可積耦合AKNS 方程的達布變換及其精確顯式解

程建玲, 馮依虎

(1. 鄭州西亞斯學(xué)院教育學(xué)院，新鄭 451100; 2. 亳州學(xué)院電子與信息工程系，亳州 236800)

0 引言

二十世紀(jì)七十年代，Ablowitz、Kaup、Newell 和Sugur 提出了用譜問題的方法研究可積系統(tǒng)，稱之為AKNS 系統(tǒng)。通過在特征矩陣中取合適的參數(shù)，可以導(dǎo)出KdV、mKdV、Sine-Gordon、非線性薛定諤等眾多經(jīng)典的孤子方程，因而AKNS 系統(tǒng)一直受到研究者的重視。通過攝動法、擴大譜問題法、構(gòu)造新的圈代數(shù)法、使用李代數(shù)半直接求和法已經(jīng)構(gòu)造了諸如KN、KP、TD、TA、BPT 等重要的可積系統(tǒng)。對可積系統(tǒng)的研究，不僅能廣義化對稱問題，還能對可積系統(tǒng)的分類提供線索，因此，對可積系統(tǒng)的研究具有重要意義。

非線性演化方程的精確解特別是孤子解可以幫助人們更好地理解自然現(xiàn)象的本質(zhì)。求解非線性演化方程的精確解具有重要的理論和應(yīng)用價值，例如：許多結(jié)論已應(yīng)用在流體力學(xué)[1–2]、等離子體物理[3–4]、光纖通訊[5–6]、波色-愛因斯坦凝聚態(tài)[7]等領(lǐng)域。如何有效地求解這些非線性演化方程的精確解，一直是數(shù)學(xué)物理學(xué)家研究的重點課題。

近年來，許多有效的求解方法被提出，例如：反散射變換方法[8]、Hirota 雙線性方法[9]、代數(shù)幾何法[10]、B¨acklund 變換法[11]、Painlev′e 展開法[12]、齊次平衡法[13]、達布(Darboux)變換法[14–17]等。其中達布變換是構(gòu)造非線性問題中孤子方程精確解的十分有效的方法。其基本思想是把非線性問題的求解轉(zhuǎn)化為線性問題來處理，利用變換，經(jīng)過多次迭代，可以求出任意階多孤子解。

可積耦合方程的達布變換已有一些作者進行了研究，例如：廣義耦合KdV 方程[18]、廣義耦合非線性薛定諤方程[19]、耦合變系數(shù)Newell-Whitehead 方程[20]、雙耦合非線性薛定諤型方程[21]、可積耦合mKdV 系統(tǒng)[22]等。

本文的目的是利用達布變換來構(gòu)造可積耦合AKNS 方程的多孤子解。安排如下：在第1 部分，根據(jù)空間譜問題，構(gòu)造出可積耦合AKNS 方程。第2 部分，求出可積耦合AKNS 方程的N重達布變換，并用行列式表示出達布變換和N重變換解，同時進行了嚴(yán)格證明。第3 部分，作為達布變換的應(yīng)用，求出了精確顯式單孤子解。第4 部分作了簡明的總結(jié)。

1 可積耦合AKNS 方程

在本節(jié)中，我們將簡要回顧如何構(gòu)造可積耦合AKNS 方程。首先，給出了可積耦合AKNS 系統(tǒng)的空間譜問題

其中λ是一個譜參數(shù)，p、q、r和s是勢函數(shù)，?=(?1,?2,?3,?4)T是一個特征函數(shù)(T表示矩陣的轉(zhuǎn)置)。通過解穩(wěn)定方程

并比較λ同次冪項的系數(shù)，可得

這里j ≥0。通過計算得知A0,x=E0,x=0。選取A0=E0=?1，并取積分常數(shù)為0，可以得到Aj、Bj、Cj、Ej、Fj、Gj(j ≥1)這些項的表達式。其中前三項如下所示

接著，我們再引入譜問題(1)對應(yīng)的時間部分

這里“+”表示非負次冪。由譜問題(1)和(3)式的相容性條件可得零曲率方程

把U和V(n)代入方程(4)，可得

最后，當(dāng)方程(5)中的n=2 時，我們得到了可積耦合AKNS 方程

它的Lax 對由U和V(2)確定，其中V(2)及其中的子矩陣如下

2 可積耦合AKNS 方程的達布變換

在這一部分，我們將構(gòu)造可積耦合AKNS 方程的一重達布變換并用行列式來表示它。為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，首先，我們假設(shè)達布變換的形式如下

