從“兩位數(shù)相乘”回到“乘法的意義”

【摘要】豎式計算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是小學(xué)階段乘法計算教學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生“知算法卻不明算理”則是教師教學(xué)過程中面對的主要困境，引導(dǎo)學(xué)生多次回溯到“乘法的意義”具有一定的必要性和重要性。從課堂評價的角度分析可知，“起點型核心知識”的教學(xué)具有重要價值。教師應(yīng)注意形成重視起點型核心知識的意識，落實“慎重初教”和“多次回歸”的策略。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；起點型核心知識；課堂評價；乘法的意義；兩位數(shù)乘兩位數(shù)

【中圖分類號】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1005-6009（2022）33-0011-04

【作者簡介】趙曉燕，南京師范大學(xué)（南京，210046）教師教育學(xué)院講師，教育學(xué)博士，主要從事課堂評價、數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、教師教育研究。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（DHA200370）階段性研究成果。

蘇教版三下第一單元是“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，該內(nèi)容是學(xué)生繼乘法意義、表內(nèi)乘法、多位數(shù)乘一位數(shù)學(xué)習(xí)后再一次認(rèn)識乘法，也是學(xué)生進(jìn)一步解決任意兩數(shù)相乘問題，通往代數(shù)領(lǐng)域多項式相乘的關(guān)鍵樞紐。在實際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生掌握標(biāo)準(zhǔn)化算法及其算理是主要教學(xué)目標(biāo)之一。教師通常都非常重視學(xué)生對算理的理解，但仍有不少學(xué)生會列豎式計算、能得到正確結(jié)果，卻說不清楚為何這樣做。為了幫助教師從不同角度透視學(xué)生對算理的掌握情況，形成改進(jìn)教學(xué)的建議，筆者曾設(shè)計如下兩道課堂評價題目。

該題根據(jù)教材第5頁例4的進(jìn)位乘法“24×53”改編。請學(xué)生填空，將“24×53”分解為順序不同的“四個乘法算式之和”。第一組四個乘法算式“3×4和3×20和×4和×20”按照“53為第二個乘數(shù)”的豎式計算順序排列；第二組“4×和4×和×3和20×50”是調(diào)換乘數(shù)位置進(jìn)行豎式驗算的順序；第三組“20×50和20×和4×50和×3”則“從左向右”考慮，先算兩個乘數(shù)“十位上的數(shù)”的乘積。在實際教學(xué)中，教師先講解例4，進(jìn)而規(guī)范算法。完成“想想做做”的練習(xí)后，才使用“分解乘法問題”檢測學(xué)生。

從“評”的角度出發(fā)，該題測試時學(xué)生已經(jīng)積累了一定的豎式計算、驗算兩位數(shù)相乘的經(jīng)驗，對“24×53”解決過程的記憶尤為清晰深刻。所以題目明確“無需計算結(jié)果”，進(jìn)而將考察重點聚焦于學(xué)生對這個乘法問題的理解。面對適當(dāng)陌生的測試題，學(xué)生僅靠機械記憶就能正確作答的可能性降低，題目因而更有利于揭示學(xué)生理解層面的信息。此外，測試安排在單元中段，如若學(xué)生對算理的理解存在不足，也便于教師針對性地調(diào)整教學(xué)。

從“學(xué)”的角度出發(fā)，“分解乘法問題”能夠促進(jìn)學(xué)生思考，幫助他們從另一個層面理解并回答“為什么計算‘53×24’能夠驗證‘24×53’？”“為什么兩位數(shù)的乘積可能是四位數(shù)？”“為什么兩位數(shù)‘乘積’的個位數(shù)就等于兩乘數(shù)的個位數(shù)相乘之積的個位數(shù)？”“為什么四個乘法算式可以交換順序”等一系列問題。此外，它還將為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)運算“（a+b）×（c+d）”奠定基礎(chǔ)。

