多想少算視角下2020年高考數(shù)學試題分析

摘要：數(shù)學作為思維的科學，應該“多動腦”，即“多想少算”，高考數(shù)學命題將“多考點想，少考點算”作為一條基本的命題理念.其中，“多想”是指需要多花時間去思考，“少算”是指多花時間思考后減少簡單、重復、繁瑣的運算，使學生的思維能力得到充分的發(fā)展，提高學生思考和解決問題的能力.本文以2020年高考數(shù)學試題為載體，介紹了一系列優(yōu)化解題的策略.

關鍵詞：二級結論;數(shù)學模型;數(shù)形結合;構造函數(shù)

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0025-06

1 利用特殊化

解決問題的一般策略是從簡單到復雜、從特殊到一般、從已知到未知，特殊化策略是處理選擇題和填空題最常用的簡便方法，也是解決問題的基本策略.波利亞認為：“特殊化是從對象的一個給定集合，轉而考慮包含在這集合內較小的集合”.在幾何中，特殊化就是讓直線、平面處于一些特殊的位置或臨界情況，例如：直線的平行、直線的垂直、直線和圓相切等;在代數(shù)中，特殊化就是讓變量取一些特殊的值，使問題變得簡單明了.

例1（2020年全國Ⅰ卷理第11題）若⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當PM·AB最小時，直線AB的方程為（）.

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0

解析當PM·AB最小時，只需要各自最小即可，所以猜想：當PM⊥l時，PM·AB最小.

因為PM⊥l，則PM最小，設PM與AB的交點為C，則由三角形面積可知

12AC·PM=12PA·AM.

則有PM最小時AB也最小.

又因為AB∥l，則kAB=-2，排除A，C.

易求直線AB方程為x-2y+1=0.

聯(lián)立x-2y+1=0，2x+y+2=0，解得P（-1，0），點P在直線l上，代入B，D驗算選擇D.

例2（2020年浙江卷第9題）已知a，b∈R且ab≠0，對于任意x≥0均有（x-a）（x-b）（x-2a-b）≥0，則（）.

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

解析當a=1，b=-1時，（x-1）（x+1）（x-1）≥0在x≥0時恒成立.

當a=-1，b=-1時有（x+1）2（x+3）≥0在x≥0時恒成立.

當a=-1，b=1時有（x+1）2（x-1）≥0在x≥0時不一定成立，故選C.

評注牛頓指出：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，例1通過猜想對圖形位置進行了特殊化;例2對字母數(shù)據進行了特殊化，避免了直接對字母進行分類討論，都對解題過程進行了極大簡化.

2 利用“二級結論”二級結論是指教材中現(xiàn)有結論之外的結論，它是通過教材中的一些定理、公理進行推導所得到的結論，一般是經驗性的利于考試解題的結論.例如：拋物線的焦點弦長公式、橢圓焦半徑公式、橢圓焦點三角形的面積、對數(shù)—平均值不等式、三角形面積的坐標表示、若奇函數(shù)存在最大值和最小值，則其之和為0等.這些二級結論不應該去死記硬背，而是應該在理解或者解題的基礎上去記憶.

例3（2020年全國Ⅲ卷理第11題）設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右

焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為5.P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a=（）.

A.1B.2C.4D.8

解析設∠F2PF1=θ，所以由雙曲線焦點三角形面積公式可知S△F2PF=b2tanθ2.

代入數(shù)據解得b=2.

又因為e=ca=5，c2=a2+b2，

所以a=1，選擇A.

例4（2020年全國Ⅰ卷理第15題）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.

解析利用二級結論雙曲線的半通徑長為b2a.

又AB的斜率為3，則有b2ac-a=3.

即e2-1e-1=3.

解得雙曲線離心率為2.

評注圓錐曲線問題在高考中一直是熱點、重點、難點，如果能合理利用好圓錐曲線中的二級結論則可以達到巧解甚至“秒殺”.圓錐曲線常用的二級結論有很多，例如：在拋物線中，l為過拋物線焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，那么AB=2psin2θ（θ為直線的傾斜角）等.

3 利用模型

數(shù)學模型是為了某種目的，用字母、數(shù)字及數(shù)學符號建立起來的函數(shù)、方程、等式或不等式以及圖表、圖象等描述客觀事物的特征及其內在聯(lián)系的數(shù)學結構表達式.常見的數(shù)學模型包括：向量恒等式模型、三點共線模型、面積模型、點到直線的距離模型、指數(shù)模型、對數(shù)模型、均值不等式模型等.

例5（2020年北京卷第13題）已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足AP=12（AB+AC），則|PD|=;PB·PD=.

解析由題可知PD=5.

由向量恒等式，有

PB·PD=14[（PB+PD）2-（PB-PD）2]

=14[22-（22）2]=-1.

例6（2020年全國Ⅲ卷文第16題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為.

解析由圓錐內切球模型可知：球的半徑最大時球與圓錐相切.設圓錐的截面三角形為△ABC，球的截面圓與AB邊相切于點M，與BC邊相切于點P，與AC邊相切于點N，由題意知△ABC為等腰三角形，AP2=AB2-BP2=22.

