以高觀點(diǎn)視角驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)
——兼評(píng)兩則《平行四邊形的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)

文|周衛(wèi)東（特級(jí)教師）

“平行四邊形面積的計(jì)算”是第二學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域中“圖形的測(cè)量”的一則重要內(nèi)容。人教版、北師大版與蘇教版等教材均安排在五年級(jí)上學(xué)期。相較于學(xué)生三年級(jí)學(xué)習(xí)的“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”而言，“平行四邊形面積的計(jì)算”包含著深刻的本質(zhì)內(nèi)涵及轉(zhuǎn)化、推理、建模等豐富的思想元素，抽象水平及思維層次更高。因而，這一內(nèi)容是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有機(jī)載體，也是廣大同行競(jìng)相研究、個(gè)性表達(dá)的典型課題。

認(rèn)真研讀了談瑩老師的《在探究和思辨中凸顯理性精神》（簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)一）和徐妍老師的《促深度理解 助主動(dòng)建構(gòu)》（簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)二），頗有收獲。兩則設(shè)計(jì)均能在把握基礎(chǔ)教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，著眼高觀點(diǎn)，努力挖掘發(fā)展性目標(biāo)，使教學(xué)“增值”，具體體現(xiàn)在大問(wèn)題統(tǒng)整、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)及思想性滋養(yǎng)三個(gè)方面。

一、大問(wèn)題統(tǒng)整，促進(jìn)主動(dòng)建構(gòu)

所謂站得高，才能看得遠(yuǎn)。“所謂大問(wèn)題，就是一種開(kāi)放性問(wèn)題或具有多元思考方式的問(wèn)題，并鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者積極參與到問(wèn)題解決中，使學(xué)生嘗試尋找有用的知識(shí)、思考合適的方案來(lái)解決主要問(wèn)題?！苯虒W(xué)中，大問(wèn)題觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，是課堂教學(xué)中的問(wèn)題之“眼”。通過(guò)大問(wèn)題統(tǒng)整，可以幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。

1.大問(wèn)題引領(lǐng)，促數(shù)學(xué)思維萌芽。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，立于高位去設(shè)計(jì)教學(xué)路徑，用大問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維萌芽，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的關(guān)鍵步驟。設(shè)計(jì)一，課始設(shè)問(wèn)：“關(guān)于平行四邊形，你覺(jué)得它的大小會(huì)跟什么有關(guān)呢？”引導(dǎo)學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上大膽想象。而設(shè)計(jì)二則緊緊扣住“平行四邊形的面積到底該怎么計(jì)算呢？”這個(gè)大問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)。課堂上，當(dāng)多種算法呈現(xiàn)出來(lái)時(shí)，“哪種算法有道理？該怎樣說(shuō)明呢？”則又成為驅(qū)動(dòng)思維深入的“大問(wèn)題”。這樣的大問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生討論、交流，促進(jìn)明理、通透，引發(fā)想象、創(chuàng)造，使學(xué)習(xí)過(guò)程一直浸潤(rùn)在一種積極、生動(dòng)的“場(chǎng)域”之中。

2.大問(wèn)題推進(jìn)，促數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)。

當(dāng)學(xué)生關(guān)注到“平行四邊形面積的計(jì)算”這一核心問(wèn)題后，學(xué)生的思維瞬間被打開(kāi)，一個(gè)又一個(gè)大問(wèn)題推進(jìn)的過(guò)程，就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷調(diào)整、整合、進(jìn)階的過(guò)程。設(shè)計(jì)一為學(xué)生提供了形狀各不相同的四個(gè)平行四邊形紙片、透明方格紙及活動(dòng)的平行四邊形框架等有意義的材料，讓學(xué)生“八仙過(guò)海，各顯神通”，來(lái)驗(yàn)證“平行四邊形的面積跟什么有關(guān)，跟什么無(wú)關(guān)”這一問(wèn)題。而設(shè)計(jì)二則在學(xué)生得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來(lái)算”后，適時(shí)拋出話題：“所有平行四邊形的面積都可以用底×高來(lái)計(jì)算嗎？”給學(xué)生提供了三個(gè)大小、形狀各不同的平行四邊形，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)方格、割補(bǔ)等方法去印證自己的猜想，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由此及彼、由個(gè)及類思維的轉(zhuǎn)換，在進(jìn)一步明確之前的猜想的基礎(chǔ)上形成了更具有一般性的結(jié)論。

