含界面裂紋圓形夾雜的十二次對稱二維準(zhǔn)晶熱應(yīng)力分析

翟 婷, 趙雪芬, 丁生虎

(1. 寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，銀川 750021; 2. 寧夏大學(xué)新華學(xué)院，銀川 750021)

0 引言

由于熱應(yīng)力問題在新材料，核工程以及航空等領(lǐng)域的重要性，含夾雜、孔洞或裂紋的復(fù)合材料熱應(yīng)力問題受到了廣泛的關(guān)注。Chao 和Shen[1–2]借助Hilbert 公式以及復(fù)應(yīng)力函數(shù)法研究了粘結(jié)異種材料曲線裂紋的熱彈性問題并且給出了圓形夾雜熱彈性問題的一般解答。Kattis 和Meguid[3]采用二相復(fù)勢的方法研究了曲線邊界夾雜的平面熱彈性問題，獲得了橢圓形夾雜在均勻溫變下的熱彈性場。Ding 等[4–5]根據(jù)奇異積分方程方法計算了混合邊值問題并獲得了在均勻熱流作用下兩種粘結(jié)正交各向異性介質(zhì)中界面裂紋問題的平面彈性解；運(yùn)用疊加原理和傅里葉積分變換，對在熱載荷作用下，正交異性涂層-基底結(jié)構(gòu)內(nèi)埋裂紋的熱彈性問題進(jìn)行了分析。

準(zhǔn)晶作為一種新型智能材料，與金屬合金相比，它形成了一系列具有奇特物理和機(jī)械性能的特殊結(jié)構(gòu)。由于準(zhǔn)晶體脆性高，其工作環(huán)境多為高壓高溫等更苛刻的條件，容易產(chǎn)生夾雜、裂紋或孔洞等缺陷，這會嚴(yán)重降低器件的性能，故對含缺陷準(zhǔn)晶材料的研究是十分有必要的。Hu 等[6]、Fan 和Mai[7]對準(zhǔn)晶體的物理性質(zhì)及其對材料科學(xué)的意義進(jìn)行了全面的概述。近年來，含缺陷準(zhǔn)晶的力學(xué)分析得到了充分的研究[8–14]。劉媛等[15]采用Muskhelishvil 復(fù)變函數(shù)法研究了十次對稱二維準(zhǔn)晶材料中橢圓孔邊部分裂紋面受到均布應(yīng)力作用問題。Dang 等[16]運(yùn)用位移不連續(xù)法研究了一維六方準(zhǔn)晶涂層在反平面載荷作用下界面裂紋的斷裂行為，用傅里葉變換方法導(dǎo)出了反平面位移不連續(xù)的基本解，分析了裂紋前緣應(yīng)力的奇異性。

在考慮熱效應(yīng)時，準(zhǔn)晶材料含缺陷問題的研究相對較少。Yang 等[17]借助非局部理論，得到了以厚度方向為準(zhǔn)周期方向的二維均勻十面準(zhǔn)晶納米板的精確解，給出了二維準(zhǔn)晶簡支納米板在上表面溫度變化下的三維熱彈性解析解。王旭等[18–19]推導(dǎo)了考慮熱效應(yīng)時十次對稱二維準(zhǔn)晶體平面應(yīng)變問題的通解表示，將穩(wěn)恒線熱源作用下變形問題劃為平面應(yīng)變問題進(jìn)行求解，給出了均勻熱流作用下十次對稱二維準(zhǔn)晶體中一絕緣橢圓孔洞引起的熱應(yīng)力問題的解答。Wang 和Schiavone[20]討論了含橢圓夾雜的二維十次對稱準(zhǔn)晶在熱力耦合作用下的平面熱彈性問題。Wang 和Schiavone[21]結(jié)合復(fù)變函數(shù)和傳遞矩陣方法研究了含橢圓夾雜的N層十次準(zhǔn)晶復(fù)合材料在三種不同熱載荷作用下的熱力學(xué)響應(yīng)解。Li 和Guo[22]通過復(fù)變函數(shù)方法研究了八面準(zhǔn)晶含橢圓孔的熱應(yīng)力分析。Fan 等[23]基于傅里葉變換，運(yùn)用擴(kuò)展位移不連續(xù)法對一維六方準(zhǔn)晶周期裂紋的平面熱效應(yīng)進(jìn)行了分析。Li 等[24]給出了均布熱流作用下一維六方準(zhǔn)晶含幣形裂紋問題的解析解。文獻(xiàn)[25]借助廣義勢理論法研究了二維六方準(zhǔn)晶體無限空間中含半無限平面裂紋的三維基本熱彈性問題。本文利用復(fù)變函數(shù)方法研究了十二次對稱二維準(zhǔn)晶在點熱源作用下的共弧圓形夾雜界面裂紋的平面問題，本問題的研究未見相關(guān)報道。

