近年數(shù)學(xué)競賽中條件為a+b+c=1型三元不等式的證法探究

范廣哲

一直以來，不等式試題是國內(nèi)外各類數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一類題目，其靈活多變，?？汲Ｐ?條件不等式是指在限定條件下考慮的一類特殊不等式題目.在各類國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽不等式類型的題目中，筆者發(fā)現(xiàn)條件為a+b+c=1的三元不等式出現(xiàn)的頻率頗高，本文給出此類型不等式的解法探究，不等式的綜合應(yīng)用對培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有著非常重要的作用，同時也有助于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，進(jìn)而解決問題的能力，

均值不等式和柯西不等式是兩類非常重要的不等式，其應(yīng)用非常廣泛.基于此，本節(jié)列舉了幾道近年國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中的不等式試題，主要探討用這兩種方法解決此類題目，闡述均值不等式和柯西不等式的奇思妙用，僅供讀者參考和借鑒.希望本文能給讀者帶來一些思考和啟迪，能夠?qū)W會舉一反三，觸類旁通，

分析由于所求結(jié)論為輪換對稱結(jié)構(gòu)，現(xiàn)考慮其中一項(xiàng)具有怎么的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)利用拼湊化筒，然后利用均值不等式，可化為以a，b，c一次項(xiàng)的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果.

證明由均值不等式可得：

分析 本題的關(guān)鍵是如何對結(jié)論中的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放縮，使其結(jié)論左邊形式和右邊建立適當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián).另外，條件a+b+c=1進(jìn)行適當(dāng)變形，使用代換方式達(dá)到預(yù)期效果.

分析 雖然本題結(jié)論比較復(fù)雜，但仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，可使用代換方法，從而達(dá)到預(yù)期效果.

分析 本題的放縮具有較高的技巧性，要對結(jié)論適當(dāng)添加某些項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)到預(yù)期的放縮結(jié)果，再對放縮后的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)處理.

分析 本題先想到利用柯西不等式達(dá)到放縮的目的，另外利用已知條件，運(yùn)用代換方法，適當(dāng)進(jìn)行合并同類項(xiàng)，從而達(dá)到預(yù)期結(jié)果.

分析 本題從形式看，首要想到的是放縮，把所求表達(dá)形式放小，另外要使放縮后的結(jié)果與己知條件建立起一定的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而想到柯西不等式.

分析 本題的著眼點(diǎn)還是觀察分母特點(diǎn)，利用不等式放縮使其形式簡化，使所求表達(dá)式放縮后的結(jié)果與已知條件建立一定關(guān)聯(lián)，進(jìn)而想到柯西不等式.進(jìn)一步思考，再利用己知條件達(dá)到進(jìn)一步放縮的目的.

分析本題結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，難度較高.首先觀察到結(jié)果中的以a，b，c的地位相同，因而考慮a=b=c情況下取得等號.其次再思考如何把分母簡化，進(jìn)而想到柯西不等式.在后續(xù)的過程，同樣運(yùn)用到均值不等式.本題綜合性較強(qiáng)，需要有較強(qiáng)的不等式基本功.