假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和有關(guān)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

魏滿滿 李石虎 周勤

【摘要】本文主要探究了假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和有關(guān)概念的教學(xué)設(shè)計(jì).首先，通過“女士品茶”的故事引入，提煉出假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想;其次，通過分析項(xiàng)鏈含金量這一實(shí)際案例總結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，并介紹了假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤和p值的概念;最后，融入思政的元素，豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】假設(shè)檢驗(yàn);教學(xué)設(shè)計(jì)

【基金項(xiàng)目】 江蘇師范大學(xué)課程思政專項(xiàng)研究（KCSZY17）;江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院思政示范課程（XYKCSZ01）

一、引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是各個(gè)高校理工科的基礎(chǔ)必修課，它在理工科及經(jīng)管類各專業(yè)被廣泛應(yīng)用.假設(shè)檢驗(yàn)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要知識(shí)點(diǎn)，是統(tǒng)計(jì)推斷的主要方法之一，在概率統(tǒng)計(jì)的理論研究與實(shí)際應(yīng)用中都占有極其重要的地位.2019年3月18日，在學(xué)校思想政治理論課教師座談會(huì)上，習(xí)近平總書記明確提出[1]：要堅(jiān)持灌輸性和啟發(fā)性相統(tǒng)一，注重啟發(fā)性教育，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、思考問題，在不斷啟發(fā)中讓學(xué)生水到渠成得出結(jié)論.近年來，各大高校都十分重視思政建設(shè)，通過教師培訓(xùn)、專家講座、示范課程等多種方式來加深教師對(duì)課程思政的理解.教師是高校的“第一主角”，作為專業(yè)課教師，也有責(zé)任和義務(wù)認(rèn)真挖掘所授課程的“思政元素”.例如，2021年，李晨和陳麗萍[2]在研究概率統(tǒng)計(jì)的思政元素時(shí)，以概率學(xué)者的文化素養(yǎng)和科學(xué)治學(xué)精神為切入點(diǎn)，通過多個(gè)實(shí)際案例剖析全概率公式的應(yīng)用，潛移默化地引入諸多思政元素來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.受此啟發(fā)，本文著重從概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中 “假設(shè)檢驗(yàn)”這一角度思考，通過教學(xué)設(shè)計(jì)來探索課程思政理念進(jìn)概率統(tǒng)計(jì)課堂的實(shí)踐方法，目的就是同大家交流如何上好“假設(shè)檢驗(yàn)”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)課.

首先，我們通過“女士品茶”這一廣為流傳且富有趣味性的故事引入，啟發(fā)學(xué)生思考，從中提煉出假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.其次，我們通過分析項(xiàng)鏈含金量這一實(shí)際案例總結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟.接著，我們介紹假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤和p值的概念，并介紹假設(shè)檢驗(yàn)的一些應(yīng)用.最后，我們?nèi)谌胨颊脑?，以我?guó)著名數(shù)學(xué)家嚴(yán)加安院士的《悟道詩》為結(jié)尾，闡述了概率統(tǒng)計(jì)的基本思想，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生向老一輩科學(xué)家學(xué)習(xí)，樹立正確的價(jià)值觀，從而豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容.

二、教學(xué)過程

（一）問題引入

首先，我們從一個(gè)經(jīng)典故事出發(fā)，來體會(huì)假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.

