發(fā)現(xiàn)解三角形問題中的代數(shù)特征培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

姚鐘磊 胡波

摘要：本文通過一節(jié)示范課引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察邊角關(guān)系中的代數(shù)特征，并歸納其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，落實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：正余弦定理;代數(shù)特征;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0072-03

1 問題提出

在近期的一次解三角形測試中發(fā)現(xiàn)得分率不高，同學(xué)們在熟記正、余弦定理的基礎(chǔ)上，對什么條件下使用掌握得還不太好.

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，有過程才能有結(jié)果.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中掌握學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維方式的形成，學(xué)生在此過程中，從發(fā)現(xiàn)代數(shù)特征出發(fā)，親自經(jīng)歷難點(diǎn)突破，歸納其代數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解決此類問題，并在此過程中，形成數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2 例題再現(xiàn)

例1在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若cosAcosB=ba=2，則該三角形的形狀是（）.

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形問題1請考慮用正弦定理還是余弦定理？

生1：因?yàn)轭}目里給出了cos A，所以用余弦定理，有

b2+c2-a22bca2+c2-b22ac=ba.

化簡，得（a2-b2）c2=（a2-b2）（a2+b2）.

故a2-b2=0或c2=a2+b2.

而ba=2，所以△ABC是直角三角形.

師：回答正確，用余弦定理進(jìn)行化簡，對計(jì)算能力要求比較強(qiáng)高，那么用正弦定理行嗎？

生2：可以，因?yàn)閏osAcosB=ba=2，

由正弦定理，得

cosAcosB=sinBsinA.

所以sinAcosA=sinBcosB.

即sin2A=sin2B.

由ba=2，可知a≠b，所以A≠B.

又A，B∈（0，π），所以2A=π-2B.

即A+B=π2.

所以C=π2.

故△ABC是直角三角形.

問題2比較兩個(gè)同學(xué)的處理方法，你選擇哪種方法，要是把條件中等式左邊的分母改為sin B，你會選擇哪種方法，為什么？

生3：第二種方法簡單，計(jì)算量小，我愿意用第二種方法，分母轉(zhuǎn)化為邊后有外接圓直徑2R，不能計(jì)算.

評析本題用兩個(gè)定理都能解決，用余弦定理是因?yàn)榈仁阶筮吺呛陀嘞蚁嚓P(guān)的一次式，可以將角余弦值間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系進(jìn)行化簡，但是從過程來看，運(yùn)算復(fù)雜了點(diǎn).能用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角正弦值的關(guān)系，是由等式左邊的代數(shù)特征決定的，其左邊是和邊相關(guān)的一次式之比，可以把外接圓直徑2R都約掉，從運(yùn)算過程看，變成了兩項(xiàng)乘積，項(xiàng)數(shù)少了，未知數(shù)也少了，運(yùn)算簡捷了.

因此，本題雖然兩種方法都能處理，但是遇到問題不能立刻去做，要觀察其代數(shù)結(jié)構(gòu)有什么特征，有無對稱性，未知數(shù)的個(gè)數(shù)如何等.這個(gè)過程就是具體數(shù)學(xué)思維方式的形成過程.

例2在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且b2+c2=a2+bc.若sinB·sinC=sin2A，則ΔABC的形狀是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

問題1請同學(xué)們考慮題目中兩個(gè)條件有什么樣的代數(shù)特征，該如何處理呢？

生1：因?yàn)閎2+c2=a2+bc是一個(gè)二次齊次式，用余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.

又在ΔABC中，因?yàn)锳∈（0，π），所以A=π3.

因?yàn)閟inB·sinC=sin2A也是二次齊次式，可用正弦定理，所以bc=a2.后面就不會了.

問題2第一個(gè)條件得到角A=π3，第二個(gè)條件把“角”轉(zhuǎn)化成邊，出現(xiàn)了三個(gè)未知數(shù)，該怎么辦？

生2：由b2+c2=a2+bc，得（b-c）2=a2-bc=0，所以b=c，故△ABC的形狀是等邊三角形.故選C.

