培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識復(fù)習(xí)課一例

◎何 婷(遼寧省錦州市第八初級中學(xué)，遼寧 錦州 121000)

一、教學(xué)內(nèi)容

北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》九年級下學(xué)期中考專項復(fù)習(xí)——“三角函數(shù)的應(yīng)用”.

二、內(nèi)容解析

初中階段“三角函數(shù)”是“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，主要研究銳角三角函數(shù)、解直角三角形及解決與直角三角形有關(guān)的實際問題.它是學(xué)生在高中繼續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是中考必考內(nèi)容，其實際應(yīng)用問題更是命題的重點和熱點，其命題背景與實際生活密切聯(lián)系，是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一類典型題.這類問題在考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的同時對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有了更高的要求，解決問題的關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中識別和構(gòu)造出基本圖形，把錯綜復(fù)雜的問題簡化，抽象為合理的數(shù)學(xué)模型.因此，本節(jié)課的教學(xué)重點為：從實際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)關(guān)系解直角三角形.

三、教學(xué)目標(biāo)

(1)靈活應(yīng)用直角三角形邊角關(guān)系解直角三角形.

(2)經(jīng)歷從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)基本圖形和數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，感受模型、抽象的基本思想在銳角三角函數(shù)中的應(yīng)用，積累數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗.

(3)經(jīng)歷觀察、討論等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力.

(4)在解決具體問題過程中，體會數(shù)與形之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思想，積累解這類問題的經(jīng)驗，發(fā)展應(yīng)用意識和解決問題的能力.

目標(biāo)解析：

目標(biāo)(1)：在解決三角函數(shù)實際問題時，我們首先要運用轉(zhuǎn)化的思想方法把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后找出要解的直角三角形(對于非直角三角形問題，則需要添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為直角三角形問題)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，選擇合適的邊角關(guān)系，求出未知數(shù)的值.因此，熟練靈活地應(yīng)用各種關(guān)系解直角三角形是解決銳角三角函數(shù)實際應(yīng)用問題的工具和基礎(chǔ)，為本節(jié)課的目標(biāo).

目標(biāo)(2)：本節(jié)課通過對實際問題的討論，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，讓其經(jīng)歷從實際問題中抽象出兩類基本圖形和數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，引導(dǎo)學(xué)生感受當(dāng)兩個目標(biāo)直角三角形都不可解時，用方程思想來解決,會產(chǎn)生柳暗花明之效，并滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

目標(biāo)(3)：自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.因此教師要給學(xué)生自主探索的時間，讓其在觀察、交流等數(shù)學(xué)活動中，逐步發(fā)展合情推理能力.

目標(biāo)(4)：通過解決具體問題的過程，讓學(xué)生歸納總結(jié)出數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而升華成數(shù)學(xué)思想，是一種有效的教學(xué)手段.因此以經(jīng)典范例為載體，逐漸滲透數(shù)學(xué)思想方法為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

四、學(xué)情分析

在知識層面上，九年級學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了勾股定理及三角形相似，也學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)和特殊角度的三角函數(shù)值，并且掌握了直角三角形中各邊和各角的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生解直角三角形難度并不大，但在深入研究幾何圖形的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇直角三角形邊角之間的關(guān)系，并達(dá)到熟練運用的程度還有一定困難.

在心理層面上，九年級學(xué)生經(jīng)過近三年的初中學(xué)習(xí)和生活，邏輯思維從經(jīng)驗型逐步向理論型發(fā)展，記憶能力、觀察能力和想象能力也迅速發(fā)展，他們思維活躍，有較強(qiáng)的接受能力和推理能力，同時具備一定的數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.但學(xué)生抽象概括能力有限，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，特別是將實物圖形抽象為幾何圖形，以及綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力有待提高，因此學(xué)生需要通過觀察、思考、交流，進(jìn)一步體會“航海”“物體測量”等實際問題與銳角三角函數(shù)之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思想，積累解題經(jīng)驗，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)和合作交流的能力.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點是：從實際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)關(guān)系解直角三角形.

五、教學(xué)支持條件分析

(1)學(xué)習(xí)工具單的使用避免了“老師講，學(xué)生聽”的滿堂灌的學(xué)習(xí)，使學(xué)生有了思維空間，學(xué)習(xí)效率更高.

(2)在設(shè)計并應(yīng)用PPT課件整合教學(xué)資源的同時，教師運用幾何畫板可以幫助學(xué)生直觀理解基本圖形之間的關(guān)系.

