多視角切入 擇方法妙解

摘要：本文從多個(gè)視角對(duì)2021年新高考Ⅰ卷第19題進(jìn)行了剖析，旨在提升教師的專業(yè)水平，更好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：新高考;解三角形;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0065-04

收稿日期：2022-03-05

作者簡(jiǎn)介：楊偉達(dá)（1973.10-），男，廣東省興寧人，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

縱覽2021年高考數(shù)學(xué)卷，細(xì)細(xì)品讀，一道新高考Ⅰ卷第19題解三角形試題引起筆者的注意，冥思苦想的解答過程，感受著不一樣的數(shù)學(xué)味道.

1 展示考題，綻放別樣的解法

題目（2021年新高考Ⅰ卷19）如圖1，記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析主要考查三角形正、余弦定理的綜合運(yùn)用.第（1）問與傳統(tǒng)設(shè)問不同，依托已知條件，要么從正弦定理入手，要么作輔助線入手，利用三角形相似即可;

第（2）問設(shè)問常規(guī)，方法較多，入口容易.要么列方程組，利用余弦定理，要么利用三角形相似找到邊角關(guān)系等即可.1.1 第（1）問解析

解法1（邊角互化公式）由正弦定理，得

b=2RsinB，c=2RsinC.

代入BDsin∠ABC=asinC，得BD·b=ac，且b2=ac ，所以BD=b.

解法2（面積公式）因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC，所以12b·BDsin∠ABC=12b·asinC.

因?yàn)镾△ABC=12acsinB=12absinC，

所以b·BD=ac且b2=ac，所以BD=b.

解法3（三角形相似）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.圖2

因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC，

所以sin∠BDA=sin∠ABC.

經(jīng)檢驗(yàn)，若∠ABC，∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角時(shí)，則AD<CD與AD=2DC矛盾;若同為鈍角時(shí)，b最大，與b2=ac矛盾，舍去.

所以∠BDA=∠ABC（同為銳角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=BDCB.

即cb=BDa.

所以b·BD=ac且b2=ac，

所以BD=b.

解法4（正弦定理公式）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.

因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC.

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經(jīng)檢驗(yàn)，∠ABC，∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角或同為鈍角時(shí)，都與已知條件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同為銳角），∠ABD=∠C.

在△ABD中，BDsinA=ABsinB.

即BDa=cb.

所以b·BD=ac且b2=ac，

所以BD=b.

1.2 第（2）問解析

解法1（方程組（兩個(gè)三角形共角的余弦定理）+余弦定理）由AD=2DC，得CD=13b，BD=b.

在△ABC中，cosC=a2+b2-c22ab，①

在△BCD中，cosC=a2+（13b）2-b22a（13b）

=9a2-8b26ab， ②

因?yàn)閎2=ac，③

由①②③，得6a2-11ac+3c2=0.

解得a=32c或者a=13c（舍去）.

當(dāng)a=32c時(shí)，代入③，得 b=62c.

所以cos∠ABC=a2+c2-b22ac=712.

解法2（列方程（向量+余弦定理）+余弦定理）

因?yàn)锳D=2DC，BD=b，

所以BD=13BA+23BC.

所以BD2=19BA2+49BC2+49BA·BC.

即9b2=c2+4a2+4accos∠ABC④

在△ABC中，cosB=a2+c2-b22ac，⑤

因?yàn)閎2=ac，⑥

由④⑤⑥，得6a2-11ac+3c2=0.

下面部分與解法1后面部分相同.

解法3（高+正弦定理+方程組）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，若∠B為銳角，則CH=DH+CD.

即acosC=bcosD+b3.

若∠B為鈍角，b為最大，與b2=ac矛盾，舍去.

因?yàn)锽H=BDsin∠BDA=ainC，

又因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC，

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經(jīng)檢驗(yàn)，若∠ABC，∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角時(shí)，則AD<CD與b2=ac矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同為銳角），∠ABD=∠C.

在△ABD中，BDsinA=ADsinC.

即ba=2b3c.

得 c=23a， 則b2=ac=23a2.

又因?yàn)椤螦BC=∠BDA，BDsin∠ABC=asinC，

所以acosC=bcosB+b3，asinC=bsinB.⑦⑧

⑦2+⑧2化簡(jiǎn)，得 cosB=9a2-10b26b2=712.

解法4（作輔助線）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.

因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC，

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經(jīng)檢驗(yàn)，∠ABC，∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角或同為鈍角時(shí)，都與已知條件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同為銳角），∠ABD=∠C.

下面部分有幾種思路：

（1）正弦定理+余弦定理.

因?yàn)锳D=2DC，所以CD=13b.

在△ABD中，ABsin∠BDA=ADsin∠ABD.

即csinB=23bsinC.

