一題八解 素養(yǎng)落地

摘要：一題多解是培養(yǎng)能力，體現(xiàn)素養(yǎng)的一種行之有效的方法，它對溝通各模塊知識之間的聯(lián)系，開拓解題思路，培養(yǎng)思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣都大有裨益.文章從一道高考模擬試題的解法入手，探究一題多解在教學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：一題多解;素養(yǎng);探究

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0046-04

1 題目呈現(xiàn)

題目（2021年四川省高考適應(yīng)性試題）已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C滿足sinBsinC=cos2A2.

（1）判斷△ABC的形狀;

（2）若AC邊上的中線BM長為3，求△ABC的面積的最大值.

題目為一道典型的解三角形問題，三角形中邊角關(guān)系，三角恒等變換，三角形形狀判斷，三角形中線段長度，三角形面積在本題均充分考查，而且思維量較大，是一道非常典型的高考沖刺模擬試題，充分體現(xiàn)了試題的區(qū)分度和選拔功能.2 試題解析

2.1 第（1）問解析

解析由sinBsinC=cos2A2，

得sinBsinC=1+cosA2.

所以2sinBsinC=1-cos（B+C）.

所以2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC.

所以cosBcosC+sinBsinC=1.

所以cos（B-C）=1.

又B-C∈（-π，π），

所以B-C=0，即B=C.

所以△ABC是等腰三角形.

評注判斷三角形形狀可以從邊的關(guān)系入手，也可以從角的關(guān)系著眼.本題已知關(guān)系式中全為角的關(guān)系，因此要充分利用三角恒等變換和相關(guān)三角公式，將多角度化為單角度或找到相關(guān)角度之間的關(guān)系.

2.2 第（2）問解析

第（2）問涉及三角形中線段長度并求面積最值，高考試題對高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的考查較為全面細(xì)致，由于第（1）問只考查了邊角關(guān)系和三角恒等變換，因此第（2）問肯定會考查正余弦定理的應(yīng)用，解題時要清晰明了題目命制的意圖和考查的知識點(diǎn);三角形面積最值問題是考查基本不等式、函數(shù)最值、三角函數(shù)最值、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的一種重要體現(xiàn)，解題中一定要結(jié)合條件和求解結(jié)論去理解，迅速找到解決問題的方向.

解法1設(shè)AM=m，則AB=2m.

在△ABM中，由余弦定理，得

m2+4m2-2·m·2m·cosA=9.

解得cosA=5m2-94m2.

所以

sinA=-9m4+90m2-814m2

=3-（m4-10m2+9）4m2.

所以△ABC的面積

S=12·2m·2m·3-（m4-10m2+9）4m2

=3-（m2-5）2+162

≤3×42=6.

評注從三角形面積公式S=12absinC入手，將邊和角均轉(zhuǎn)化到同一變量m上，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，難點(diǎn)在于將邊角關(guān)系利用余弦定理統(tǒng)一，然后利用同角三角關(guān)系表示出角度的正弦.

解法2將BM放在x軸，且B（0，0），M（3，0），因?yàn)锳B=AC，AC=2AM，所以AB=2AM.

則知點(diǎn)A的軌跡是圓，于是設(shè)A（x，y），

得x2+y2=2（x-3）2+y2（y≠0）.

化簡，得（x-4）2+y2=4（y≠0）.

所以如圖1，點(diǎn)A運(yùn)動到圓的最高點(diǎn)時，△ABM面積最大，最大值為12×3×2=3，從而△ABC的面積的最大值為6.

評注解析的方法是將幾何思維（智力為主）轉(zhuǎn)化為代數(shù)統(tǒng)籌（運(yùn)算為主）的數(shù)學(xué)能力.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將圖形思維轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，是處理幾何問題的一種常用方法.法2的關(guān)鍵點(diǎn)在于要充分運(yùn)用阿波羅尼斯圓將動點(diǎn)轉(zhuǎn)化到定圓上，從而將三角形的面積最值轉(zhuǎn)化到相對圓直徑的高最值，一目了然，一望而解.

解法3如圖2，由題知AB=2AD，得點(diǎn)A的軌跡為圓（阿波羅尼斯圓定義）.

由阿波羅尼斯圓定義，得

ABAD=BEED=BFDF=2.

所以BD-EDED=BD+DFDF=2.

解得DE=1，DF=3.

所以圓半徑為2.

所以S△ABC=2S△ABD=3h，h為BD邊上的高.

所以S△ABCmax=6.