例1[3] ?（女士品茶試驗(yàn)）故事發(fā)生在英國(guó)劍橋大學(xué)，那是20世紀(jì)20年代，一群大學(xué)精英們正在品茶.該茶是由牛奶和茶水混合而成的.在品茶過程中，一位女士宣稱：先加入牛奶還是先加入茶，不同的順序會(huì)使茶的口感不同.周圍人都認(rèn)為這位女士簡(jiǎn)直是在胡言亂語，這是不可能的?。∪欢趫?chǎng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher卻對(duì)這個(gè)話題很感興趣，他請(qǐng)人端來10杯調(diào)制好的茶讓該女士品嘗，其中有的是先加的牛奶，有的是先加的茶.結(jié)果，這位女士正確地鑒別出每一杯茶的制作順序.該如何判斷該女士是否有鑒別能力呢？

Fisher的想法：假設(shè)該女士沒有鑒別能力，這個(gè)時(shí)候她只能靠猜，從而她猜對(duì)的概率為1[]2.因此，她能同時(shí)判斷出10杯茶的概率為2-10<0.001，這個(gè)概率非常非常小，僅僅做一次試驗(yàn)是幾乎不會(huì)發(fā)生的，可是，它卻發(fā)生了！這表明原假設(shè)不恰當(dāng)，應(yīng)予以拒絕，認(rèn)為該女士有鑒別能力！

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：小概率反證法思想.先提出假設(shè)，然后設(shè)計(jì)試驗(yàn)，在原假設(shè)成立的條件下計(jì)算概率，依據(jù)小概率原理來判斷是否拒絕原假設(shè).那么多大的概率屬于小概率呢？對(duì)于不同的問題，會(huì)有不同的標(biāo)準(zhǔn)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這個(gè)小概率稱為顯著性水平，常取0.05或0.01.

接下來，我們就通過生活中的一個(gè)實(shí)際案例來探索一下假設(shè)檢驗(yàn)的奧秘.

（二）實(shí)例分析

在生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一組數(shù)據(jù)，我們來看下面的例子.

例2[4] 質(zhì)檢部門接到投訴后，對(duì)某金店進(jìn)行調(diào)查，從標(biāo)有18K的一批項(xiàng)鏈中抽取20條，測(cè)得其含金量如下：

問：如何判斷這批項(xiàng)鏈有沒有達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)呢？（顯著性水平α=0.05）

分析：觀察表1中的數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)：有的含金量大于18K，有的含金量小于18K，還有的恰好等于18K.那么我們能否直接說和標(biāo)準(zhǔn)值18K有顯著差別呢？根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)思想方法，我們已經(jīng)了解到答案是否定的，因?yàn)檫@里看到的只是樣本數(shù)據(jù)，我們無法直接做出判斷.那么應(yīng)該如何判斷呢？

我們的思路如下：

首先，計(jì)算出這20條項(xiàng)鏈含金量的平均值為17.8，它與標(biāo)準(zhǔn)值18存在0.2的差值.這0.2的差值是由抽樣引起的誤差，還是有本質(zhì)的差別？我們利用上述思想來檢驗(yàn)一下.

令ξ表示這批項(xiàng)鏈的含金量，由中心極限定理可知ξ～·N（μ，σ2），我們要檢驗(yàn)均值是否為μ=18，具體步驟如下：

1.建立假設(shè).原假設(shè)H0：μ=18，表示這批項(xiàng)鏈符合標(biāo)準(zhǔn);與之對(duì)立的備擇假設(shè)H1：μ≠18，表示這批項(xiàng)鏈不符合標(biāo)準(zhǔn).

2.在H0成立時(shí)，由Fisher定理可知統(tǒng)計(jì)量

T=-μSn[]n～t（n-1）=t（19）.

3.由T分布圖像（如圖1）可以看出：T的取值集中在零點(diǎn)附近.這表明：|T|越大，對(duì)應(yīng)的概率就越小.從而存在臨界值C，使得|T|大于或等于C是一個(gè)小概率事件，則C要滿足

P（|T|≥C|H0成立）=α，

再由T分布圖像的對(duì)稱性可知

C=t0.975（19）≈2.093.

從而，當(dāng)|T|≥2.093時(shí)，非常小的概率事件在此就發(fā)生了，只能拒絕原假設(shè)H0.

我們將W={（ξ1，ξ2，…，ξn）||T|≥2.093}這一集合稱為拒絕域，如果樣本的觀測(cè)值落到W中，則原假設(shè)應(yīng)被拒絕.