評析回答正確.在本題給出兩個(gè)式子的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，其未知數(shù)個(gè)數(shù)都是三個(gè)，其實(shí)第二個(gè)式子未知數(shù)只有兩個(gè)，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是π，而且兩個(gè)式子都是二次齊次式，第二個(gè)式子只能用正弦定理轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，這樣其未知數(shù)個(gè)數(shù)也是三個(gè).通過消元的思想，我們知道三變量問題要轉(zhuǎn)化為雙變量問題，所以要和第一個(gè)式子聯(lián)立求解.

例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c依次成等差數(shù)列，且B=π3，則△ABC的形狀為（）.

A.等邊三角形

B.直角邊不相等的直角三角形

C.等腰直角三角形

D.鈍角三角形

問題1本題條件a，b，c依次成等差數(shù)列有什么代數(shù)特征？

生1：因?yàn)閍，b，c依次成等差數(shù)列，所以b=a+c2.

問題2用正弦定理還是余弦定理處理，為什么？

生2：因?yàn)锽=π3，所以其余弦值可知.

由余弦定理，得cosB=a2+c2-b22ac=12.

將b=a+c2代入上式整理得（（a-c）2=0.

所以a=c.

又B=π3，所以ΔABC為等邊三角形.故選A.

問題3有沒有其它做法，正弦定理行嗎？

生3：由2b=a+c，得sinA+sinC=2sinB=3，而C=2π3-A，可以得到sin（A+π6）=1，故A=π3.

評析2b=a+c是一次齊次式，正是由于有這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以用正弦定理轉(zhuǎn)化為角，也可以結(jié)合已知角B，用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.那么對于此類化簡問題主要從兩個(gè)角度考慮：（1）化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系.（2）化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，無論使用哪種方法，都和條件中蘊(yùn)涵的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)，如果條件中有與邊相關(guān)的一次齊次式或者是與角正弦值相關(guān)的一次齊次式，可以考慮用正弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.如果條件具有邊的二次齊次式或角的余弦值，就考慮用余弦定理，實(shí)現(xiàn)邊和角的統(tǒng)一.

例4如圖1，在平面四邊形ABCD中，∠ACB與∠D互補(bǔ)，cos∠ACB=13，AC=BC=23，AB=4AD.圖1

（1）求AB的長;

（2）求sin∠ACD.

問題1請同學(xué)們把已知條件在圖中標(biāo)出來，將線段AB放入哪個(gè)三角形，然后怎么處理？

生1：將線段AB放到ΔABC中，已知兩邊和夾角，所以直接用余弦定理，得

AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos∠ACB.

即AB2=（23）2+（23）2-2×23×23×13=16，所以AB=4.

問題2sin∠ACD放入哪個(gè)三角形中呢，該用正弦定理還是余弦定理？

生2：將其放到△ADC中，因?yàn)锳B=4且AB=4AD，所以AD=1.

又因?yàn)椤螦CB與∠D互補(bǔ)，所以cos∠D=

cos∠ACB=-13.已知角和對邊、鄰邊，所以由正弦定理得sin∠D=1-（-13）2=223.由正弦定理ACsin∠D=ADsin∠ACD，得sin∠ACD=69.

評析以平面幾何為載體的問題，一般有以下幾個(gè)方面：一要利用好平面幾何圖形的性質(zhì);二是出現(xiàn)多個(gè)三角形時(shí)，要從條件較多的三角形突破求解;三是四邊形問題要分割成三角形問題求解;四要善于用三角形的不等關(guān)系，從而確定角或邊的范圍.

3 總結(jié)與反思

一般地，解決數(shù)學(xué)問題離不開轉(zhuǎn)化思想，解三角形也不例外，從觀察方程的代數(shù)特征出發(fā)，將三變量轉(zhuǎn)化為雙變量.對同一數(shù)學(xué)問題觀察的角度不同，解決問題方法不同，若是關(guān)于邊和角余弦的一次齊次式，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理;若是式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用正弦定理，關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角恒等變換方法都適用，化簡時(shí)還要考慮到“統(tǒng)一角的名稱，統(tǒng)一函數(shù)名稱，統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.所以要用數(shù)學(xué)的思維方式去分析題目條件的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力，形成數(shù)學(xué)的思維方式，落實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李璟]