帶電粒子在等效重力場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)模型的分析策略

趙生武

摘要：基于學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知規(guī)律，運(yùn)用等效類比的物理思想，建構(gòu)解決帶電粒子在等效重力場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)模型的思維路徑，既能體現(xiàn)物理思想方法在高中物理教學(xué)中的重要性，又能有效培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和解決實(shí)際問題的能力.

關(guān)鍵詞：等效重力場(chǎng);思維進(jìn)階;等效類比;圓周運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0097-03

帶電粒子在等效重力場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)模型能夠充分體現(xiàn)高考評(píng)價(jià)體系中“綜合性”的考查要求，高考備考過程中應(yīng)當(dāng)高度重視.問題的設(shè)置會(huì)涉及受力分析、力的合成、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、圓周運(yùn)動(dòng)、電場(chǎng)能的性質(zhì)以及功能關(guān)系等主干知識(shí)的綜合，問題解決需要物理學(xué)中的等效、類比、合成等物理思想方法.由于學(xué)生缺乏對(duì)物理知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化建構(gòu)意識(shí)和物理思想方法的深刻理解及靈活應(yīng)用，所以難以全面分析和求解此類運(yùn)動(dòng)模型問題.基于學(xué)生從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從直觀到抽象的認(rèn)知邏輯規(guī)律，依據(jù)如圖1所示的思維路徑，將帶電粒子在電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)模型作為思維橋梁，應(yīng)用等效、類比、遷移思想，逐步進(jìn)階，不斷深入，就能取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

1 思維進(jìn)階分析

進(jìn)階一：物體在重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

全面理解物體在重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征是求解帶電粒子在等效重力場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ).

如圖2所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑圓軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，A點(diǎn)為圓軌道的最低點(diǎn)，B點(diǎn)為圓軌道的最高點(diǎn)，C點(diǎn)為圓軌道圓心O的等高點(diǎn).設(shè)小球在A、B點(diǎn)的速度分別為vA、vB，軌道對(duì)小球的彈力分別為FA、FB，由牛頓第二定律得：FA-mg=mv2AR，F(xiàn)B+mg=mv2BR，小球從A到B過程中由動(dòng)能定理得：-mg·2R=12mv2B-12mv2A，綜合分析得出以下運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：

特征一：若小球處于平衡狀態(tài)，則小球會(huì)靜止在最低點(diǎn)A，即最低點(diǎn)A為小球的平衡位置，最高點(diǎn)B到最低點(diǎn)A的連線方向恰好為重力加速度g的方向，圓心等高點(diǎn)C與圓心的連線OC垂直于最高點(diǎn)B到最低點(diǎn)A的連線方向.

特征二：小球在圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)過程中，通過最低點(diǎn)A時(shí)，小球的速度最大，軌道對(duì)小球的彈力最大.

特征三：小球在圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)過程中，通過最高點(diǎn)B時(shí)，小球的速度最小，軌道對(duì)小球的彈力最小.在B點(diǎn)當(dāng)軌道對(duì)小球的彈力FB=0時(shí)，對(duì)應(yīng)小球速度vBm=gR，vBm為小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的最小速度，由動(dòng)能定理可知，對(duì)應(yīng)小球在A點(diǎn)的速度vA1=5gR.

特征四：若小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，對(duì)應(yīng)在A點(diǎn)的速度為vA2，則12mv2A2=mgR，即vA2=2gR.

特征五：若小球不脫離軌道運(yùn)動(dòng)，則通過最低點(diǎn)A點(diǎn)的速度vA滿足條件：vA≥vA1=5gR或0<vA

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vA2=2gR.

進(jìn)階二：帶電粒子在電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

分析帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)情景時(shí)，運(yùn)用等效類比思想確定等效最低點(diǎn)、等效最高點(diǎn)和等效圓心等高點(diǎn)，合理應(yīng)用進(jìn)階一的五個(gè)特征是分析帶電粒子在等效重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的思維橋梁.

如圖3所示，一質(zhì)量為m ，電荷量為q（q>0），不計(jì)重力的帶電粒子在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中沿半徑為R的光滑絕緣圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng).對(duì)帶電粒子進(jìn)行受力分析，運(yùn)用類比思想，可將勻強(qiáng)電場(chǎng)看作等效重力場(chǎng)，則A1點(diǎn)為等效最低點(diǎn)，B1點(diǎn)為等效最高點(diǎn)，C1點(diǎn)等效圓心等高點(diǎn)，等效重力加速度大小為g1=qEm，方向水平向右，粒子在運(yùn)動(dòng)過程中具有與進(jìn)階一相似的特征.