1 問題描述與基本公式

如圖1 所示，無限大十二次對稱二維準(zhǔn)晶基體S?中包含一個半徑為R的圓形彈性夾雜S+。在無限大準(zhǔn)晶基體S?內(nèi)任意一點z0作用著一點熱源，其強(qiáng)度為q0。同時，在準(zhǔn)晶基體與彈性夾雜界面上有n條互不相交的裂紋L′1,L′2,··· ,L′n，裂紋的尖端分別用aj和bj表示，記L′=L′1+L′2+···+L′n。除裂紋L′外的界面剩余部分記為L。不失一般性，假設(shè)在L′上無面力作用。當(dāng)準(zhǔn)晶基體與彈性夾雜粘結(jié)完好時，位移和應(yīng)力在L上連續(xù)。由于十二次對稱二維準(zhǔn)晶體的聲子場和相位子場不耦合，為了界面L上滿足位移和應(yīng)力連續(xù)則相位子場上的位移和應(yīng)力全為0。

圖1 點熱源作用在圓形夾雜界面裂紋附近

設(shè)圓形夾雜的中心在復(fù)平面z=x1+ix2的坐標(biāo)原點，則夾雜與準(zhǔn)晶基體界面上的點可表示為t=Reiθ。此時，界面上位移和應(yīng)力的邊界條件可表示為

其中σr和σrθ表示極坐標(biāo)中彈性夾雜和準(zhǔn)晶基體聲子場的應(yīng)力分量。Hr和Hrθ表示極坐標(biāo)中準(zhǔn)晶相位子場的應(yīng)力分量。ur和urθ是極坐標(biāo)系中彈性夾雜和準(zhǔn)晶聲子場的位移分量。最后一個下標(biāo)1 和2 分別表示區(qū)域S+和S?，上標(biāo)“+”和“?”表示當(dāng)z分別從S+和S?趨向于界面時函數(shù)所取的邊界值。

由二維彈性復(fù)勢理論及熱彈性問題的基本公式[26]，圓形夾雜內(nèi)的彈性場可用兩個復(fù)勢應(yīng)力函數(shù)Φ(z)和Ψ(z)再加一個溫度復(fù)函數(shù)g′1(z)來確定，即

由文獻(xiàn)[27]知，十二次對稱二維準(zhǔn)晶基體的彈性場可用兩個復(fù)勢函數(shù)?(z)、Θ(z)和一個溫度函數(shù)g′2(z)來確定，即

由二維熱傳導(dǎo)理論知，熱流Q，熱流強(qiáng)度q和溫度T可以由單個復(fù)溫度函數(shù)表示為

其中κt表示熱傳導(dǎo)系數(shù)，q1、q2和qρ、qφ分別表示熱流強(qiáng)度的直角坐標(biāo)分量和極坐標(biāo)方向的分量，Re 和Im 分別表示對復(fù)數(shù)函數(shù)取實部和虛部。

2 溫度場

準(zhǔn)晶基體中的復(fù)溫度函數(shù)可以表示為

考慮到界面裂紋是非滲透的，邊界上熱流強(qiáng)度和溫度連續(xù)邊界條件可表示為

其中qρ表示熱流強(qiáng)度徑向極坐標(biāo)分量。

設(shè)Fi(z) =g′i(z)，利用邊界條件(12)和(13)，由解析延拓技術(shù)和奇性主部分析方法可求得兩個區(qū)域復(fù)勢函數(shù)的一般解答為

其中G0(z)、G∞(z)、Gz0(z)和Gz?(z)表示被積函數(shù)N1G(z)/X0(z)在z=0, ∞, z0, z?點處的奇性主部，并且

對式(15)，還需要確定n個常數(shù)c1,c2,··· ,cn。把式(15)在無窮遠(yuǎn)域展開后與F′2(z)比較1/z前的系數(shù)，求得1/z前的系數(shù)。為了確保L上溫度的連續(xù)性，補(bǔ)充n個端點溫度相等條件。先假定端點a1處溫度確定，則可得到n ?1 個方程