這道題請學(xué)生解決“59×62”這個問題，但明確要求“不能使用豎式計算的方法”。兩個乘數(shù)分別接近整十?dāng)?shù)，為學(xué)生借助較為簡單的兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)“60×62”或“59×60”、聯(lián)系乘法意義靈活計算提供機會。在實際教學(xué)中，該測試題在單元總復(fù)習(xí)階段使用。

從“評”的角度出發(fā)，該題測試時學(xué)生已在較長時間內(nèi)集中練習(xí)豎式計算，多數(shù)學(xué)生能較為熟練地列豎式得結(jié)果。但很可能發(fā)生的情況是，學(xué)生一看到乘法問題就列豎式，下筆前完全不考慮題目的特點以及算法的選擇。事實上，如果學(xué)生在不允許使用豎式計算的情況下束手無策，即使他能熟練無誤地列豎式得結(jié)果，對兩位數(shù)相乘問題及標(biāo)準(zhǔn)化算法的認(rèn)識也不深刻。

從“學(xué)”的角度出發(fā)，在以豎式計算為主的單元“反其道行之”，引導(dǎo)并鼓勵學(xué)生跳出以標(biāo)準(zhǔn)化算法解題的主導(dǎo)思維，將視線重新聚焦于“乘法的意義”。這樣做有助于提醒學(xué)生挖掘運算信息，提高解題的靈活性，同時能促使學(xué)生從更大的范圍回頭審視標(biāo)準(zhǔn)化算法，深刻體會其作為通法通則的普遍意義，以及它將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一系列簡單子問題的核心思想。

來自九所學(xué)校的二十余位教師試用了這些測試題。針對測試題“分解乘法問題”，教師的典型反饋大致可分為三類，舉例如下。

教師A：班上大多數(shù)學(xué)生能夠完成，部分學(xué)生在第三組出錯。這道題實質(zhì)上就是在考察兩位數(shù)相乘的意義，或者說是計算過程中每個步驟的算理。

教師B：對學(xué)生來說，分解“24×53”比計算更難，通過這道題能清楚地看出不同學(xué)生理解上的差異。平時教學(xué)我只引導(dǎo)他們分解為“24×50”“24×3”兩部分的和，學(xué)生沒有見過類似的題目，只有幾個學(xué)生能進(jìn)一步細(xì)化分解。我個人很受啟發(fā)，對學(xué)生來說也很有思考價值。

教師C：這道題沒幾個人做對。題目把“24×53”分解成四道算式，且順序各異。這與我平時教的順序不同，會干擾正常教學(xué)，影響學(xué)生記憶，導(dǎo)致混亂。還涉及四年級才學(xué)的乘法分配律，現(xiàn)在讓學(xué)生回答超范圍了。

針對測試題“不用豎式解決乘法問題”，教師的回答也大致分為三類。

教師D：學(xué)生能夠用乘法的意義（指將“59×62”看作“幾個幾加上或減去幾個幾”）、鋪地錦、分解乘法（指將“59×62”分解為四個乘法算式之和）等方法中的至少一種解題，有些綜合能力強的學(xué)生能給出兩種解法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是開放靈活的，不是給學(xué)生規(guī)定一種方法或一個標(biāo)準(zhǔn)。

教師E：學(xué)生遇到此類問題會習(xí)慣性地列豎式?？吹竭@個題目，學(xué)生根本就不知道從何處下手。個別學(xué)生嘗試將問題分解，還有少部分學(xué)生認(rèn)為不用豎式計算就是要估算。這反映出學(xué)生的思維定勢以及一些錯誤認(rèn)識，需要引導(dǎo)學(xué)生積極思考。