(3)各小組用答題板展示學(xué)習(xí)成果，這樣便于各小組之間的交流，也能使教師直接觀察到學(xué)生解決問題時出現(xiàn)的亮點和錯誤，有助于教師了解學(xué)生的學(xué)情.

(4)教師以典型范例為載體，遵循啟發(fā)、吸收、消化、發(fā)展的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行總體策劃，分階段、有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，在解題過程中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對發(fā)現(xiàn)解題路徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，觸類旁通.

(5)通過小組交流討論，學(xué)生能獨立思考，構(gòu)造出實際問題中的直角三角形，并有意識地運用方程思想，通過解直角三角形來解決實際問題，這是一個質(zhì)的飛躍.

六、教學(xué)過程設(shè)計

1.提出問題，引出課題

師：老師有一個問題想請同學(xué)們幫忙解決.

圖1

引例：如圖1,分校和老師家都位于東湖的堤壩線MN上，它們相距2000 m，主校、分校及老師家構(gòu)成了一個三角形ABC，測得∠ACB約為30°，∠ABM約為60°，我想知道主校到東湖堤壩線MN的距離是多少？

師：你想用什么知識解決這一問題？

【師生活動】教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)圖形，運用啟發(fā)式追問讓學(xué)生積極思考后引出課題.

【設(shè)計意圖】教師利用與生活實際有關(guān)的具體情境，讓學(xué)生體驗由生活情境抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，感受數(shù)學(xué)建模思想的運用，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

2.課前整理，復(fù)習(xí)回顧

問題(1)：三角函數(shù)有什么作用？(求線段長或求角度)

問題(2)：你還學(xué)過哪些求線段長的方法？

追問：哪種方法更簡便？

問題(3)：在解決此問題的過程中，你發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的應(yīng)用有哪些類型？

【師生活動】在教師引導(dǎo)下學(xué)生積極思考回答，總結(jié)求線段長度常用的基本方法(勾股定理、相似、三角函數(shù))，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用的常見類型.

【設(shè)計意圖】通過學(xué)習(xí)工具單上的課前練習(xí)和本環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)的問題串，學(xué)生進(jìn)一步感受到三角函數(shù)是求線段長度的有力工具，在原有求線段長度的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化理解三角函數(shù)方法的簡便性，并從中總結(jié)出三角函數(shù)應(yīng)用的類型(即①只在一個直角三角形模型中應(yīng)用三角函數(shù)，②兩個及兩個以上直角三角形模型中應(yīng)用三角函數(shù))，為下面抽象、歸納出兩個基本圖形做好鋪墊.

問題(4)：在一個直角三角形中應(yīng)用三角函數(shù)需要滿足什么條件？其解題策略是什么？

問題(5)：應(yīng)用三角函數(shù)解決實際問題時已知條件常為斜三角形，我們應(yīng)該如何應(yīng)對？

問題(6)：對如圖所示的斜三角形應(yīng)如何作高使其轉(zhuǎn)化為直角三角形？你有幾種方法？

問題(7)：這兩個基本圖形有什么聯(lián)系？

【師生活動】通過學(xué)習(xí)工具單，學(xué)生已經(jīng)在課前進(jìn)行了討論，明確了確定直角三角形的條件和解題策略(有斜用弦、無斜用切、寧乘毋除、取原避中)，對于斜三角形也有運用轉(zhuǎn)化思想化斜為直的意識.教師運用幾何畫板讓學(xué)生對斜三角形作高，引出兩個重要基本圖形，并引導(dǎo)學(xué)生初步感知兩者的聯(lián)系.

【設(shè)計意圖】教師再次通過問題串啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用中的兩個重要基本圖形并形成感性認(rèn)識，為下面小組合作探究環(huán)節(jié)形成對兩個基本圖形的理性認(rèn)識奠定基礎(chǔ).

3.合作交流，探求新知

活動一：小組合作，探究策略

探究圖2,在這幾種情況下，當(dāng)a為已知量時，如何求x的值？從中你總結(jié)出了哪些解題策略?

圖2

【師生活動】教師先讓學(xué)生獨立思考，再進(jìn)行分組交流和歸納，小組內(nèi)學(xué)生達(dá)成共識后，各小組將自己的答案寫在本組答題板上.所有小組完成后，各組代表展示講解，其他組做對比、評價，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生歸納出兩類基本圖形的三種題型：

(1)兩個直角三角形均可解；

(2)一個直角三角形可解從而另一個也可解；

(3)兩個直角三角形均不可解.