評注此法充分利用平面幾何中有關(guān)阿波羅尼斯圓的定義巧妙將動點(diǎn)轉(zhuǎn)化到定圓上，從而將面積表示為與圓上點(diǎn)到直線距離的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化.

解法4如圖3，取BC中點(diǎn)E，連接AE，交BD于點(diǎn)G，易知G是△ABC重心.

因?yàn)锽D=3，所以BG=2.

因?yàn)锽E=2sinθ，BC=4sinθ，GE=2cosθ，

AE=6cosθ，

所以

S△ABC=12·BC·AE=12sinθcosθ=6sin2θ≤6.

所以S△ABCmax=6.

評注利用三角形重心（中線交點(diǎn)）分中線長為1∶2的長度關(guān)系將△ABC的底和高轉(zhuǎn)化到已知長度和同一角度求解，從而將面積最值問題轉(zhuǎn)化為三角最值問題.

解法5如解法4，點(diǎn)G是△ABC重心.則

S△ABC=3S△BGC

=3×12BG·GC·sin∠BGC

=3×12×2×2sin∠BGC

=6sin∠BGC≤6.

評注充分利用三角形重心分面積的關(guān)系將△ABC的面積轉(zhuǎn)化到3S△ABC，而BG=GC=2，從而再次將幾何最值問題轉(zhuǎn)化為三角最值問題.

解法6如圖4，過BC中點(diǎn)O建系，設(shè)A0，b，B-a，0，Ca，0，可得Da2，b2.

由BD=3=32a2+b22，

得9a24+b24=9.即a24+b236=1.

令a=2sinθ，b=6sinθ，

得S△ABC=12·BC·AE=ab=12sinθcosθ=6sin2θ≤6.

所以S△ABCmax=6.

評注通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將三角形底和高的長度關(guān)系利用題目中條件建立關(guān)系，再利用三角代換將面積問題轉(zhuǎn)化為三角問題.

解法7由解法6得到

a24+b236=1.

由基本不等式可得

1=a24+b236≥2·a2·b6=ab6.

即S△ABC=12·BC·AE=ab≤6（當(dāng)且僅當(dāng)a2=b6=22時取等）.

評注高中數(shù)學(xué)的最值問題解決方法無非是用不等式或?qū)Ш瘮?shù)處理，已知相關(guān)量的等量關(guān)系，所以首先想到用基本不等式解決最值，但運(yùn)用基本不等式時一定要注意十七字方針“一正，二定，三相等，和定積最大，積定和最小”.

解法8如圖1，設(shè)AD=x，則AB=2x，

由海倫公式

S△=2pp-ap-bp-c，

p=a+b+c2

可得

S△ABC=2S△ABD

=23x+32·3x-32·x+32·3-x2

=9x2-99-x24.

由三角形三邊關(guān)系可得2x+x>3，2x-x<3，

得1<x<3.

則當(dāng)x2=5（符合條件）時，取最大值S△ABCmax=6.

評注此法實(shí)際和解法1一致（解法1就是海倫公式推導(dǎo)），海倫公式是平面幾何中求解三角形面積的一個重要公式，利用題目已知條件和海倫公式將面積全部轉(zhuǎn)化到邊長，從而將面積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值.

此題的向量版變式已知共面向量a，b，c滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|.若對每一個確定的向量b，記|b-ta|（t∈R）的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時，dmin的最大值為.

解法1同上題，實(shí)際求此阿波羅尼斯圓的半徑即可.

解法2固定向量a=（3，0），則b，c向量分別在以（3，0）為圓心，r為半徑的圓上的直徑兩端運(yùn)動，其中，OA=a，Ob=b，Oc=c，如圖5，易得點(diǎn)B的坐標(biāo)B（rcosθ+3，rsinθ）.

因?yàn)閨b|=|b-c|，

所以O(shè)B=BC.

即（rcosθ+3）2+r2sin2θ=4r2.

整理為r2-2rcosθ-3=0.

可得cosθ=r2-32r.

而|b-ta|（t∈R）的最小值為dmin，

即dmin=rsinθ=-r4+10r2-94=4-（r2-5）25≤2.

所以dmin的最大值是2.

小結(jié)解三角形問題一直是高考的熱點(diǎn)問題，正確理解三解恒等變換和三角形面積公式是處理問題的關(guān)鍵;同時要將三角、函數(shù)、解析幾何、不等式等相關(guān)知識加以遷移滲透，綜合運(yùn)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想;在解題歸納上注重模型意識，合理轉(zhuǎn)化，妙設(shè)巧算，才能將核心素養(yǎng)在解題中得到真正的體現(xiàn)和展示.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]