上式等價于

其次，不失一般性，假設(shè)達布變換的子矩陣T0和T1具有下列形式

矩陣T0、T1中的元素ak、bk、ck、dk、ek、fk、gk、hk(k= 0,1)將是在后面確定的特征函數(shù)。把(10)式代入方程(9)的空間部分，并比較λ的同次冪系數(shù)得

同時，我們對方程(9)的時間部分實施相似的步驟，可以得到

從上面表達式我們知道a1、d1、e1和h1都是常數(shù)。不失一般性，我們選擇a1=d1=e1=h1=1。于是達布變換的子矩陣T0和T1具有形式

這里a0、b0、c0、d0、e0、f0、g0、h0是x、t的函數(shù)。經(jīng)過變換得到的新解p[1]、q[1]、r[1]、s[1]形式如下

假設(shè)2N個特征函數(shù)fk= (fk1,fk2,fk3,fk4)T是系統(tǒng)(1)和(3)式帶有譜參數(shù)λ=λk(1≤k ≤2N)的基本解，則有下列定理。

定理1 可積耦合AKNS 方程(6)的一重達布變換的元素被特征函數(shù)f1、f2和譜參數(shù)λ1、λ2確定如下

其中達布變換的子矩陣T1,0和T1,1可以表示成行列式的形式

其中行列式元素如下

然后經(jīng)過變換得到的新解p[1]、q[1]、r[1]、s[1]最終可以表示成

證明 利用達布變換的結(jié)論，即T(λ,λk)|λ=λkfk=0(k=1,2)，所有的a0、b0、c0、d0、e0、f0、g0、h0都可以用特征函數(shù)f1、f2和特征值λ1、λ2所表示。把通過方程(14)表示的b0、c0、f0、g0代入方程(13)，所得新解如方程(16)所示。通過直接計算，我們可知方程(14)中的T和(16)式表示的新解確實滿足時間部分(11)。因此，可積耦合AKNS 方程在變換T作用下是協(xié)變的，所以方程(14)中的T是可積耦合AKNS 方程的達布變換。

2.3 初產(chǎn)婦、經(jīng)產(chǎn)婦妊娠期不同類型的UI構(gòu)成比情況 經(jīng)卡方檢驗，初產(chǎn)婦、經(jīng)產(chǎn)婦妊娠期不同類型UI構(gòu)成比差異有統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.001）。其中，初產(chǎn)婦與經(jīng)產(chǎn)婦妊娠期SUI的患病率差異有統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.001），經(jīng)產(chǎn)婦和初產(chǎn)婦UUI、MUI、OUI患病率，差異均無統(tǒng)計學(xué)意義（P＞0.05），見表1。

為了用行列式來表示可積耦合AKNS 方程的N重達布變換，我們得出下面定理。

定理2 可積耦合AKNS 方程的N重達布變換可以表示成下列形式

這里達布變換子矩陣TN,0、TN,1可以用下面行列式來表示

其中元素為

相應(yīng)地，可積耦合AKNS 方程經(jīng)過N重達布變換得到的新解也可以給出

其中的元素表示如下

在可積耦合AKNS 方程譜問題的協(xié)變條件要求下，變換后的譜問題的空間部分應(yīng)該具有形式

把公式(17)表示的TN代入方程(22)，并比較λN的系數(shù)，可以得到N重變換新解(19)。通過類似計算，對于可積耦合AKNS 方程譜問題的時間部分可以得到相同結(jié)論。

3 1-孤子解

本節(jié)利用達布變換，要得到精確1-孤子和2-孤子解。把平凡的種子解p=q=r=s=0 代入譜問題(1)和(3)式，選擇積分常數(shù)等于零，可得

然后可以得到相應(yīng)的特征函數(shù)

利用類似推導(dǎo)，根據(jù)得到的N重變換新解(19)，當(dāng)N= 2 時，可以得到2-孤子解。這里2-孤子解是用8 階行列式表示的，由于公式太大，在此略去。

4 總結(jié)

達布變換是求解許多著名可積方程顯式孤子解的一種有效方法，有許多文獻研究了可積耦合孤子方程的達布變換。本文構(gòu)造了可積耦合AKNS 方程，然后求出了此方程的一重達布變換，并將其表示成行列式形式。然后根據(jù)一重達布變換行列式的特點，構(gòu)造出了用行列式表示的N重達布變換和N階變換新解，并進行了嚴(yán)格證明。尤其需要指出的是，從種子解p=q=r=s= 0 開始，通過一重達布變換公式，得到了可積耦合AKNS 方程的精確單孤子解。