【設(shè)計意圖】教師在課前給學(xué)生探索的時間，課上通過小組合作交流，充分挖掘?qū)W生潛能，發(fā)展合作探究能力.此環(huán)節(jié)突出了本節(jié)課的重點，學(xué)生在深入研究幾何圖形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高了根據(jù)已知條件，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇直角三角形邊角之間的關(guān)系解決問題的能力，在比較和體會各圖形求解方法之間的差異與共性的同時，感受到方程思想在解決三角函數(shù)實際問題中的作用，為突破本節(jié)課的難點做好了鋪墊.

活動二：例題板演，規(guī)范書寫

【師生活動】師生共同分析，教師板演.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生明確三角函數(shù)實際應(yīng)用的步驟及解題過程.

本環(huán)節(jié)設(shè)定在上一環(huán)節(jié)之后，在對基本圖形深入分析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模思想從表象認(rèn)識逐步上升為本質(zhì)認(rèn)識.有了再認(rèn)識，學(xué)生在解決后面實際問題時，就會潛移默化地應(yīng)用建模和數(shù)形結(jié)合思想以及歸納的解題策略去解決問題.這樣學(xué)生就能用建立圖形與解直角三角形的經(jīng)驗去深入研究后續(xù)的問題，學(xué)會抓住事物的本質(zhì)屬性，逐步形成能力.

活動三：圖形變換，化斜為直

圖3

【師生活動】學(xué)生獨立思考后，交流解題方法，教師引導(dǎo)辨析總結(jié).

【設(shè)計意圖】初看此題，從圖形、條件到問題給人的感覺和上一道例題屬于一個類型，我們仔細(xì)思考可以發(fā)現(xiàn)，由于特殊條件的限制，過點P作垂線的方法不可行，但本質(zhì)上有相通之處，稍加點撥，學(xué)生找到了解題方法.此環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生學(xué)會多方法、多角度地分析解決問題，體會基本圖形之間的變化聯(lián)系和數(shù)學(xué)知識的辯證統(tǒng)一，從而突破難點.

4.歸納小結(jié),內(nèi)化升華

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你能從知識內(nèi)容、解題策略、思想方法等方面談?wù)勈斋@嗎？

師生總結(jié)：了解幾何模型之間圖形變換關(guān)系，有助于更有效地理解題意從而建立模型.

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課相關(guān)知識和數(shù)學(xué)思想方法，形成知識網(wǎng)絡(luò)，逐步提升對數(shù)學(xué)思想方法的理性認(rèn)識.

5.板書設(shè)計

圖4

【設(shè)計意圖】思維導(dǎo)圖式板書是課堂教學(xué)引人入勝的“導(dǎo)游圖”.首先，思維導(dǎo)圖可以直觀形象地展示思維過程，凸顯重點和難點，體現(xiàn)教學(xué)意圖，提高課堂教學(xué)效率，增強(qiáng)教學(xué)效果，能更有效地實現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)；其次，思維導(dǎo)圖的呈現(xiàn)方式既可以刺激學(xué)生的多種感官，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動其左腦的邏輯思維，又能激發(fā)右腦的創(chuàng)造力和想象力，啟發(fā)學(xué)生獨立思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維；最后，這樣的板書有助于學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，把握知識之間的內(nèi)容聯(lián)系和數(shù)學(xué)的本質(zhì).

七、總 結(jié)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中提出了10個核心概念，其中包括數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，并且在數(shù)學(xué)課程的四個部分內(nèi)容教學(xué)中都有體現(xiàn)，因此數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.而學(xué)生的應(yīng)用意識主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一方面是利用數(shù)學(xué)知識解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，并解決現(xiàn)實世界中的問題；另一方面是將現(xiàn)實生活中許多與圖形和數(shù)量有關(guān)的問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，并用數(shù)學(xué)的方法予以解決.因此，教師在整個數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中都應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.