則SΔABC=22.

此時三角形的面積S=12R（a+b+c）.

所以R=22，V=43πR3=23π.

4 利用數(shù)形結合

數(shù)和形是數(shù)學研究的兩部分，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，不能將它們視作孤立存在，華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微;數(shù)形結合千般好，隔離分家萬事休.”由此可見：“形”具有直觀性，而“數(shù)”具有抽象性，只有將兩者結合才能達到事半功倍的效果.

例7（2020年全國Ⅰ卷理第10題）如圖1，已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為

△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為（）.

A.64πB.48πC.36πD.32π圖1

解析設圓O1半徑為r，球的半徑為R，由題意得πr2=4π.解得r=2.

因為△ABC為等邊三角形，由正弦定理，得

AB=2rsin60°=23.

所以OO1=AB=23，O1A=23AB·cos30°=2.

根據球的截面性質，OO1⊥平面ABC.

所以OO1⊥O1A，R=OA=OO21+O1A2=OO21+r2=4.

所以球O的表面積S=4πR2=64π.故選A.

評注本題的關鍵就是找到球的半徑，根據題意畫出圖形則有R=OO21+O1A2.

5 利用觀察

例8（2020年天津卷第9題）已知函數(shù)f（x）=x3，x≥0，-x，x<0.若g（x）=f（x）-kx2-2x（k∈R）恰有4個零點，則k的取值范圍是（）.

A.（-

SymboleB@

，-12）∪（22，+

SymboleB@

）

B.（-

SymboleB@

，-12）∪（0，22）

C.（-

SymboleB@

，0）∪（0，22）

D.（-

SymboleB@

，0）∪（22，+

SymboleB@

）

解析通過觀察選項結構可知：A，B中k≠-12，而C，D中是可以取到的，所以先對k=-12進行驗證，再觀察C，D，可對k=1進行驗證.

k=-12時，g（x）=f（x）--12x2-2x恰有4個零點，畫出函數(shù)圖象（如圖2）可知：此時剛好有4個零點，所以排除A，B.

k=1時，g（x）=f（x）-x2-2x恰有4個零點，畫出函數(shù)圖象（如圖3）可知：此時并不滿足題意排除C，選擇D.

評注觀察是尋找解決數(shù)學問題思路的基本方法和策略.在審題的過程中要觀察題目所給條件、代數(shù)式的結構、選項的組成情況，如果能善于觀察并選擇合適方法，將會極大提高解題效率和正確率.本題正是通過觀察選項的組成情況，對參數(shù)進行賦值從而極大地優(yōu)化了解題過程.

6 利用函數(shù)性質

克萊因曾說：“函數(shù)是數(shù)學的靈魂”，函數(shù)是高中學習的重點，高考的熱點.對于函數(shù)性質的考查更是順理成章，高考中常考查的函數(shù)性質包括：函數(shù)的圖象、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性、凹凸性等.

例9（2020年新高考山東卷第8題）若定義在R的奇函數(shù)f（x）在（-

SymboleB@

，0）單調遞減，且f（2）=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（）.

A.[-1，1]∪[3，+

SymboleB@

）

B.[-3，-1]∪[0，1]C.[-1，0]∪[1，+

SymboleB@

）

D.[-1，0]∪[1，3]

解析由奇函數(shù)的性質可知：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同，并且滿足

f（-x）=-f（x）.

根據題意可知f（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調遞增并且f（-2）=0，f（0）=0，畫出示意圖如圖4所示，選擇D.

例10（2020年全國Ⅰ卷理第12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（）.

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

解析根據題意有2a+log2a=22b+log2b.

令f（x）=2x+log2x，

易證f（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調遞增.

則有2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b.

則f（a）<f（2b）.

所以a<2b.故選B.

評注例10作為理科壓軸選擇題，不偏不怪、題干簡練、設問巧妙、解法多樣，是一道好題，熟練掌握函數(shù)的基本性質并且學會選擇與應用非常重要.

7 利用換元

例11（2020年浙江卷第17題）已知平面單位向量e1，e2滿足|2e1-e2|≤2.a=e1+e2，b=3e1+e2，向量a，b的夾角為θ，則cos2θ的最小值是.

解析因為|2e1-e2|≤2，

所以4-4e1·e2+1≤2，e1·e2≥34.

又因為e1·e2≤e1·e2=1

設t=e1·e2∈[34，1]，

所以cos2θ=（a·b）2a2·b2

=（4+4e1·e2）2（2+2e1·e2）（10+6e1·e2）

=4（1+t）5+3t.

將其看成一個新的函數(shù)，令y=4+4t5+3t=43（1-23t+5），易知該函數(shù)在定義域上單調遞增.

所以當t=34時，ymin=2829.

評注換元法是解題中常用的方法，其實質是轉化進行等量代換，使一個復雜、困難的問題變得簡單容易處理.換元的關鍵在于確定替換的部分和引入新參數(shù)的范圍，常見的換元包括：整體換元、局部換元、三角換元、均值換元等.