4.代入樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算，得到所觀測(cè)的樣本統(tǒng)計(jì)量t的值：

|t|=|17.8-18|0.40393[]20≈2.214>2.093，

其落到拒絕域W中，因此原假設(shè)被拒絕，故這批項(xiàng)鏈沒有達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).

為了更直觀地理解拒絕域的含義，同學(xué)們可以參考T分布圖像.

小結(jié) 本案例利用假設(shè)檢驗(yàn)思想得出了該金店項(xiàng)鏈的含金量不符合標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，啟發(fā)我們對(duì)待任何事情都不要抱有僥幸心理，不要弄虛作假，要誠(chéng)信做人做事，方能贏得大家的信任.項(xiàng)鏈含金量不達(dá)標(biāo)可能只是使消費(fèi)者金錢方面的利益受損.試想一下：如果是某大型嬰兒奶粉企業(yè)檢測(cè)出質(zhì)量不達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品呢？再或者是嬰兒霜經(jīng)檢測(cè)含有毒物質(zhì)呢？抑或是我們服用的某種藥物檢測(cè)出有危害健康的成分呢？這些案例都不是捕風(fēng)捉影，均上過各大網(wǎng)站熱搜，引起了消費(fèi)者的恐慌.利用假設(shè)檢驗(yàn)這個(gè)工具，有助于我們?nèi)娴卣J(rèn)識(shí)這類事件，既可以讓我們避免無謂的損失，又可以幫助我們找到有利的取舍依據(jù).

（三）假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟

通過對(duì)上述案例的分析，我們可以歸納出求解假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：

第一步：從要研究的實(shí)際問題引入，先提出一個(gè)假設(shè)，一般稱之為原假設(shè)，記為H0，與其對(duì)立的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，記為H1.例如，在上述案例中，原假設(shè)為“這批項(xiàng)鏈符合標(biāo)準(zhǔn)”，備擇假設(shè)為“這批項(xiàng)鏈不符合標(biāo)準(zhǔn)”.

第二步：依據(jù)所研究總體服從的分布，我們來構(gòu)造合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并通過所學(xué)知識(shí)來確定統(tǒng)計(jì)量服從的分布.

第三步：接下來，我們需要確定檢驗(yàn)的拒絕域W使得

P（（ξ1，ξ2，…，ξn）∈W|H0成立）≤α.

第四步：根據(jù)樣本數(shù)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值.如果計(jì)算所得觀測(cè)值落進(jìn)了W中，則說明原假設(shè)不當(dāng)，應(yīng)予以拒絕，否則原假設(shè)不可以被拒絕.

（四）假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤

在“女士品茶”的例子中，如果該女士本來就沒有鑒別能力，但是她運(yùn)氣好，每次都猜對(duì)了，這時(shí)候我們的推斷就出錯(cuò)了.事實(shí)上，在假設(shè)檢驗(yàn)問題中，我們由樣本提供的信息來推斷總體信息，由于樣本只包含總體的一部分信息，這就不可能保證從來不會(huì)犯錯(cuò)誤.假設(shè)檢驗(yàn)可能犯的錯(cuò)誤有如下兩類：

（Ⅰ）是否在 “拒絕假設(shè)H0” 時(shí)用了“小概率原理”.注意小概率事件并非不可能事件，如果原假設(shè)本為真，但由于樣本值落進(jìn)了拒絕區(qū)域內(nèi)而得出“拒絕”的結(jié)論，這里犯的錯(cuò)誤為棄真錯(cuò)誤，通常稱為第一類錯(cuò)誤，記為α，即

P（拒絕H0|H0為真）=α.

（Ⅱ）反之，如果原假設(shè)H0本來是不成立的，卻由于樣本值未落進(jìn)拒絕區(qū)域而得出“不能拒絕”的結(jié)論.這里的錯(cuò)誤是納偽錯(cuò)誤，一般稱為第二類錯(cuò)誤，記作β，即

P（接受H0|H0不真）=β.

