微探究 微創(chuàng)新 彰素養(yǎng) 促教改

鄭麗生

《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見(jiàn)（2019年版）》[1]提出，試題命制一是要考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)以及基本技能的掌握情況，二是要檢驗(yàn)學(xué)生是否具備良好的思維過(guò)程、是否擁有創(chuàng)新的意識(shí)，以及學(xué)生是否掌握了分析和解決問(wèn)題的能力.2020年福建省中考數(shù)學(xué)試卷考慮到今年突發(fā)疫情對(duì)教育方方面面都產(chǎn)生了影響，因此試題素材的選擇和試卷難度進(jìn)行合理選擇和科學(xué)控制;同時(shí)，試卷命制既需要兼具基礎(chǔ)性和合格性，又注重創(chuàng)新性、綜合性以及應(yīng)用性.2020年中考第16題主要特點(diǎn)：微探究，微創(chuàng)新，彰素養(yǎng)，促教改.

1試題特點(diǎn)分析

1.1原題呈現(xiàn)

（2020年中考福建卷.16）設(shè)A，B，C，D是反比例函數(shù)y=k/x圖象上的任意四點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：①四邊形ABCD可以是平行四邊形;②四邊形ABCD可以是菱形;③四邊形ABCD不可能是矩形;④四邊形ABCD不可能是正方形.其中正確的是____.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

1.2 試題取材和立意

試題源于福建中考統(tǒng)一命題的前三年第16題的反比例函數(shù)和平行四邊形的綜合問(wèn)題.2020年的試題核心點(diǎn)和方法相對(duì)穩(wěn)定，試題進(jìn)行微探究，首次出現(xiàn)不定項(xiàng)選擇，體現(xiàn)了創(chuàng)新性、發(fā)展性、導(dǎo)向性，促進(jìn)教學(xué)改革.

1.3 試題分析

本題是典型的反比例函數(shù)與特殊四邊形綜合問(wèn)題填空壓軸題，以函數(shù)為情境幾何存在性探究拓展題.題目給出反比例函數(shù)圖象上的任意四點(diǎn)A，B，C，D，要求探究四邊形ABCD可以是哪些特殊四邊形;四個(gè)選項(xiàng)層層遞進(jìn)，又有一定的聯(lián)系.

從知識(shí)層面來(lái)看，本題核心知識(shí)主要有兩塊：反比例函數(shù)和平行四邊形，為幾何圖形疊加反比例.考查了以下幾個(gè)點(diǎn)：（I）反比例函數(shù)性質(zhì)、圖象的認(rèn)識(shí).（Ⅱ）特殊平行四邊形判定、對(duì)稱性的掌握，對(duì)特殊四邊形包含關(guān)系（如圖1）的理解.（Ⅲ）命題與否命題的理解.（Ⅳ）直線和反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)應(yīng)用.（V）初、高中的數(shù)學(xué)知識(shí)及思維的銜接.

從試題結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)上看，本題共有四問(wèn)，四問(wèn)之間有一定的邏輯關(guān)系（如圖2），演繹歸納，注重螺旋式上升.第①問(wèn)判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形，難度小，入口寬，通過(guò)學(xué)生最熟悉的基本試題圖形，應(yīng)用反比例函數(shù)圖象與平行四邊形的中心對(duì)稱性，當(dāng)對(duì)稱中心重合時(shí)，可得結(jié)論成立.目的在于檢測(cè)學(xué)生是否很好掌握了平行四邊形判定.第①問(wèn)在于啟發(fā)，其定位是通過(guò)應(yīng)用四邊形對(duì)角線關(guān)系引導(dǎo)考生進(jìn)行判斷，挖掘其蘊(yùn)含的基本結(jié)論尋找解題思路.反思2017年第16題，本題的第③問(wèn)是2017年福建中考第16題的一個(gè)發(fā)展，解題的突破口也是對(duì)稱性.第①和③問(wèn)著眼基礎(chǔ)圖形，關(guān)注通性通法，給了學(xué)生親切感，增強(qiáng)了解題信心.第②和④問(wèn)可作圖直觀判斷或者反例法.

從數(shù)學(xué)思想能力上看，本題的呈現(xiàn)形式從一般到特殊的變化過(guò)程，發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)與平行四邊形之間的特殊關(guān)系，提出問(wèn)題.整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了歸納、理解、應(yīng)用、拓展的探究型學(xué)習(xí)過(guò)程.試題著眼學(xué)生的演繹推理、合情推理、類比歸納推理能力，關(guān)注化歸、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、集合思想，關(guān)注動(dòng)手能力.除此之外，要求學(xué)生具備應(yīng)用和創(chuàng)新的意識(shí)，

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上看，本題旨在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的視角思考教材的延伸問(wèn)題，關(guān)注對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力評(píng)價(jià).試題設(shè)置學(xué)生已有的知識(shí)情境，指引考生在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出未知的性質(zhì)，接著引導(dǎo)探究特殊四邊形存在性的過(guò)程，從多個(gè)角度理解反比例函數(shù)性質(zhì)，并用數(shù)學(xué)思維來(lái)分析和解決問(wèn)題，這體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、論證素養(yǎng)的考查.這題優(yōu)秀之處在于：以學(xué)生未來(lái)成長(zhǎng)為立足點(diǎn);關(guān)心數(shù)學(xué)的本質(zhì);考查學(xué)生自身數(shù)學(xué)的學(xué)科核心素養(yǎng)的高低;解決試題需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 解題分析

從代數(shù)方向進(jìn)行解法分析：解決反比例函數(shù)問(wèn)題主要關(guān)注[2]：（I）k的幾何意義.（Ⅱ）軸對(duì)稱性（兩條對(duì)稱軸），中心對(duì)稱（原點(diǎn)是對(duì)稱中心）.（Ⅲ）與一次函數(shù)相關(guān)聯(lián)（解方程組、韋達(dá)定理、根的判別式）.應(yīng)用代數(shù)法，借助建立坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題中需要判斷的線段長(zhǎng)度，計(jì)算角度，通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算來(lái)解決.