3.大問(wèn)題歸納，促數(shù)學(xué)思維深耕。

高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)課堂，在大問(wèn)題引領(lǐng)、推進(jìn)之后，要有大問(wèn)題歸納總結(jié)。在本節(jié)課中，雖然學(xué)生通過(guò)不完全歸納，經(jīng)歷了“一個(gè)”到“一類”的認(rèn)知過(guò)程，引出平行四邊形面積計(jì)算公式后，給學(xué)生布置了一個(gè)關(guān)鍵性任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深漫溯。（1）觀察：轉(zhuǎn)化前后，兩個(gè)圖形有什么聯(lián)系？（2）推理：平行四邊形的面積為什么可以用底×高來(lái)計(jì)算。在完成這個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)推理歸納，進(jìn)一步厘清平行四邊形面積計(jì)算的本質(zhì)問(wèn)題，即沿著平行四邊形的任意一條高剪開(kāi)，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬等于平行四邊形的高，且面積不變，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。這樣，通過(guò)大問(wèn)題的歸納推理，幫助學(xué)生厘清知識(shí)本質(zhì)，形成從高位視角看待所學(xué)知識(shí)、探究所學(xué)問(wèn)題的意識(shí)。

二、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，促進(jìn)主動(dòng)建構(gòu)

高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該看到知識(shí)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)。學(xué)科之所以為學(xué)科，而不是簡(jiǎn)單概念與知識(shí)要點(diǎn)的堆砌，其中非常重要的原因就在于學(xué)科知識(shí)之間存在著不可割裂的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)常常被稱為“結(jié)構(gòu)的科學(xué)”，是一種整體的、系統(tǒng)與意義的結(jié)構(gòu)。知識(shí)學(xué)習(xí)走向結(jié)構(gòu)化，才能更深刻地促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知與理解。關(guān)聯(lián)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中某種關(guān)系和節(jié)點(diǎn)的重新建構(gòu)，學(xué)習(xí)是一個(gè)知識(shí)的聯(lián)結(jié)過(guò)程?；诟哂^點(diǎn)視角的數(shù)學(xué)教學(xué)，更應(yīng)注重知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，將學(xué)生的思維引向整體化、結(jié)構(gòu)化的高度，促進(jìn)知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)。

1.關(guān)聯(lián)在思維行進(jìn)中。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維呈現(xiàn)出一個(gè)螺旋上升、逐步遞進(jìn)的過(guò)程。因此，教學(xué)時(shí)教師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生的思維行進(jìn)中做好生生互動(dòng)的關(guān)聯(lián)，師生互動(dòng)的關(guān)聯(lián)，學(xué)生與學(xué)材互動(dòng)的關(guān)聯(lián)，學(xué)生與空間環(huán)境等互動(dòng)的關(guān)聯(lián)。適時(shí)引領(lǐng)和點(diǎn)撥，幫助學(xué)生掃清思維行進(jìn)中的障礙，逐步建構(gòu)知識(shí)。兩則設(shè)計(jì)均注重在學(xué)生思維行進(jìn)中做好結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。細(xì)讀他們的教學(xué)路徑可以看出，兩位教師均順應(yīng)了學(xué)生思維發(fā)展的脈絡(luò)，遵循了學(xué)生“學(xué)”的邏輯，幾大學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、相互關(guān)聯(lián)，串起了整個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)的體系，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。

2.關(guān)聯(lián)在思維困頓處。

學(xué)生在思維進(jìn)階的節(jié)點(diǎn)上，可能會(huì)出現(xiàn)困頓。教學(xué)中，學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)要預(yù)設(shè)到學(xué)生思維可能的困頓之處，通過(guò)引導(dǎo)，幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的完整體系。平行四邊形面積計(jì)算時(shí)，學(xué)生往往只記住“底×高”，而忽視“對(duì)應(yīng)”這個(gè)關(guān)鍵要素，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，形成認(rèn)知錯(cuò)位。兩則設(shè)計(jì)均涉及到“底與高對(duì)應(yīng)”的練習(xí)題，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，巧妙地將“對(duì)應(yīng)”的底和高相乘的核心知識(shí)傳遞給學(xué)生，通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，真正將知識(shí)關(guān)聯(lián)互通，形成了正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.關(guān)聯(lián)在思維進(jìn)階時(shí)。