進(jìn)階三：帶電粒子在等效重力場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

正確分析帶電粒子在重力場(chǎng)、電場(chǎng)中的受力情況，將重力和電場(chǎng)力合成，并將其合力看作等效重力，將重力場(chǎng)、電場(chǎng)看作等效重力場(chǎng)，進(jìn)而確定等效重力加速度、等效最低點(diǎn)、等效最高點(diǎn)、等效圓心等高點(diǎn).這是處理帶電粒子在等效重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵.

如圖4所示，豎直平面內(nèi)有水平向右、場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子沿著光滑絕緣圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g.當(dāng)粒子在重力、電場(chǎng)力、彈力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，重力mg、電場(chǎng)力qE的合力與彈力FN大小相等、方向相反，粒子靜止在A2點(diǎn)，則A2點(diǎn)為等效重力場(chǎng)中的等效最低點(diǎn)，與A2點(diǎn)在同一直徑上的B2點(diǎn)等效重力場(chǎng)中的等效最高點(diǎn)，與連線A2B2垂直方向上的C2點(diǎn)為等效重力場(chǎng)中的圓心等高點(diǎn).設(shè)重力mg、電場(chǎng)力qE的合力F與豎直方向的夾角為θ，則等效重力mg′=F=（mg）2+（qE）2=mgcosθ，等效重力加速度g′=Fm=（mg）2+（qE）2m=gcosθ，等效重力加速度g′的方向與豎直向下的方向夾角為θ.運(yùn)用等效類比思想，將進(jìn)階一中的五個(gè)特征遷移應(yīng)用，則能迅速求解帶電粒子在等效重力場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)問題.

2 典型例題展示

例題1如圖5所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一半徑為r的光滑絕緣圓軌道，軌道平面與電場(chǎng)方向平行.a、b為軌道直徑的兩端，該直徑與電場(chǎng)方向平行.一電荷量為q（q>0）的質(zhì)點(diǎn)沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大小分別為Na和Nb，不計(jì)重力，求電場(chǎng)強(qiáng)度大小E和質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過a點(diǎn)和b點(diǎn)的動(dòng)能.

點(diǎn)評(píng)試題考查牛頓第二定律與動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用.分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模型，類似于豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng).通過類比方法可以更加清晰地理解質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)特征和能量特征.

例題2如圖6所示，細(xì)線一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一帶電小球，處于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中.現(xiàn)給小球某一初速度，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則（）.

A.小球可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

B.當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)線的拉力一定最小

C.當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球的線速度一定最大

D.當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球的電勢(shì)能一定最大

點(diǎn)評(píng)試題考查小球在電場(chǎng)力、重力和線拉力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)問題分析.運(yùn)用等效思想建構(gòu)等效重力場(chǎng)模型，根據(jù)受力分析確定等效重力場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的等效最高點(diǎn)、等效最低點(diǎn)位置，將重力場(chǎng)中小球做圓周運(yùn)動(dòng)的特征遷移應(yīng)用到等效重力場(chǎng)，便能分析帶電小球在不同帶電情景下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

例題3如圖7所示，在豎直平面內(nèi)固定的圓形絕緣軌道的圓心在O點(diǎn)，半徑為r，內(nèi)壁光滑，A、B兩點(diǎn)分別是圓形軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).該區(qū)域存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、帶負(fù)電的小球在軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)（電荷量不變），經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度最大，O、C連線與豎直方向的夾角θ=60°，重力加速度為g.求：

（1）小球受到的電場(chǎng)力的大小;

（2）小球在A點(diǎn)的速度v0多大時(shí)，小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最小.

帶電粒子在等效重力場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)模型體現(xiàn)力學(xué)規(guī)律在電學(xué)中的靈活應(yīng)用，是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，運(yùn)用等效類比的物理思想逐步進(jìn)階、不斷深入，既能體現(xiàn)物理思想方法的重要性，又能有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]?劉玲.帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)問題[J].中學(xué)物理，2014，32（15）：95.

[2] 阮長(zhǎng)久.電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)[J].中學(xué)物理，2015，33（15）：44-45.

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