化簡(jiǎn)，得 c2=23b2，且b2=ac，

得 a=32c，b=62c.

所以cos∠ABC=a2+c2-b22ac=712.

（2）相似三角形+余弦定理.

所以∠ABC=∠BDA（銳角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=ADAB=BDCB.

即cb=23bc=ba.

得 a=32c，b=62c.

所以cos∠ABD=a2+c2-b22ac=712.

（3）相似三角形+方程組.

所以∠ABC=∠BDA（銳角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=BDCB=ADAB.

即cb=23bc=ba.

得 a=32c，b=62c.

不妨設(shè)c=2x，a=3x，b=6x，

由三角形射影定理，得a=ccosB+bcosC，⑨

bsinB=asinC.⑩

由⑨⑩列方程3-2cosB=6cosC，6sinB=3sinC，

解得 cosB=712.

2 解后反思，緊扣數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

解三角形常常涉及到有關(guān)角度、長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等問題，主要運(yùn)用正、余弦定理，試題入手容易、難度不大，但在解題中用到的公式、定理多、變化大，對(duì)計(jì)算能力、思維能力的要求比較高，學(xué)生稍有不慎，就容易出錯(cuò).為改變這種“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的局面，學(xué)生必須做到：（1）要樹立做對(duì)的信心，對(duì)相關(guān)題目不能滿足會(huì)做，更不能滿足“似曾相識(shí)”;（2）對(duì)典型的例題、做過的高考題進(jìn)行分析總結(jié)，找出規(guī)律，掌握方法;（3）關(guān)注細(xì)節(jié)，對(duì)解題過程中暴露的問題精準(zhǔn)定位，弄清楚哪一個(gè)環(huán)節(jié)出問題，及時(shí)有效地解決.

新教材不再將《解三角形》作為一章，安排在人教版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)第六章向量應(yīng)用之后，成了一線教師對(duì)新教材新教學(xué)的熱門話題，其作用和地位是否減弱？今年新高考第19題的出現(xiàn)正好回答了一線教師的疑云，一切水落石出、煙消云散.具體如下：（1）題號(hào)順序靠后，以前是容易題，一般放在解答題的第17題，而這次安排在第19題;（2）題設(shè)條件全部用字母形式，設(shè)問的問法也不同.傳統(tǒng)的題設(shè)條件一般有數(shù)值表示，第一問常常是求角的大小（常常30°，45°，60°中取舍）或長(zhǎng)度.

新高考新在哪？命題專家們結(jié)合《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》考查學(xué)生關(guān)鍵能力，緊緊圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做文章，走開放創(chuàng)新之路.目的是避免刷題、套路，改變相對(duì)固化的試題形式，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)、體驗(yàn)和探索數(shù)學(xué)問題的過程.

3 變式題組， 拓展主體框架體系

當(dāng)前有一種比較認(rèn)可的有效課堂，那就是變更條件、編寫變式題組，然后進(jìn)行題組化訓(xùn)練. 其目的是讓學(xué)生熟悉考試題型，在短時(shí)間內(nèi)記住題型的解題方法，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)很有幫助.

3.1 變更題設(shè)條件，結(jié)論不變

變式1（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c分別成等比數(shù)列，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

變式2（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且它們分別成等比數(shù)列，點(diǎn)D在邊AC上，AC邊上的高為

BDsin∠ABC.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

變式3（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b2=λac（λ≠0為常數(shù)），點(diǎn)D在邊AC上，∠ABC=∠BDA.

（1）證明：BD=bλ;

（2）若AD=2DC時(shí)， 求cos∠ABC.

3.2 變更題設(shè)條件、結(jié)論

變式4（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊AC上，且邊AC上的高為bsin∠ABC.

（1）求證：b2=ac;

（2）若AD=λDC（λ為常數(shù)），BD=b，求cosC.

變式5（2021年高考Ⅰ卷19改編）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=3，c=2，點(diǎn)D在邊AC上，且邊AC上的高為bsin∠ABC.

（1）求AC的長(zhǎng)度;

（2）若AD=2DC，求BD的長(zhǎng)度.

4 鏈接高考，拓寬解題視野

鏈接高考，尋找似曾相識(shí)題，比對(duì)感悟，觸類旁通，歸納出一類題，形成一個(gè)系統(tǒng)塊，進(jìn)而拓寬解題視野.

題1（2013年福建）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，則BD的長(zhǎng)為.

題2（2016年廣州理數(shù)一測(cè)17）在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥AC，

AB=53，AD=5，CD=2BD.

（1）求BD的長(zhǎng);

（2）求△ABC的面積.

參考文獻(xiàn)：

[1] 林國(guó)紅.2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷第19題的探究[J].理科考試研究，2021，28（17）：2-5.

[責(zé)任編輯：李璟]