教師F：本單元就是要讓學(xué)生學(xué)會列豎式計算，他們能掌握就很好。不需要用高年級的乘法分配律解題。

針對“分解乘法問題”這道測試題，學(xué)生表現(xiàn)較好的班級（類似教師A的描述）只有少數(shù)幾個。絕大部分班級的學(xué)生在理解題意或分解算式時遇到困難。典型錯誤包括能正確列出豎式完成計算但不會分解，或者分解算式時未能全部體現(xiàn)十位上數(shù)字隱含的位值信息。類似地，當(dāng)學(xué)生“不用豎式解決乘法問題”時，能夠重新回到乘法意義上，或者給出其他“非豎式形態(tài)”解法的學(xué)生并不多。很多學(xué)生更是直接呈現(xiàn)出與豎式計算算理緊密相關(guān)的誤解或迷思。在此情況下，期待學(xué)生能夠自然合理地根據(jù)問題特征選擇算法，就成了更遙遠(yuǎn)的目標(biāo)。除了學(xué)生的測試表現(xiàn)以外，不同教師對上述兩題迥異的態(tài)度也值得關(guān)注。這不僅隱含了教師對乘法運算本質(zhì)的理解，也折射出其教學(xué)理念和教學(xué)過程。例如，乘法交換律和乘法對加法的分配律與乘法運算本質(zhì)上是等價的，它們就是乘法運算的算理，而并不是依附于乘法運算的某種性質(zhì)。相應(yīng)地，運算律的滲透無需也不應(yīng)該等待至四年級再開始。

荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在其《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)》一書中提到，“在很多學(xué)習(xí)過程，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有一種典型現(xiàn)象：那些深刻洞察的原始出處被阻斷，而算法化和自動化的過程更是讓人們難以回到本源……依我看，在算法化和自動化的學(xué)習(xí)過程中，甚至是當(dāng)其成功建立之后，都必須一次又一次地回根溯源?！蹦敲?，就“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)而言，本源在何處？華羅庚曾說過：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅?！蹦敲?，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)“退”到“兩位數(shù)乘一位數(shù)”就“足夠”了嗎？“最原始而不失重要性的地方”又在哪里？事實上，標(biāo)準(zhǔn)化算法及其算理的教學(xué)必須反復(fù)回溯到對運算概念本身的理解。具體地，“兩位數(shù)相乘”的教學(xué)必須多次回歸到乘法計算教學(xué)序列的起點型核心知識——“乘法的意義”。

作為整個知識結(jié)構(gòu)的生長點，起點型核心知識具有獨特的教育教學(xué)價值。重視起點型核心知識的教學(xué)可以具體著眼于兩個方面：一是長程設(shè)計、慎重初教，在首次教學(xué)起點型核心知識時幫助學(xué)生建立起那些能夠不斷遷移到后續(xù)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)模型或思想；二是瞻前顧后、多次回歸，在后續(xù)相關(guān)教學(xué)中不斷回溯本源，幫助學(xué)生深刻理解起點型核心知識，建構(gòu)立足起點的知識體系。以小學(xué)階段正整數(shù)乘法的計算教學(xué)為例，教學(xué)“乘法的初步認(rèn)識”時，應(yīng)盡早且頻繁呈現(xiàn)更能體現(xiàn)乘法本質(zhì)、更易說明乘法運算律的行列模型（甚至是面積模型），還須加強學(xué)生對“幾個幾加（減）幾個幾等于幾個幾”的理解和掌握。在后續(xù)“表內(nèi)乘法”“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生利用持續(xù)演化的行列模型解釋說明，借助自然數(shù)的位值計數(shù)強化學(xué)生對“幾個幾就是幾個幾加（減）幾個幾”的認(rèn)識，多次頻繁地回歸到對“乘法的意義”的理解。

綜上，本文從兩道三年級“兩位數(shù)相乘”的課堂評價題目談起，詳細(xì)介紹其設(shè)計意圖、學(xué)生的測試表現(xiàn)和不同教師對測試題的看法，一方面，為教師檢視學(xué)生對兩位數(shù)相乘算理的理解提供評價工具；另一方面，為教師反思正整數(shù)乘法教學(xué)的長程設(shè)計提供契機；更重要的，是揭示起點型核心知識教育教學(xué)的重要意義，希望有更多教師重視“起點”、回到“起點”。

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