根據(jù)檢驗(yàn)法則知：當(dāng)H0成立時(shí)，拒絕H0的概率小于或等于顯著性水平α，但是顯著性水平α取得越小越好，因?yàn)榇藭r(shí)拒絕域也會(huì)相應(yīng)地減小，從而導(dǎo)致犯第二類錯(cuò)誤的概率增大.這是一個(gè)矛盾的雙方，類似于區(qū)間估計(jì)時(shí)的做法，我們需要先固定顯著性水平α，再選擇合理的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來適當(dāng)?shù)販p小β的值.

下面我們?cè)俳Y(jié)合一個(gè)實(shí)際例子來理解兩類錯(cuò)誤：在新冠肺炎疫情發(fā)生初期，新聞報(bào)道中時(shí)常會(huì)出現(xiàn)“假陽”的檢測(cè)結(jié)果.我們可以從假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤的角度來理解：事實(shí)上，任何檢驗(yàn)方法都會(huì)存在犯錯(cuò)誤的可能性，理想的試劑應(yīng)是“假陰”和“假陽”出現(xiàn)的概率都越小越好，但當(dāng)樣本量有限、檢測(cè)技術(shù)沒有明顯優(yōu)化提升時(shí)，一類錯(cuò)誤概率的減少必會(huì)導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤概率的增加，因此處理原則是：人為限定犯第一類錯(cuò)誤的概率α，為降低犯第二類錯(cuò)誤的概率，我們可以增大樣本容量.所以，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，新聞報(bào)道中的“假陰”“假陽”患者出現(xiàn)并不奇怪.

啟發(fā)：小概率事件雖然在一次試驗(yàn)中不易發(fā)生，但絕非不可能事件，重復(fù)次數(shù)多了，發(fā)生的可能性也就增大了.這說明做任何事情都不要存在投機(jī)取巧的心理，俗話說“常在河邊走，哪有不濕鞋”“勿以惡小而為之，勿以善小而不為”.反之，再困難的事情，只要我們持之以恒，總是可以成功的，正所謂“鍥而不舍，金石為開”！

（五）假設(shè)檢驗(yàn)的p值

可以看出，顯著性水平α變小，對(duì)應(yīng)的拒絕域也會(huì)變小;當(dāng)顯著性水平α取得足夠小時(shí)，使得樣本值不落在相應(yīng)的拒絕域中，從而在此顯著性水平α下不能拒絕假設(shè)H0.當(dāng)顯著性水平α由上述足夠小的值不斷增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的拒絕域也會(huì)變大，當(dāng)顯著性水平α大到一定程度時(shí)，便可以使樣本值落入相應(yīng)的拒絕域中，從而在此顯著性水平α下可以拒絕假設(shè)H0.

對(duì)于一個(gè)確定的樣本值，存在一個(gè)實(shí)數(shù)p（0<p<1），當(dāng)顯著性水平α=p時(shí)可以拒絕H0，而當(dāng)α<p時(shí)原假設(shè)H0不可以被拒絕.可見，p是使依據(jù)給定樣本數(shù)值做出“拒絕H0”的最小的那個(gè)顯著性水平，我們稱之為檢驗(yàn)的p值.

在例2中，我們也可以通過統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值和p值：

給定顯著性水平α為0.05，由表2可知p值0.039<0.05，原假設(shè)應(yīng)被拒絕，認(rèn)為項(xiàng)鏈含金量與18K之間有顯著的統(tǒng)計(jì)差異，從而得出“項(xiàng)鏈不符合標(biāo)準(zhǔn)”的結(jié)論.

