜合能力又能提高學生考研成功率的教學模式.本文主要針對一般拓撲學課程,結(jié)合該課程中的一些基本概念及其相關(guān)性質(zhì),探索合適的講授方法和教學內(nèi)容設計，幫助學生在學習一般拓撲學課程的同時,盡可能地去梳理數(shù)學分析課程脈絡,尤其是對基礎概念的深層次理解和掌握.論文呈現(xiàn)的講授方法的實施有助于提高高年級學生的分析能力,同時有助于提高學生的知識整合能力以及創(chuàng)新能力,也會輔助提高數(shù)學專業(yè)學生的考研成功率.

二、基本概念

定義2.1 設X是集合.若τ?P(X)滿足:

(T1)Φ,X∈τ;

(T2)?A,B∈τ,A∩B∈τ;

(T3)?{At}t∈T?τ,∪t∈TAt∈τ,

則稱τ是X上的一個拓撲.相應地，序?qū)?X,τ)稱作一個拓撲空間.

定義2.2 設(X,τ)是一個拓撲空間,U?X,x∈X.若存在V∈τ使得x∈V?U,則稱U是x的一個鄰域.

定義2.3 設f:(X,τ)→(Y,δ)是兩個拓撲空間之間的映射.若f滿足：對任意B∈δ,有f←(B)∈τ,則稱f是連續(xù)映射.

命題 2.4(連續(xù)映射的鄰域刻畫)

設f:(X,τ)→(Y,δ)是兩個拓撲空間之間的映射,則f連續(xù)當且僅當對任意x∈X,若B是f(x)的鄰域,則f←(B)是x的鄰域.

設(P,≤)是一個預序集,D?P,若D≠Φ且對任意d1,d2∈D,存在d3∈D使得d1≤d3,d2≤d3,則稱D是一個定向集.

定義 2.5 設(X,τ)是一個拓撲空間,(D,≤)是一個定向集,則稱映射S:D→X是X的一個網(wǎng).

定義2.6 設(X,τ)是一個拓撲空間,U?X,x∈X,S:D→X是X的一個網(wǎng).若任給x的鄰域U,存在d∈D,當n≥d時,有S(n)∈U,則稱S收斂到x,記為S→x.

三、可度量化拓撲空間中的鄰域

在數(shù)學分析中,鄰域是一個非常重要的概念.在一維歐氏空間中,U是x的一個鄰域是指：存在r>0,使得B(x,r)?U,其中,B(x,r)={y||x-y|

定義3.1 若一個拓撲空間可以由一個度量空間導出,則稱拓撲空間是可度量化的.

根據(jù)度量空間誘導拓撲空間的具體過程可知,如果拓撲空間τ是可度量化的,則存在度量d使得開球族{Bd(x,r)|x∈X,r>0}是τ的基,其中Bd(x,r)={y∈X|d(x,y)

命題3.2 設τ是一個可度量化空間(τ=τd),則U是x的一個鄰域當且僅當存在r>0使得Bd(x,r)?U.

眾所周知,在實數(shù)集R上賦予度量d(x,y)=|x-y|,則(R,d)是一個度量空間,進而誘導一個拓撲空間(R,τd),稱為標準拓撲空間.由命題3.2可知,(R,τd)中鄰域的概念恰好是數(shù)學分析中學習的實數(shù)集中的鄰域的概念.實際上,數(shù)學分析中介紹的實數(shù)集中的鄰域推廣到拓撲空間背景下，對應的是可度量化拓撲空間中的鄰域.

教師通過這一講解過程,就明確了數(shù)學分析中介紹的鄰域跟一般拓撲學中講的鄰域之間的聯(lián)系.由于可度量化拓撲空間中的鄰域依賴于其基元素，即由度量誘導的開球.因此，教師還應該幫助學生加深對可度量化拓撲空間中開球的認識.為此,教師可以引導學生探索Bd(x,r)的具體幾何特征.受到數(shù)學分析中理解開球的思維的影響,許多學生主觀認為Bd(x,r)的圖形就是一個球(或圓)的形狀.實則不然.以二維歐式空間為例,在R2上存在大家廣為熟知的兩個度量，如下:

?x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2,

d2(x,y)=max{|x1-y1|,|x2-y2|}.

容易驗證d1和d2誘導出R2上相同的拓撲，即由d1和d2誘導的開球都可以作為R2上的度量拓撲的基元素.但通過作圖我們可以看出,Bd1(0,1)是一個圓形區(qū)域,而Bd2(0,1)是一個正方形區(qū)域.