本文以“三角函數(shù)的應(yīng)用”為例說明了教師如何建立數(shù)學(xué)應(yīng)用課堂教學(xué)模式來培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的策略，即：使學(xué)生受到數(shù)學(xué)問題和實際問題的雙向轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，經(jīng)歷“分析實際問題—構(gòu)建數(shù)學(xué)模型—建立數(shù)學(xué)關(guān)系式—解數(shù)學(xué)問題—回歸實際問題”幾個環(huán)節(jié)，通過“問題—討論—探索—發(fā)現(xiàn)—應(yīng)用”的過程，使學(xué)生真正意識到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系.也只有這樣，學(xué)生才能夠真正體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，在掌握解決實際問題的一般思想方法的同時，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，并具備自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.結(jié)合本課，教師應(yīng)用此模型時應(yīng)注意以下幾點：

1.問題設(shè)計應(yīng)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律且突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)生接受新知識，必須具備一定的知識基礎(chǔ).新知識的教學(xué)圍繞學(xué)生具備的知識基礎(chǔ)展開，使教師傳授的知識貼近學(xué)生知識的最近發(fā)展區(qū).如問題(1)的提出，讓學(xué)生體驗由實際情境抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點和方法去看待客觀世界的素養(yǎng)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.問題(2)～(3)讓學(xué)生在原有求線段長度的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化理解三角函數(shù)方法的簡便性，并從中總結(jié)出三角函數(shù)應(yīng)用的基本類型.問題(4)～(7)通過問題串啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用中的兩個重要基本圖形，并形成感性認(rèn)識，為下面小組合作探究環(huán)節(jié)形成對兩個基本圖形的理性認(rèn)識奠定基礎(chǔ).

2.數(shù)學(xué)思想方法滲透和解題經(jīng)驗總結(jié)應(yīng)貫串教學(xué)始終

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，從始至終都突出了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).例如，應(yīng)用三角函數(shù)解決實際問題的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的運用；分析基本圖形之間的聯(lián)系和化斜為直的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運用；通過小組交流歸納出兩類基本圖形的三類題型，蘊(yùn)含著分類的數(shù)學(xué)思想；解決兩個直角三角形都不可解的類型，運用了方程思想.整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，都是教師引導(dǎo)學(xué)生解決一系列由淺入深的實際問題，使學(xué)生逐步感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累解決“航海”“測量物體高度”等實際問題的經(jīng)驗.

3.自主學(xué)習(xí)與合作交流應(yīng)注重實質(zhì)

自主學(xué)習(xí)不是自由學(xué)習(xí)，需要教師的精心指導(dǎo)，合作交流不同于小組討論，需要在教師有目的有計劃的引領(lǐng)下進(jìn)行.教師應(yīng)注意兩方面：一是合作交流要有一定的時間做保證，并要在學(xué)生進(jìn)行了比較充分的自主學(xué)習(xí)和獨立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行.沒有以獨立思考為基礎(chǔ)的小組合作交流是低效的.本節(jié)課的自主探索環(huán)節(jié)是課前學(xué)生在教師精心設(shè)計的學(xué)習(xí)工具單的指導(dǎo)下已對課上內(nèi)容有了了解，這樣大大提高了課堂效率，也讓合作交流的時間更充分.二是教師適時引導(dǎo)，合作交流建立在了解學(xué)生認(rèn)知需求和交流需求的基礎(chǔ)上.交流不僅是學(xué)生之間的交流，也是師生之間的互動交流，如果沒有教師有價值的引導(dǎo)，學(xué)生的主體性就不會得到充分發(fā)揮.

4.精選范例揭示規(guī)律，從而形成解題策略

教師通過典型范例，提示三角函數(shù)應(yīng)用問題解題規(guī)律，使學(xué)生形成典型問題的解題策略.對于本節(jié)課的每個典例，教師都是引導(dǎo)學(xué)生解答、反思，總結(jié)解題策略和經(jīng)驗，舉一反三，觸類旁通，提煉數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中收獲“漁”而不是“魚”.例題和變式練習(xí)具有典型性、啟發(fā)性，因此學(xué)生在分析和思考解決問題的過程中，充分展示出了數(shù)學(xué)思維和具有代表性的數(shù)學(xué)方法，并從中抽象出基本圖形和解題規(guī)律，較好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

5.借助思維導(dǎo)圖式板書促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，關(guān)鍵就是培養(yǎng)學(xué)生抓住問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力，而思維導(dǎo)圖是一種有效的教學(xué)方法，它能夠?qū)⒑芏鄶?shù)學(xué)知識聯(lián)系在一起，并能夠系統(tǒng)、完整地展現(xiàn)出來，這種直觀、嚴(yán)謹(jǐn)、易懂的方法能夠幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，明確數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而在一定程度上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的養(yǎng)成.