（六）課堂小結(jié)與思政

本節(jié)課我們主要通過“女士品茶”的案例引入假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，通過分析項(xiàng)鏈含金量這一實(shí)際案例總結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，也給出了假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤和p值的含義，這為接下來進(jìn)一步學(xué)習(xí)不同類型的、具體的假設(shè)檢驗(yàn)打下了必要的基礎(chǔ).

假設(shè)檢驗(yàn)不僅是一種重要的統(tǒng)計(jì)方法，更是一種思維方式，告訴我們用數(shù)據(jù)來說話，理性地看待問題.正因?yàn)槿绱?，假設(shè)檢驗(yàn)在我們的現(xiàn)實(shí)生活中有著十分重要的應(yīng)用.比如，專家利用假設(shè)檢驗(yàn)，結(jié)合臨床數(shù)據(jù)分析不同采樣點(diǎn)、人群、年齡的新冠病毒核酸檢測(cè)的結(jié)果，給有關(guān)部門的決策提供參考.假設(shè)檢驗(yàn)的理論方法不僅被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)、生物制藥等諸多領(lǐng)域，在我們的生產(chǎn)生活，特別是工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量判斷中也有著十分廣泛的應(yīng)用[5]，因?yàn)樵诠S的實(shí)際生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品的尺寸總是左右浮動(dòng)的，存在一定的誤差，那么如何判斷這些誤差是否在允許的范圍內(nèi)？這就要用到假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法.不僅如此，假設(shè)檢驗(yàn)的理論還可應(yīng)用于文學(xué)研究.例如，東南大學(xué)韋博成教授在2009年[6]利用假設(shè)檢驗(yàn)的理論方法分析了《紅樓夢(mèng)》前80回與后40回的某些文風(fēng)差異，得到的結(jié)論是“這兩部分內(nèi)容在寫作風(fēng)格方面存在明顯的差異”，給關(guān)于《紅樓夢(mèng)》作者的論斷提供了一個(gè)強(qiáng)有力的證據(jù).在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)據(jù)是無處不在的，學(xué)習(xí)假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法有助于我們正確地挖掘數(shù)據(jù)背后的規(guī)律，做出更客觀的判斷.

如今，我們身處一個(gè)大數(shù)據(jù)時(shí)代，通過學(xué)習(xí)假設(shè)檢驗(yàn)，更重要的是培養(yǎng)透過現(xiàn)象看本質(zhì)這一統(tǒng)計(jì)思維.這里，調(diào)查得來的數(shù)據(jù)是現(xiàn)象，規(guī)律是從數(shù)據(jù)中探索出來的本質(zhì)屬性.我們需要借助數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)方法來尋找這其中的規(guī)律和隨機(jī)性，在潛移默化中培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)思維.正如我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家嚴(yán)加安院士在《悟道詩》中所題：隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī);無序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離.

注：課后同學(xué)們?nèi)粝脒M(jìn)一步了解統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展歷程，可以讀一讀《20世紀(jì)統(tǒng)計(jì)怎樣變革了科學(xué)：女士品茶》[7] 這一科普著作.

【參考文獻(xiàn)】

[1]習(xí)近平主持召開學(xué)校思想政治理論課教師座談會(huì)[N].新華社，2019-03-18，20：57.

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[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程：第3版[M].北京：高等教育出版社，2019.

[4] 朱元澤，李賢彬.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海： 上海交通大學(xué)出版社，2015.

[5] 喬靜.假設(shè)檢驗(yàn)在工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量判斷中的應(yīng)用[J].機(jī)電信息，2020（27）：142-143.

[6] 韋博成.《紅樓夢(mèng)》前80回與后40回某些文風(fēng)差異的統(tǒng)計(jì)分析（兩個(gè)獨(dú)立二項(xiàng)總體等價(jià)性檢驗(yàn)的一個(gè)應(yīng)用）[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009（4）：441-448.

[7] 薩爾斯伯格.20世紀(jì)統(tǒng)計(jì)怎樣變革了科學(xué)：女士品茶[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2004.