因此,教師在講解可度量化拓撲空間中的鄰域時,要向?qū)W生強調(diào)可度量化拓撲的基元素的具體幾何特征,加深學生對這些抽象概念的直觀認識,幫助學生跳出數(shù)學分析中的通常的開球形狀的束縛,以此輔助學生更好地理解不同的度量意義下的開球的形狀是不同的，但可能會誘導出相同的可度量化拓撲.教師還非常有必要指出，因為一般的拓撲空間并沒有開球形式的基元素,故一般的拓撲空間中的鄰域，不能像可度量化拓撲空間的鄰域，可以包含一個度量誘導的開球，這也是可度量化拓撲空間和一般的拓撲空間的一個區(qū)別之處.

四、拓撲空間之間的連續(xù)映射

在一般拓撲學中,連續(xù)映射反映了兩個拓撲空間中開集的關(guān)系，這是聯(lián)系兩個拓撲空間的重要橋梁.一般拓撲學教材通常是直接給出連續(xù)映射的抽象定義,即開集的原像是開集.這對于剛開始接觸一般拓撲學的學生來說,只能先去硬性地接受這一概念,后續(xù)再純粹從理論推導的角度加強對這一概念的認識.在數(shù)學專業(yè)學生考研面試環(huán)節(jié),學生經(jīng)常被問到一般拓撲學中的連續(xù)映射和數(shù)學分析中的連續(xù)映射有什么聯(lián)系.針對這樣的問題，如果不對連續(xù)映射做進一步的解釋，學生很難深入理解到兩門課程中提到的連續(xù)性的關(guān)系.那么,教師如何才能從學生更熟悉和更容易接受的角度講解這一概念呢？

數(shù)學分析通常是利用ε-δ語言定義一個函數(shù)f在某點x0處的連續(xù)性,具體如下：

?ε>0,?δ>0,當|x-x0|<δ時,

|f(x)-f(x0)|<ε.

(1)

若f在每一點x0處都是連續(xù)的,則稱f是整體連續(xù)的.在一般拓撲學通常是利用開集的原像是開集定義一個映射的整體連續(xù)性.形式上二者差別很大,初學者很難自己去發(fā)掘它們之間的聯(lián)系.為了幫助學生梳理清楚兩者之間的關(guān)系,教師需要先講解一般拓撲學中一個函數(shù)在單點處的連續(xù)性，利用拓撲空間中的鄰域概念,可以定義一個映射f:(X,τX)→(Y,τY)在x0處的連續(xù)性：

對任意的f(x0)在(Y,τY)中的鄰域B,

f←(B)是x0在(X,τX)中的鄰域.

(2)

我們進一步可以證明,若映射f:(X,τX)→(Y,τY)在每一點x0處都連續(xù),則映射f:(X,τX)→(Y,τY)是整體連續(xù)的.容易看出,數(shù)學分析和一般拓撲學中映射的整體連續(xù)都可以通過逐點連續(xù)刻畫.因此,為了幫助學生理解兩門課程中連續(xù)映射的關(guān)系,教師只需要將兩者的逐點連續(xù)的關(guān)系梳理清楚,即只需將(1)和(2)的關(guān)系梳理清楚即可.考慮實數(shù)集R上拓撲問題時,我們通常采用的是標準拓撲,即以度量d(x,y)=|x-y|誘導的拓撲τd.此時,我們將(2)中定義連續(xù)映射的方式應用于映射f:(R,τd)→(R,τd).這樣定義的f:(R,τd)→(R,τd)的連續(xù)性和(1)中的ε-δ方式定義的連續(xù)性是等價的.

(1)?(2)：若B是f(x)在(R,τd)中的鄰域,由命題3.2可知,存在ε0>0,使得Bd(f(x0),ε0)?B.由(1)可知,對上述ε0,存在δ0>0,使得|x-x0|<δ0時,|f(x)-f(x0)|<ε0.所以,當x∈Bd(x0,δ0)時,f(x)∈Bd(f(x0),ε0),即當x∈Bd(x0,δ0)時,x∈f←(Bd(f(x0),ε0)).從而有Bd(x0,ε0)?f←(Bd(f(x0),ε0)).因此,f←(B)是x0在(R,τd)中的鄰域.

(2)?(1):對任意的ε>0,則Bd(f(x0),ε)是f(x0)在(R,τd)中的一個鄰域.由(2)可知,f←(Bd(f(x0),ε))是x0在(R,τd)中的鄰域.由命題3.2可知,存在δ>0,使得Bd(x0,δ)?f←(Bd(f(x0),ε)).所以,當|x-x0|<δ時,即x∈Bd(x0,δ0)時,必有x∈f←(Bd(f(x0),ε)).從而f(x)∈Bd(f(x0),ε),即|f(x)-f(x0)|<ε.綜上,對任意的ε>0,存在δ>0,當|x-x0|<δ時,|f(x)-f(x0)|<ε.