8 利用補體法

補體或者造形的本質是從宏觀的角度看待和處理立體幾何問題.補體法根據已知條件將一個幾何體補成一個比較熟悉的幾何體（例如：正方體、長方體、椎體、柱體、球體等），使其原來不易發(fā)掘或不易表示的點、線、面之間的關系可以更加直觀地呈現(xiàn).補體這一過程需要充分發(fā)揮考生的空間想象力和創(chuàng)造力，具有創(chuàng)造的成分.

例12（2020年全國Ⅲ卷理第16題）如圖5，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=1，AB=AD=3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.

解析將三棱錐P–ABC的平面展開圖還原為三棱錐P-ABC，然后補成一個斜四棱柱ABOC-DB1O1C1，其中D，E，F(xiàn)，P為同一個點，所以在△DCB中，由余弦定理有

cos∠FCB=CB2+CD2-BD22CB·CD.

又因為∠CAE=30°，AE=AD=3，BF=BD=2AB=6，根據余弦定理，得

CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos30°.

則CD=1.

代入數(shù)據可得cos∠FCB=-14.

9 構造函數(shù)

例13（2020年全國Ⅱ卷文第12題）若2x-2y<3-x-3-y，則（）.

A.ln（y-x+1）>0

B.ln（y-x+1）<0

C.lnx-y>0

D.lnx-y<0

解析由題可得2x-3-x<2y-3-y.

構造函數(shù)令f（t）=2t-（13）t.

易證該函數(shù)在R上為增函數(shù).

所以f（x）<f（y）.

則有x<y.

那么y-x>0，y-x+1>1.

所以ln（y-x+1）>ln1=0，故選A.

評注構造函數(shù)的關鍵是根據題目條件去尋找相同或相似的式子，然后利用函數(shù)的單調性、最值、極值進行解決.

10 利用設而不求

例14（2020年新高考山東卷第13題）斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則AB=.

解析設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可知直線方程為y=3（x-1）.

與拋物線方程聯(lián)立，得3x2-10x+3=0.

則x1+x2=103.

由拋物線定義AB=x1+x2+p=163.

評注本題根據題意設出兩點坐標但是并沒有直接將其計算出來，而是利用根與系數(shù)的關系進行整體代換，避免了大量繁瑣的計算.在解決直線與拋物線相交的弦長問題時，如果該直線過焦點，那么可直接利用弦長公式：AB=x1+x2+p.

11 利用極限

例15（2020年浙江卷第22題（節(jié)選））已知1<a≤2，函數(shù)fx=ex-x-a，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).證明：函數(shù)y=fx在（0，+

SymboleB@

）上有唯一零點.

解析由已知，得f ′（x）=ex-1，故f ′（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調遞增，則f ′（x）>f ′（0）=0.

所以函數(shù)f（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調遞增.

x→+

SymboleB@

時，f（x）→+

SymboleB@

;

x→0+時，f（x）→1-a<0.

所以在（0，+

SymboleB@

）上存在x0使得f（x0）=0.

即f（x）在（0，+

SymboleB@

）上有唯一零點.

評注極限策略是利用極限思想來分析問題和解決問題.利用極限思想是對問題進行極端化，特別是在判斷函數(shù)圖象、證明函數(shù)極值點、判斷函數(shù)零點時可以起到化繁為簡的作用.

12 利用高等數(shù)學工具高等數(shù)學工具是指利用高等數(shù)學中的定理、公式進行解題.常用的高等數(shù)學工具包括：洛必達法則、泰勒展開式、琴生不等式、條件極值、隱函數(shù)偏導數(shù)、拉格朗日乘數(shù)法等.

例16（2020年新高考山東卷第22題（節(jié)選））已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范圍.

解析根據泰勒展開式ex=1+x+x22！+o（x2），

則ex-1=x+（x-1）22！+o（x2），

ln（x+1）=x-x22+o（x2）.

則lnx=x-1-（x-1）22+o（x2）.

所以ex-1≥x，lnx≤x-1.

則f（x）≥1恒成立可以轉化為

（a-1）x+lna≥0恒成立.

所以a-1≥0，lna≥0.解得a≥1.

評注泰勒公式的本質就是利用多項式函數(shù)去逼近一個給定的函數(shù).不等式ex≥x+1，lnx≤x-1是壓軸題中常用的放縮結論，值得重點掌握.

多想少算策略作為基本的高考命題策略，在2020年高考（12套）試卷中得到了充分的體現(xiàn)，其種類遠不止這些，文中案例僅僅想起到拋磚引玉的作用.新時代要求教師應該是教育教學的研究者，對于這些能優(yōu)化解題的策略，讓學生取得數(shù)學思維上的突破，值得深入研究.

參考文獻：

[1]?趙思林，李興貴.多想少算——解高考數(shù)學題的基本策略＼[J＼].中學數(shù)學，2010（23）：1-3+56.

[2] 黃成世，趙思林.多想少算視角下2017年全國卷數(shù)學試題分析＼[J＼].中學數(shù)學，2017（19）：56-58.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2017.

[4] 楊小兵，胡丹.高考“函數(shù)基本性質”專題分析＼[J＼].理科考試研究，2019，26（09）：13-16.

[責任編輯：李璟]