凸顯內(nèi)核 豐盈思想
——《打電話》教學(xué)例談

文|夏向陽(yáng) 張磊銘

一、教材分析

人教版五年級(jí)下冊(cè)《打電話》屬于綜合與實(shí)踐內(nèi)容，設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力?；诖耍菊n時(shí)的教學(xué)目標(biāo)定位：

1.創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的“打電話”生活情境，指導(dǎo)學(xué)生用畫圖、列表格等方式，找到“打電話”的最優(yōu)方案，經(jīng)歷有目的、有設(shè)計(jì)、有步驟、有合作的實(shí)踐活動(dòng)。

2.進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，經(jīng)歷針對(duì)具體問題提出設(shè)計(jì)思路、制定簡(jiǎn)單方案解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

3.用畫圖、列表格等方式發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、推理、優(yōu)化、模型等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力。

二、教學(xué)過程

1.閱讀理解，自主解決。

師：同學(xué)們，四年級(jí)上冊(cè)我們學(xué)過了烙餅問題，知道了如何合理安排時(shí)間，今天我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)合理安排時(shí)間的問題——打電話。

師：一個(gè)合唱隊(duì)共有7人，暑假期間有一個(gè)緊急演出，老師需要盡快通知到每一位隊(duì)員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請(qǐng)幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的合理方案。

師：同學(xué)們，從題目中你獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：老師需要通知7人，每分鐘通知1人。

生2：需要盡快通知到每一位隊(duì)員。

師：通知的人數(shù)是7人，通知的用時(shí)是每分鐘1人，通知的要求是盡快。

師：請(qǐng)你根據(jù)題目的要求，設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案。請(qǐng)同學(xué)們把方案記錄在《學(xué)習(xí)單》上，比一比誰(shuí)設(shè)計(jì)得更合理。

2.展示評(píng)價(jià)，探究規(guī)律。

（1）交流方案，對(duì)比優(yōu)化。

師：請(qǐng)同學(xué)們一起來看這位同學(xué)的設(shè)計(jì)方案。

生1：

師：這位同學(xué)用了7分鐘的時(shí)間。第1分鐘通知第1人，第2分鐘通知第2人，這樣依次通知，我們就給它取個(gè)名字叫逐個(gè)通知，也就是一個(gè)個(gè)通知，一共花了7分鐘時(shí)間。對(duì)他的這種設(shè)計(jì)方案，同學(xué)們有想法嗎？

生2：我覺得上面這種方法太慢，我是這樣設(shè)計(jì)的。

先花3分鐘打給組員①、組員②、組員③，打給組員②的時(shí)候組員①可以打給組員④。

師：這樣設(shè)計(jì)的方案需要幾分鐘？

生2：4分鐘。

師：這位同學(xué)的方法是分成了3個(gè)小組進(jìn)行通知，那么我們就稱為分組通知。需要的時(shí)間是4分鐘。

師：接下來請(qǐng)同學(xué)們比較一下這兩種方法，想一想為什么分組通知比逐個(gè)通知花的時(shí)間更少？

生3：先通知的組員可以通知?jiǎng)e的組員，比老師一個(gè)一個(gè)通知組員要快。

生4：我覺得逐個(gè)通知就只有老師一個(gè)人在打電話，但分組通知是很多人在打電話。

師：說得真好。逐個(gè)通知只有老師一個(gè)人通知，而分組通知的時(shí)候有多人同時(shí)在打電話。

師：下面這位同學(xué)只用了3分鐘，我們一起來討論一下這位同學(xué)的設(shè)計(jì)方案。

請(qǐng)這位同學(xué)結(jié)合自己設(shè)計(jì)的方案向同學(xué)們作一下介紹。

生5：老師先打給同學(xué)①花費(fèi)一分鐘，第2分鐘的時(shí)候同學(xué)①打給第2個(gè)同學(xué)，同時(shí)老師打給第3個(gè)同學(xué)，第3分鐘的時(shí)候接到通知的同學(xué)和老師又可以打給4個(gè)同學(xué)。

