溯本求源 注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)

張偉紅

【摘要】中考數(shù)學(xué)命題以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，以“落實(shí)基礎(chǔ)，注重過(guò)程，滲透思想，突出能力，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，著重創(chuàng)新”為思想.中考題目大多源于課本的例題和習(xí)題，通過(guò)對(duì)教材習(xí)題的不斷挖掘，一題多變，一題多解，逐漸變成了有價(jià)值的數(shù)學(xué)新問(wèn)題，從而得到了一種解決此類問(wèn)題的方法.

【關(guān)鍵詞】? 教材題目;初中數(shù)學(xué);變式探究

縱觀各地中考數(shù)學(xué)命題，其中很多題目都是源于課本的例題和習(xí)題，通過(guò)變式改編而成，這類題不僅較好地體現(xiàn)了命題的原則，還體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和學(xué)好課本知識(shí)的重要性，有著非常重要的導(dǎo)向作用，不僅能引導(dǎo)師生重視基礎(chǔ)，重視教材，研究教材，用好用活教材，而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，挖掘習(xí)題的功能，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解.下面以一道教材的習(xí)題為例，突出解題的方法和題目的變式探究.

題目呈現(xiàn) 人教版八年級(jí)下冊(cè)教材有這樣一道題目：如，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF.

學(xué)生看到本題會(huì)想到了一線三垂直模型，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為H，要證AE=EF，只需要證明Rt△ABE≌Rt△EHF，條件找到了兩組角相等，即∠B=∠H=90°，∠BAE=∠HEF ，但是始終沒(méi)有邊相等.這兩個(gè)三角形的確全等，但是邊的條件找不到，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生換一種思路，要證AE=EF，能否構(gòu)造一個(gè)與△ECF全等的三角形，請(qǐng)?jiān)偎伎?學(xué)生經(jīng)過(guò)思考較容易的得到解法.如圖2，取AB的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF.

下面對(duì)本道習(xí)題做三種變式探究：

變式1 如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B、C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程;如果不正確，說(shuō)明理由.

解法1 如圖3，在AB上取一點(diǎn)M，使AM=CE，連接ME，

所以BM=BE，

所以∠BME=45°，∠AME=135°，

因?yàn)镃F是正方形外交∠DCG的平分線，

所以∠DCF=45°，∠ECF=135°，

同（1）可證明△AME≌△ECF，

所以AE=EF;

解法2 如圖4，連接AC，易得到∠ACF=90°，又∠AEF=90°，所以點(diǎn)A、E、C、F在以AF為直徑的同一個(gè)圓上，所以∠AFE=∠ACE=45°，從而∠EAF=45°，由∠AFE=∠EAF證明出AE=EF.

變式2 如圖5，如果點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎？

具體解法 成立.理由如下：如圖6，延長(zhǎng)BA到M，使AM=CE，

因?yàn)椤螦EF=90°，

所以∠FEG+∠AEB=90°.

因?yàn)椤螧AE+∠AEB=90°，

所以∠BAE=∠FEG，

所以∠MAE=∠CEF.

因?yàn)锳B=BC，

所以AB+AM=BC+CE，

即BM=BE.

所以∠M=45°，

所以∠M=∠FCE.

在△AME與△ECF中，

∠MAE=∠CEFAM=CE∠M=∠FCE，

所以△AME≌△ECF（ASA），

所以AE=EF.

變式3 如圖7，如果點(diǎn)E是BC的反向延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎？說(shuō)明理由.

具體解法 在AB延長(zhǎng)線上截取BH=BE，連接EH.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°.

又因?yàn)锽H=BE，

所以AH=CE.

因?yàn)椤螦BC=∠BCD=90°，BH=BE，CM為正方形外角平分線.

所以∠AHE=∠ECF=45°.

因?yàn)椤螦BE=90°，∠AEF=90°.

所以∠AEB+∠EAH=90°，

∠AEB+∠FEC=90°，

所以∠EAH=∠FEC.

在△EAH和△FEC中，

∠EAH=∠FECAH=CE∠AHE=∠ECF，

所以△EAH≌△FEC（ASA），

所以AE=EF.

通過(guò)對(duì)教材習(xí)題的不斷挖掘，一題多變，一題多解，逐漸變成了有價(jià)值的數(shù)學(xué)新問(wèn)題，從而得到了一種解決此類問(wèn)題的方法，不僅使所學(xué)的知識(shí)觸類旁通，真正起到舉一反三的學(xué)習(xí)效果，而且讓學(xué)生開(kāi)拓了眼界，提升了解題的思維，培養(yǎng)了學(xué)生分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]北京全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[實(shí)驗(yàn)稿]. 中華人民共和國(guó)教育部制定. 北京師范大學(xué)出版社 . 2011.

[2]曹松峰.一道經(jīng)典幾何題的變式探究[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2014，No.937（12）：12-13.