對一道“直線與圓”問題的研究與推廣

華子謙 陸庭

一題多解與多題一解作為數(shù)學(xué)中重要的解題思考方式，在解決幾何問題時顯得尤為重要.本文從一試題出發(fā)，從代數(shù)與幾何角度作切入點進行分析，并將原題部分結(jié)論推廣到一般情況.

本題主要考查了直線方程、圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查了推理論證能力和運算求解的能力，考查了數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想.本文將對該題給出一些常見的解答，并將第（2）問推廣到一般性的結(jié)論，供讀者參考.

點評 方程思想是解決解析幾何問題的重要思想，設(shè)出未知點坐標(biāo)，通過等量關(guān)系建立方程，利用代數(shù)運算求出未知點坐標(biāo)，大大減少學(xué)生思維量，同時利用代數(shù)方法解決平面幾何問題也能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算與直觀想象等核心素養(yǎng).

點評 在圓中構(gòu)造直角三角形是解決直線與圓相交問題的一個重要解題思路.這里構(gòu)造Rt△CAD與Rt△CMD，借助直角三角形邊的關(guān)系建立方程組求出CD與AD的長度.如何提高學(xué)生利用圖形特征找到等量關(guān)系建立方程就需要教師在平時教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生尋找圖形特點、培養(yǎng)解題后反思總結(jié).

點評 初中所學(xué)的切割線定理在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，這里體現(xiàn)著由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程.通過將動割線AB的問題轉(zhuǎn)化到定切線MO的問題，能靈活運用圓內(nèi)相關(guān)定理可巧妙解決與圓的有關(guān)問題從而減少計算量，優(yōu)化解題過程，快速算出弦長AB，進而通過垂徑定理求出圓心到弦AB的距離解決問題.

本題第（1）問為基礎(chǔ)題，涉及到的知識點有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切中垂徑定理、弦長公式.在上述解法中，既可以通過幾何角度，利用切割線定理或構(gòu)造直角三角形;又可以通過代數(shù)角度直接運算，方法各有千秋.教師在教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生一題多解能力，讓學(xué)生不拘泥于一種解法，開拓學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

點評 利用代數(shù)方法解決平面幾何問題思路清晰、方法簡便，將此小問化難為筒，拓展了學(xué)生思維，同時這也旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力.至此并不完美，由于代數(shù)運算時運算量較大，這促使我們另辟蹊徑，能否利用圓的性質(zhì)簡化計算由“數(shù)”轉(zhuǎn)到“形”去考慮問題，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀想象能力，下面給出第（2）小問的幾何證明.

解完本小問后，不禁思考此結(jié)論是否具有一般性？從問題條件分析，直線x=1恰好經(jīng)過圓心，再從結(jié)論過程分析，斜率乘積結(jié)果與圓心所在位置無關(guān)，似乎只與E，F(xiàn)到圓心距離有關(guān).進一步大膽設(shè)想若圓心不在x軸上呢？當(dāng)圓心被放置在任意位置時，QP’，QP”分別與直線x=a交于E，F(xiàn)兩點，利用GGB畫出圖形后發(fā)現(xiàn)QCP''E仍四點共圓！會不會有類似結(jié)論呢？下面給出該結(jié)論的推廣.

4 教學(xué)啟示

（1）重視知識的積累，注重學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建設(shè)

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾強調(diào)知識的再創(chuàng)造，也就意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不是一味地進行知識記憶，而是學(xué)生本人要將知識復(fù)習(xí)、鞏固、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造.教師要做的就是在學(xué)生解決問題過程中引導(dǎo)并幫助學(xué)生實現(xiàn)“再創(chuàng)造”.數(shù)學(xué)知識不是教出來的，也不是學(xué)出來的而是研究出來的，研究問題并將結(jié)論推廣是一種很好的解題方法，能夠增強學(xué)生好奇心提升學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)思考.

（2）重視方法的培養(yǎng)，加強學(xué)生一題多解的能力

高中數(shù)學(xué)靈活性較高，對學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力提出考驗.華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，在解決平面幾何問題時數(shù)形結(jié)合起到了巨大的作用，在平面幾何教學(xué)過程中鼓勵學(xué)生思考問題是否還有其他解法.再通過代數(shù)、幾何角度作為切入點分析問題，能夠讓學(xué)生真正將知識內(nèi)化，從而實現(xiàn)思維的發(fā)展，找到自己擅長的解法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，保持解題自信.

（3）重視能力的提升，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.在平面幾何教學(xué)過程中，提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力能夠有效使學(xué)生在解題時快速識別筒捷解法;提升直觀想象能力能夠幫助學(xué)生形成論證思路;提升邏輯推理能力能夠加強學(xué)生證明時嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S;提升數(shù)學(xué)運算能力能夠提高學(xué)生解題效率.

綜上，對題目的思考角度不同影響著解題速度.因此教師在教學(xué)過程中要鼓勵學(xué)生嘗試一題多解，啟發(fā)學(xué)生將結(jié)論進行推廣，脫離“題?！鄙顪Y，提升解題教學(xué)有效性.