師：這位同學(xué)的方法你們看懂了嗎？我們一起再來回顧一下（略）。

師：有沒有比3分鐘更少的方案？

生：沒有。

師：為什么？

生：每一個(gè)人都在打電話，沒有人出現(xiàn)空余。

（2）厘清思路，感受優(yōu)化。

師：這位同學(xué)不僅畫了圖，而且還在線上注明了時(shí)間，讓我們一看就很清楚。下面老師要提高難度了，請(qǐng)同學(xué)們不畫圖，在頭腦中想一想，第4分鐘可以通知到幾個(gè)學(xué)生？

生：我覺得可以通知8個(gè)人。

師：大家都同意這位同學(xué)的想法嗎？接下去我們借助圖示一起來驗(yàn)證一下。

師：上圖顯示的和同學(xué)們所說的8人是完全一致的。同學(xué)們，像這位同學(xué)通知的方法我們也取個(gè)名字，叫做最優(yōu)化通知，時(shí)間只要3分鐘。那么請(qǐng)同學(xué)們想想看為什么最優(yōu)化通知只要3分鐘，比分組通知4分鐘還少了1分鐘，這又是什么道理呢？

生：因?yàn)榉纸M通知只是3個(gè)人在同時(shí)打，出現(xiàn)了有空余的人不在同時(shí)打電話，而最優(yōu)化通知是所有已經(jīng)知道的人都在打電話，沒有空余。

師：說得真好。最優(yōu)化通知正如這位同學(xué)所說的，知道的每個(gè)人都在打電話，這樣設(shè)計(jì)的方案時(shí)間就會(huì)少。

（3）歸納推理，建立模型。

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師：誰(shuí)來回答一下你覺得第5分鐘新收到通知的學(xué)生人數(shù)有幾人？

生1：我覺得是12人。

生2：我覺得是16人。

師：她覺得是12人，你覺得是16人。下面我們來進(jìn)行一下表決，同意12人的請(qǐng)舉手，同意16人的請(qǐng)舉手。

師：看來同學(xué)們都同意16人。那誰(shuí)來說說看這16人是怎樣得到的？你能不能把其中的道理和同學(xué)們說一說。

生：人數(shù)一直都是在2倍2倍地增加。

師：你能不能說得更加清楚一些？

生：第1次新通知到的人數(shù)是1人，第2次新通知到的人數(shù)是2人，第3次新通知到的人數(shù)是4人，第4次新通知到的人數(shù)是8人。

師：所以第5次你覺得是幾人？

生：16人。

師：想法和這位同學(xué)一樣的請(qǐng)舉手。老師有一個(gè)問題，收到通知的學(xué)生總?cè)藬?shù)第4分鐘是15人？為什么第5分鐘新收到通知的學(xué)生人數(shù)是16人？這又是什么道理？

生：因?yàn)槔蠋熞部梢酝ㄖ?人。

師：第6分鐘誰(shuí)來說一說，收到通知的學(xué)生總?cè)藬?shù)是幾人？

生：我覺得是63人。

師：第7分鐘新收到通知的學(xué)生人數(shù)是多少？

（4）探索規(guī)律，深化突破。

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師：看了這個(gè)表格之后，剛才同學(xué)們說的新收到通知的人數(shù)呈2倍的倍數(shù)關(guān)系遞增外，你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：總?cè)藬?shù)是乘2加1。

師：請(qǐng)你結(jié)合表格說一說怎樣乘2加1。

生：1×2+1=3（人），3×2+1=7（人）。

師：所以你就覺得是乘2加1，是嗎？那么這個(gè)加1是什么意思？

生：多出來的1人是老師通知的學(xué)生。

師：下面我們一起來驗(yàn)證一下這位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)。誰(shuí)能結(jié)合7和15來說一說。