高觀點(diǎn)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)羅列堆砌，更要將學(xué)生的思維引向更高的層次，建構(gòu)新的知識(shí)體系。因此，學(xué)習(xí)任務(wù)的編排設(shè)計(jì)需要關(guān)聯(lián)學(xué)生思維進(jìn)階的節(jié)點(diǎn)，為學(xué)生思維的順利進(jìn)階提供必要支持與幫助。立于高觀點(diǎn)之下，不僅關(guān)注學(xué)生當(dāng)下知識(shí)的學(xué)習(xí)，更關(guān)注現(xiàn)在與未來(lái)知識(shí)學(xué)習(xí)的聯(lián)系。在回應(yīng)“平行四邊形的面積=鄰邊相乘”這一典型錯(cuò)誤時(shí)，兩則設(shè)計(jì)均提供了有益的探索。設(shè)計(jì)一通過(guò)多種方法，讓學(xué)生明白為什么不能用鄰邊相乘的方法來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積，當(dāng)把平行四邊形拉直后，形成的長(zhǎng)方形的面積比原來(lái)的圖形面積多了一塊。當(dāng)平行四邊形的底和周長(zhǎng)不變時(shí)，隨著高的升高，面積越來(lái)越大，一直到轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，面積最大。設(shè)計(jì)二中，徐老師進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生思考，如果將平行四邊形的鄰邊的角度標(biāo)出，隨著角的傾斜變化，高也在不停變化，從而將中學(xué)時(shí)將要學(xué)習(xí)的平行四邊形的計(jì)算公式向?qū)W生滲透。即平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值。如用“a”“b”表示兩組鄰邊長(zhǎng)，α表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S=ab×sinα。

學(xué)習(xí)至此，讓我們確信，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，若隱若現(xiàn)留下的，是知識(shí)的全貌，是結(jié)構(gòu)的雛形，更是朝向未來(lái)知識(shí)世界的美好。好的數(shù)學(xué)課堂，就是將學(xué)生的思維引向深遠(yuǎn)，讓學(xué)生帶著疑問(wèn)走進(jìn)課堂，帶著收獲和新的疑問(wèn)走出課堂，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)螺旋上升的學(xué)習(xí)場(chǎng)。高觀點(diǎn)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，通過(guò)關(guān)聯(lián)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，將學(xué)生的思維引向更扎實(shí)、更高階的境界，從而主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

三、思想性滋養(yǎng)，促進(jìn)主動(dòng)建構(gòu)

高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)看到知識(shí)深層的思想方法。學(xué)科思想是學(xué)科知識(shí)中的“隱性內(nèi)容”，是學(xué)科專家提出的對(duì)學(xué)科發(fā)展和學(xué)科學(xué)習(xí)最具影響力的那些觀念和見(jiàn)解，是知識(shí)背后的知識(shí)，是學(xué)科的精髓與靈魂。

1.由“個(gè)”到“類”，滲透歸納思想。

兩則設(shè)計(jì)都十分關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透。在引導(dǎo)學(xué)生探究平行四邊形的面積時(shí)，兩則設(shè)計(jì)都引導(dǎo)學(xué)生用“割補(bǔ)法”“數(shù)格子法”等方法去印證“一個(gè)”平行四邊形的面積可以用“底×高”來(lái)計(jì)算，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步印證“任意”平行四邊形的面積都可以用“底×高”來(lái)計(jì)算。由“個(gè)”到“類”的印證過(guò)程中，向?qū)W生滲透了不完全歸納的思想。

2.由“新”到“舊”，滲透轉(zhuǎn)化思想。

兩則設(shè)計(jì)都帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了之前學(xué)習(xí)過(guò)的平面圖形面積的計(jì)算方法，尤其是長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法后，通過(guò)割補(bǔ)法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，這樣將“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，從而順利推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算公式。且在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，立意于高觀點(diǎn)視角，并未將學(xué)生的起點(diǎn)定位于實(shí)際操作，而是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)用“手”比劃，用“腦”想象，既滲透了轉(zhuǎn)化的思想，又提升了學(xué)生的空間想象能力。

3.由“同”到“異”，滲透對(duì)應(yīng)思想。

在學(xué)生探索出平行四邊形的面積可以用“底×高”來(lái)計(jì)算后，兩則設(shè)計(jì)均通過(guò)習(xí)題引發(fā)學(xué)生思考，為什么都是平行四邊形的底，為什么不能和給定的高相乘。從而引導(dǎo)學(xué)生思考“同”是底，卻“異”在高的不同上，因此，得出在計(jì)算平行四邊形面積時(shí)，必須用對(duì)應(yīng)的底乘對(duì)應(yīng)的高。在這樣的辨析過(guò)程中，滲透了對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。從數(shù)學(xué)教學(xué)角度看，一堂課新往往就新在思維過(guò)程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在學(xué)生參與活動(dòng)的深度和廣度上。有思想深度的課，給學(xué)生留下長(zhǎng)久的心靈激蕩和對(duì)知識(shí)的深度理解，以后即使具體的知識(shí)忘了，但數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的思想方法卻將長(zhǎng)久存在。