（4）因?yàn)樗倪呅蜛BCD不可能為菱形，所以第④問(wèn)四邊形ABCD不可能是正方形正確的.

從幾何方向進(jìn)行解法分析：在應(yīng)用幾何法時(shí)多方面思考，不同角度出發(fā)作出輔助線幫助解題.根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理的一個(gè)共同要素對(duì)角線，利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性，畫(huà)好圖形，結(jié)合反例法.反比例函數(shù)的對(duì)稱性知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

由圖6可知本題考查反比例函數(shù)的對(duì)稱性，要構(gòu)成平行四邊形一定要對(duì)角線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以平行四邊形是有可能的，矩形只要在平行四邊形的基礎(chǔ)上加上對(duì)角線相等即可.如圖7，以O(shè)為圓心畫(huà)一個(gè)圓，使圓與反比例函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn).但菱形和正方形的構(gòu)成還需要對(duì)角線互相垂直.所以由圖4可知，要四個(gè)點(diǎn)都在反比例上，對(duì)角線垂直的情況下，一條對(duì)角線在一、三象限的話，另一條對(duì)角線在二、四象限，如圖8，所以菱形和正方形都不可能存在.

3試題拓展延伸

（1）可以把己知改為“純幾何”條件進(jìn)行探究.將己知條件反比例函數(shù)y=k/x圖象改為在矩形四條邊，已知M，N，P，（分別是任意矩形ABCD四條邊上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），探究的四個(gè)結(jié)論不變，那么第①②③結(jié)論通過(guò)作圖直觀操作得到結(jié)論（如圖9-11），第④結(jié)論用反證法可得結(jié)論.

（2）改變己知條件，同時(shí)四個(gè)結(jié)論可以更深入一步.將己知條件反比例函數(shù)y=k/x圖象上改為在矩形四條邊上，探究結(jié)論特殊平行四邊形存在性個(gè)數(shù)問(wèn)題.解題思路類似.

（3）可以把已知條件反比例函數(shù)背景進(jìn)一步的拓展探究，把己知條件反比例函數(shù)拓展為同一條拋物線或者同一個(gè)圓，結(jié)論特殊平行四邊形存在性變?yōu)橹苯翘菪未嬖谛?直角梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一條拋物線上、一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上.通過(guò)作圖操作（如圖12，13）觀察與函數(shù)圖象的另外兩個(gè)交點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.直角梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.應(yīng)用反證法，根據(jù)圓周角定理（如圖14）得四邊形ABCD是矩形.

（4）由幾何存在性增加平移條件轉(zhuǎn)為代數(shù)求解算證探究.例如，已知雙曲線y=k/x（k>0）與其中對(duì)稱軸（直線y=x）直線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第三象限如圖15），將雙曲線在第一象限的一支沿射線BA的方向平移，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A;將雙曲線在第三象限的一支沿射線AB的方向平移，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，平移后的兩條曲線相交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的長(zhǎng).應(yīng)用對(duì)稱性，探究多種解法.

4 基于核心素養(yǎng)考查，反思教學(xué)改革

2020年的這道題是基于“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的微探究試題.近幾年備受重視，考出了學(xué)的水平，也考出了教的質(zhì)量.這類試題考查學(xué)生對(duì)題目的理解、思考解題的能力以及將思路歸納總結(jié)為結(jié)論的表達(dá)能力，最顯著特征為創(chuàng)新性，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最有價(jià)值的體現(xiàn).基于試題發(fā)展趨勢(shì)，再結(jié)合學(xué)生這題出錯(cuò)的原因，反思我們的教學(xué)，是不是過(guò)多地關(guān)注刷題的數(shù)量、題型、模式，而不是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的剖析與運(yùn)用缺乏對(duì)一類問(wèn)題在思維、方法、思想上的歸納、總結(jié)、抽象、概括，“讀思達(dá)”教學(xué)法真正以“核心素養(yǎng)為導(dǎo)向”，將注意力放在學(xué)習(xí)的過(guò)程和關(guān)鍵環(huán)節(jié)上.在教學(xué)實(shí)踐中嘗試開(kāi)展課題型微探究活動(dòng)，指引學(xué)生實(shí)現(xiàn)建構(gòu)化、合作化和體驗(yàn)化的學(xué)習(xí).運(yùn)用有結(jié)構(gòu)和邏輯的課題型微探究幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成良好的思維方式和探究問(wèn)題的能力，與此同時(shí)助力學(xué)生建立系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，使得學(xué)生能夠擁有更加成熟的理性思維.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部教育部，教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見(jiàn)（教基[2019] 15號(hào)）[EB/OL].（2019-11-22）.http：∥www.moe.gov.CI“

[2]反比例函數(shù)k的幾何意義專項(xiàng)練J題[EB/OL].（2019-9-2）.https：//wenku.baidu.com/view/7bfa07f9d5bb fdOa795673 72 .html