式(16)是n ?1 個方程，可確定n ?1 個未知數(shù)，至此F′1(z)和F′2(z)可完全確定，這樣表示整個溫度場也完全確定。

3 聲子場的熱應(yīng)力分析

如問題所述，當(dāng)準(zhǔn)晶基體S?內(nèi)任意一點z0作用一強(qiáng)度為q0的點熱源時，可設(shè)夾雜S+內(nèi)和準(zhǔn)晶基體聲子場的復(fù)勢函數(shù)為

同理，在S?內(nèi)引入函數(shù)

這樣，Φ(z)可經(jīng)過圓弧L′解析到S?內(nèi)。

考慮邊界條件(2)～(4)，把式(20)和式(23)代入，由廣義Liouville 定理[26]，可得

其中?1(z)=?4Mi(L+M)?(z)且D0為常數(shù)。

對式(7)關(guān)于θ求導(dǎo)，由邊界條件式(1)及式(10)、式(24)得

把式(21)和式(24)代入，可得一個R-H 邊值問題，它的解為

其中

X1(z)是沿L割開平面上的一單值分支，滿足limz→∞[znX1(z)]=1。

計算式(26)的積分后，再代入到式(21)和式(24)后，即可得到Φ(z)和?(z)。由式(20)和式(23)，可知

這樣，彈性夾雜和準(zhǔn)晶基體聲子場的復(fù)勢函數(shù)形式解已經(jīng)求得。下面來確定τ0,τ1,··· ,τn和D0這n+2 個常數(shù)。由無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力為0，得?(∞) = 0，則由式(21)和式(26)可得τ0=0。

由于在無窮遠(yuǎn)鄰域內(nèi)

與式(21)在無窮遠(yuǎn)鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式比較可得一方程。

又考慮到Φ(∞)=D0，再代入式(23)，即得

為了保證位移連續(xù)條件還需補(bǔ)充在n個端點位移相等的條件。考慮相對剛體位移，可假設(shè)其中b1重合，則有n ?1 個獨立條件，由此可得

把式(21)、式(24)代入整理得

其中

至此，Φ(z)和?(z)已完全確定。

4 典型問題

4.1 一條裂紋

如圖2 所示，考慮在準(zhǔn)晶基體內(nèi)任一點z0作用強(qiáng)度為q0的點熱源，在圓形夾雜界面上只含有一條裂紋，不失一般性，假設(shè)圓弧裂紋關(guān)于x軸對稱，在圓形界面|z| =R上有端點a=Re?iα, b=Reiα。

圖2 一條界面裂紋

4.1.1 溫度場

當(dāng)n=1, c0=0 時，有

將上述溫度場的解答退化到只含有圓形夾雜時，即α= 0, a=b=R，由式(32)和式(33)得

該結(jié)果與文獻(xiàn)[2]一致。

4.1.2 聲子場熱應(yīng)力

當(dāng)n=1, τ0=0 時，進(jìn)而

再把在X1(z)無窮遠(yuǎn)鄰域內(nèi)展開有

與式(29)作比較，即得τ1=A2。

這樣聲子場復(fù)勢函數(shù)中的待定常數(shù)都已求出，聲子場受到的熱應(yīng)力也可確定。

4.2 兩條裂紋

如圖3 所示，考慮在準(zhǔn)晶基體內(nèi)任意一點z0作用強(qiáng)度為q0的點熱源，在圓形夾雜界面上含有兩條裂紋，不失一般性，假設(shè)兩條圓弧裂紋分別關(guān)于x軸對稱，在圓形界面|z|=R上有端點a=Re?iα, b=Reiα, a′=Rei(π?α), b′=Rei(π+α)。

圖3 兩條界面裂紋

4.2.1 溫度場

此時c0=0, n=2，得到

4.2.2 聲子場熱應(yīng)力

當(dāng)n=2, τ1=0 時，D0=0，可得

4.3 裂紋尖端的熱應(yīng)力強(qiáng)度因子

為了計算圓弧裂紋端點b的熱應(yīng)力強(qiáng)度因子，首先做如下坐標(biāo)變化[26]

這樣在Z平面X軸與裂紋相切與端點b1(Z平面b的對應(yīng)點)，且

在b1點領(lǐng)域的奇性主項可寫為

聲子場熱應(yīng)力強(qiáng)度因子定義如下

從式(39)中可以看出，裂紋尖端的聲子場熱應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋的大小，熱源的位置及準(zhǔn)晶材料的彈性常數(shù)有關(guān)。

5 數(shù)值算例

本節(jié)將給出一些數(shù)值結(jié)果，主要分析夾雜材料為彈性材料，基體材料為十二次對稱二維準(zhǔn)晶在點熱源作用下界面弧形裂紋尖端的熱應(yīng)力及熱應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化趨勢，點熱源位于第四象限。本文考慮一組滿足正交條件的準(zhǔn)晶材料參數(shù)[28]