經(jīng)過上述分析我們可以得出結(jié)論,數(shù)學分析中學習的實數(shù)集上的函數(shù)的連續(xù)性恰好等價于該函數(shù)在實數(shù)集上的標準拓撲意義下的連續(xù)性，從而幫助學生從一般拓撲學的角度對數(shù)學分析中學習的函數(shù)的連續(xù)性概念增加全新的認識和理解,輔助學生梳理一般拓撲學和數(shù)學分析兩門課程的聯(lián)系.

五、序列和網(wǎng)

數(shù)列的收斂在數(shù)學分析中起到至關(guān)重要的作用,而且數(shù)列的概念可以很自然地推廣到拓撲空間中.因為拓撲空間的鄰域是一般的集合,故數(shù)列被推廣到拓撲空間中之后,被稱為序列,即以正自然數(shù)集標號的一個集合{xn|n∈N+}.借鑒數(shù)學分析中數(shù)列收斂的定義方式,在一般的拓撲空間中,以鄰域為工具,我們可以自然地給出序列{xn}收斂到x的定義:

若對x的任一鄰域U,?N0∈N+,

當n>N0時,xn∈U,

通常記為{xn}→x.

但序列收斂在一般的拓撲空間中并不能發(fā)揮像數(shù)列收斂在實數(shù)集中發(fā)揮的那樣的作用.比如,數(shù)學分析中的歸結(jié)原理：

設f:R→R是一個映射,則有

f:R→R是連續(xù)映射當且僅當對任意的數(shù)列{xn},{xn}→x蘊涵{f{xn}}→f(x).

在一般的拓撲空間中,若將上述結(jié)論中的數(shù)列替換為序列,必要性仍然成立，但充分性不再成立.從中可以看出，序列在一般的拓撲空間中起到的作用跟數(shù)列在實數(shù)集中起的作用是有區(qū)別的.因此,教師應該跟學生強調(diào)，序列并不是數(shù)列在一般的拓撲空間中應該對應的概念.針對這一問題,我們需要在拓撲空間中引入新的概念,作為數(shù)列的對應概念.此概念恰好就是拓撲空間的網(wǎng)(見定義2.5),并且數(shù)列的收斂恰好對應于網(wǎng)的收斂(見定義2.6).我們借助網(wǎng)和網(wǎng)的收斂,得到一般的拓撲空間中的原理：

設f:(X,τX)→(Y,τY)是兩個拓撲空間之間的映射,則有

f:(X,τX)→(Y,τY)是連續(xù)映射當且僅當對任意(X,τX)中的網(wǎng)S,S→x蘊涵f(S)→f(x).

從中可以看出,在一般的拓撲空間中，用網(wǎng)替換數(shù)列更為合理.當然,除了歸納原理,還有很多拓撲空間中的概念和性質(zhì)討論利用網(wǎng)才能得到更好的結(jié)果,比如,刻畫聚點,閉包,分離性等.總之,在一般的拓撲空間框架下,網(wǎng)才是數(shù)列的合理推廣.在這一講解過程中，教師要有意識地培養(yǎng)學生從一般拓撲學的角度理解數(shù)學分析的思維模式，而且引導學生尋找熟悉的數(shù)學分析中的概念在一般的拓撲空間中的對應.教師通過這一過程,幫助學生總結(jié)數(shù)學分析和一般拓撲學課程相通的知識點,一定要注意著重分析可能存在的區(qū)別.

從上述講解過程中,我們可以看出序列不能作為數(shù)列的完美的推廣形式，但這不意味序列及其收斂在拓撲空間中沒有意義.我們借助序列可以描述和刻畫拓撲空間的很多性質(zhì),而且,當拓撲空間滿足第一可數(shù)公理時,序列收斂和網(wǎng)的收斂是等價的.因此,考慮第一可數(shù)空間的相關(guān)問題時,我們可以優(yōu)先選擇序列,因為在形式上序列要比網(wǎng)更為簡潔,利用起來更為方便.

六、總 結(jié)

一般拓撲學是數(shù)學分析和實變函數(shù)等多門分析學課程的延伸,最顯著的特點是將公理化的研究方法與具體的數(shù)學性質(zhì)相結(jié)合.通過一般拓撲學課程的學習,我們可以更好地梳理多門分析學課程的內(nèi)在聯(lián)系.如果從一般拓撲學的角度看待數(shù)學分析,學生可以將數(shù)學分析課程中的諸多基礎概念理解得更加透徹.教師結(jié)合一般拓撲學的抽象化特點,結(jié)合抽象的拓撲概念,對數(shù)學分析中的具體概念加以解釋,可以幫助學生從一個更高的層面去理解和解釋數(shù)學基礎課程中的概念和性質(zhì).在考研背景下,教師借助一般拓撲學課程,可以幫助學生串聯(lián)和梳理各門相關(guān)課程之間的關(guān)系.對一般拓撲學的學習,不僅可以幫助學生加深對各門相關(guān)課程的理解,還可以輔助數(shù)學專業(yè)學生從容應對考研復試中的面試環(huán)節(jié).