生：因?yàn)?×2=14，14+1=15。

師：聽得明白嗎？說得真好。誰(shuí)能解釋一下7×2=14表示什么意思？

生：7是指之前通知到的學(xué)生總?cè)藬?shù)，接下去這7個(gè)人都會(huì)打電話通知學(xué)生，所以一共有7×2=14（人）知道，老師還會(huì)再通知1人，所以還要加1人，等于15人。

師：真了不起。從畫圖到列表你們找到了這樣的規(guī)律。

生：還有一個(gè)規(guī)律，新收到通知的人數(shù)是前一分鐘收到通知的總?cè)藬?shù)加1。

師：你能不能結(jié)合表格說一說？

生：1+1=2，3+1=4，7+1=8……

生：我還找到一個(gè)規(guī)律。第4分鐘新通知的人數(shù)是8人，第3分鐘收到通知的總?cè)藬?shù)是7人，8+7=15（人），就是第4分鐘收到通知的總?cè)藬?shù)。

師：這里的7加這里的8正好是15。我們?cè)賮碚乙徽摇?/p>

生：15+16=31（人），31+32=63（人）。

師：你們覺得這個(gè)規(guī)律成立嗎？我們班的同學(xué)真聰明，很會(huì)動(dòng)腦筋。

3.應(yīng)用規(guī)律，類比思想。

師：同學(xué)們，我們今天這節(jié)課學(xué)習(xí)了打電話，接下來請(qǐng)同學(xué)們完成《學(xué)習(xí)單》上的練習(xí)題。

孫悟空去西天取經(jīng)的路上遇到妖精，于是它每次拔一根毫毛就能變成一個(gè)孫悟空，變出的孫悟空每次拔一根毫毛也能變成一個(gè)孫悟空，每次變化需要的時(shí)間是2秒鐘。10秒鐘最多能變化出多少個(gè)孫悟空？

4.回顧反思，課堂總結(jié)。

師：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了打電話的數(shù)學(xué)問題。請(qǐng)同學(xué)們想一想，打電話這一數(shù)學(xué)問題和我們四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)的烙餅問題、沏茶問題有什么聯(lián)系？

師：學(xué)了打電話這一數(shù)學(xué)問題后，你還有什么問題呢？

生1：需要知道他人的電話號(hào)碼。

生2：需要準(zhǔn)備好打電話的方案。

師：同學(xué)們，我們打電話采用最優(yōu)化的方案，前期我們也要做一些準(zhǔn)備工作。比如哪位同學(xué)打給哪位同學(xué)，事先要有一個(gè)示意圖，這樣誰(shuí)打給誰(shuí)就很清楚了。

三、教學(xué)反思

1.緊扣核心，培養(yǎng)高階思維。

盡快通知的核心是“每個(gè)接到通知的隊(duì)員都不空閑”，規(guī)律的核心是“第n分鐘新接到通知的隊(duì)員數(shù)等于前（n-1）分鐘內(nèi)接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)”。教學(xué)時(shí)，緊緊抓住這兩個(gè)核心，借助表格引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，幫助學(xué)生理解。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，教師要通過觀察、思考和交流，提高學(xué)生概括、提煉和總結(jié)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理思想和模型思想，促進(jìn)學(xué)生思維在更高層次上發(fā)展。

2.多元表征，彰顯數(shù)學(xué)化。

無(wú)論是逐個(gè)通知，還是分組通知和最優(yōu)化通知，都原生態(tài)的讓學(xué)生用自己喜歡的方法嘗試解決。學(xué)生大膽運(yùn)用語(yǔ)言、文字、符號(hào)、圖示、算式等不同的方式來表征自己的思維過程。即使同一種表征方式，也可以有不同的表達(dá)形式。如圖示法，學(xué)生可以畫出不同方式的示意圖，可以讓學(xué)生把每一分鐘新接到通知的隊(duì)員用不同的顏色或圖形表示出來，也可以直接用序號(hào)來表示。把打電話的設(shè)計(jì)方案抽象成示意圖，這實(shí)際是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)約之美，幫助學(xué)生形成有序、全面思考問題的品質(zhì)。