取C12= 100 GPa。由于對稱性，只需要計算一個裂紋尖端的熱應(yīng)力及熱應(yīng)力強(qiáng)度因子。定義無量綱熱應(yīng)力及熱應(yīng)力強(qiáng)度因子為

取α= 30?，得到復(fù)平面上圓形夾雜界面上(t=Reiθ(θ= 0,1,··· ,2π))裂紋尖端的熱應(yīng)力分布曲線圖。

觀察圖4 和圖5 可以看出，裂紋尖端熱應(yīng)力的大小與外載荷熱源強(qiáng)度呈線性關(guān)系，同樣觀察到熱應(yīng)力在θ= 30?和θ= 330?附近集中。圖6 和圖7 描述了含兩條界面裂紋時，在不同強(qiáng)度的點熱源作用下熱應(yīng)力隨極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中θ變化的情形，發(fā)現(xiàn)熱源強(qiáng)度越大，裂紋尖端的熱應(yīng)力越大，觀察到熱應(yīng)力在θ= 30?, θ= 145?, θ= 215?以及θ=330?附近應(yīng)力集中。圖8 和圖9 分別給出了只含有一條和兩條界面裂紋時，當(dāng)點熱源位置位于x軸上時，界面熱應(yīng)力在不同熱源強(qiáng)度下的變化情形。通過觀察我們發(fā)現(xiàn)此時應(yīng)力峰值相等。

圖4 不同q0 下，邊界上含一條裂紋的徑向應(yīng)力σr0

圖5 不同q0 下，邊界上含一條裂紋的剪應(yīng)力σrθ0

圖6 不同q0 下，邊界上含兩條裂紋的徑向應(yīng)力σr0

圖7 不同q0 下，邊界上含兩條裂紋的剪應(yīng)力σrθ0

圖8 含一條裂紋邊界上的徑向應(yīng)力σr0

圖9 含兩條裂紋邊界上的徑向應(yīng)力σr0

圖10 和圖11 給出了在圓形夾雜大小不同的情況下，無量綱熱應(yīng)力強(qiáng)度因子K10及K20隨裂紋角度α的變化情形。我們可以觀察到夾雜半徑R的大小對裂紋尖端熱應(yīng)力強(qiáng)度因子K10有很明顯的影響，R越大熱應(yīng)力強(qiáng)度因子變化趨勢越明顯并且峰值越高，對于熱應(yīng)力強(qiáng)度因子K20而言，夾雜半徑越小，熱應(yīng)力強(qiáng)度因子越小。我們發(fā)現(xiàn)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子不會隨裂紋角度α增大而單調(diào)增加。如圖10 所示復(fù)合材料的熱應(yīng)力強(qiáng)度因子K10開始隨裂紋角度α增大而增大，在α= 78?附近達(dá)到最大值，然后隨裂紋角度進(jìn)一步增大而減小。而熱應(yīng)力強(qiáng)度因子K20開始隨裂紋角度α增大而減小，當(dāng)界面裂紋沿彎曲延伸至57?時產(chǎn)生的熱應(yīng)力強(qiáng)度因子K20最小，然后又隨裂紋角度α增大而增大。

圖10 不同R 下K10 隨裂紋角度α 的變化

圖11 不同R 下K20 隨裂紋角度α 的變化

6 總結(jié)

本文研究了十二次對稱二維準(zhǔn)晶在點熱源作用下的共弧圓形夾雜界面裂紋的平面問題，利用Muskhelishvil 復(fù)變函數(shù)方法，給出了夾雜內(nèi)外溫度場，聲子場的熱應(yīng)力分析。當(dāng)含有一條裂紋以及含有兩條裂紋時，獲得了分區(qū)復(fù)勢函數(shù)和應(yīng)力場的封閉形式解答。當(dāng)只含有一條裂紋時求出了裂紋尖端熱應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式，還給出了裂紋尖端熱應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋幾何條件變化而產(chǎn)生的變化情形。觀察到熱應(yīng)力以及熱應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化受夾雜半徑、熱源強(qiáng)度以及裂紋角度等影響。結(jié)果表明在點熱源作用下含界面裂紋圓形夾雜裂紋尖端附近應(yīng)力集中，應(yīng)力場呈現(xiàn)振蕩奇異性。本文的解答為準(zhǔn)晶材料斷裂性能的研究提供了理論依據(jù)。