一個捕食者染病、食餌具有階段結(jié)構(gòu)的生態(tài)-流行病模型的穩(wěn)定性

張 梅, 王玲書, 賈美枝

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，石家莊 050061)

0 引言

近年來，許多學(xué)者研究了傳染病對種群模型的影響，即生態(tài)-流行病模型的穩(wěn)定性[1–11]。由于傳染病可以在種群內(nèi)部或種群之間相互傳播，從而使得這些模型有著豐富的研究內(nèi)容。文獻(xiàn)[7]研究了下列生態(tài)-流行病模型

其中x(t)、S(t)和I(t)分別表示食餌、易感捕食者和染病捕食者種群在時刻t的密度。參數(shù)r> 0 表示食餌種群的內(nèi)稟增長率；a11> 0 為食餌種群的種內(nèi)競爭率；d1> 0 和d2>0 分別表示易感捕食者和染病捕食者的死亡率；a12>0 表示捕食者捕食食餌的捕獲率，捕食者的生育轉(zhuǎn)化率為a21/a12；β>0 為疾病的傳染率；染病捕食者的治愈率為δ>0。

由于時滯微分方程相對于不含時滯的傳統(tǒng)的常微分方程能夠更準(zhǔn)確地描述種群的變化規(guī)律。為此，在生態(tài)系統(tǒng)研究中，采用具有時間滯后的微分方程來建立數(shù)學(xué)模型變得越來越普遍[9–13]。文獻(xiàn)[11]在模型(1)的基礎(chǔ)上考慮了下列具有時滯的微分系統(tǒng)

其中τ ≥0 表示捕食者種群的妊娠期所引起的時滯。文獻(xiàn)[11]討論了模型(2)的非負(fù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，得到了正平衡點(diǎn)處存在Hopf 分支的充分條件。

本文在模型(1)和(2)的基礎(chǔ)上，研究一個食餌具有階段結(jié)構(gòu)，捕食者具有Holling-II 型功能性反應(yīng)的捕食者—食餌模型。為此，考慮下列生態(tài)—流行病模型

在模型(3)中，食餌種群分為幼年和成年兩個階段，它們在時刻t的密度為x1(t)和x2(t)。參數(shù)r1> 0 表示幼年食餌向成年食餌的轉(zhuǎn)化率，di> 0(i= 1,2,3,4)分別表示幼年食餌、成年食餌、易感捕食者和染病捕食者的死亡率；p(x) =x/(1+mx)表示捕食者對食餌的Holling-II 型功能性反應(yīng)函數(shù)；模型(3)假設(shè)易感捕食者僅捕食幼年食餌。

模型(3)滿足的初始條件為

其中φ1(?)和?(?)為[?τ,0]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。由文獻(xiàn)[14]可知，模型(3)和(4)存在唯一的正解。

1 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

時，模型(3)存在無病平衡點(diǎn)E′(x′1,x′2,S′,0)，這里

1.1 正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性及其Hopf 分支

假設(shè)R2>1 成立，則模型(3)在點(diǎn)E+處的特征方程有下面形式

這里

如果τ=0，由(5)式可得

假設(shè)d2γ>rr1，則下面不等式成立+

由Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則[15]，此時，E+局部漸近穩(wěn)定。

如果λ=±iν(ν>0)是方程(5)的根，將λ=iν代入(5)，有下面方程

其中

設(shè)y=ν2，由方程(7)可得

1.2 邊界平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

由特征值理論易證，當(dāng)R0< 1 時，系統(tǒng)滅絕平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1 時，E0不穩(wěn)定。假設(shè)R0>1 成立，直接計算可得，模型(3)在E?處有下面特征方程

顯然，方程(10)有一個實(shí)根λ=βS′?d4?δ。若R2<1，則λ<0?，F(xiàn)在考慮下面方程

如果τ=0，則有

由(12)式可得

若αd2>rr1，則有?2>0 且?3>0。類似于定理1 的討論，可知E′局部漸近穩(wěn)定。

綜合上面的分析，可以得到下面定理。

定理2 對于模型(3)，有：

(i) 當(dāng)R0<1 時，E0局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1 時，E0不穩(wěn)定；

(ii) 假設(shè)R0>1 成立，則當(dāng)R1<1 時，E?局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R1>1 時，E?不穩(wěn)定；

(iii) 假設(shè)R1> 1 且αd2>rr1成立，則當(dāng)R2< 1 時，E′局部漸近穩(wěn)定，當(dāng)R2>1 時，E′不穩(wěn)定。

2 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

本節(jié)我們討論模型(3)的永久持續(xù)生存和滅絕問題，即模型(3)的各個平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

2.1 正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

引理1 對充分大的t，存在常數(shù)C>0 和C1>0，使得

求χ(t)的導(dǎo)數(shù)，可得

其中C1同引理1。

證明 對任意的ε>0，由引理1 可知，存在t0>0，使得t>t0時，S(t)

由此不等式組可知

引理2 得證。

定理3 設(shè)模型(3)和條件(4)的任一解為(x1(t),x2(t),S(t),I(t))，若R2>1，且

證明 易證，模型(3)具有下面形式

令

由(14)式可知

2.2 邊界平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理4 設(shè)模型(3)和條件(4)的任一解為(x1(t),x2(t),S(t),I(t))，若R0< 1，則E0全局漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)將滅絕。

證明 由定理2 可得，當(dāng)R0< 1 時，E0局部漸近穩(wěn)定，故這里僅需證明E0是全局吸引的。定義

在A0上考慮模型(3)的解可得

因此x2(t) = 0，即A0的唯一不變集A0={(0,0,0,0)}。類似于定理3 可知E0是全局吸引的，進(jìn)而全局穩(wěn)定。

定理5 設(shè)R0>1，若R1<1，則E?全局漸近穩(wěn)定，即捕食者種群滅絕。

證明 設(shè)模型(3)和條件(4)的任一解為(x1(t),x2(t),S(t),I(t))，由定理2 可知，若R1<1，E?局部漸近穩(wěn)定，故這里僅需證明E?是全局吸引的。易知，模型(3)可寫為下面形式

由(18)式可知

類似于定理3 的討論，可以得到E?是全局吸引的，進(jìn)而全局穩(wěn)定。

定理6 設(shè)R1>1, αd2>r1r，若R2<1，且

其中求F21(t)的導(dǎo)數(shù)有

由(20)式可知

類似于定理3 的討論，可以得到E′是全局吸引的，進(jìn)而全局穩(wěn)定。

3 討論

本文研究一個捕食者種群染病、食餌種群具有階段結(jié)構(gòu)的生態(tài)-流行病模型的動力學(xué)性質(zhì)，討論了由易感捕食者種群的妊娠期引起的時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。通過LaSall 原理，分別得到了模型(3)的正平衡點(diǎn)(地方病平衡點(diǎn))和邊界平衡點(diǎn)全局吸引的充分條件。由定理3 可知，若R2> 1 且(H1)成立，即幼年食餌為捕食者提供了足夠的食物時，食餌種群和捕食者種都會持續(xù)生存，即疾病轉(zhuǎn)化為地方病。由定理4 可知，若R0<1，食餌種群和捕食者種群均走向滅絕。由定理5 可知，若R0> 1 且R1< 1，食餌種群將永久持續(xù)生存但捕食者種群將走向滅絕。由定理6 可知，R1> 1, R2< 1 且(H2)成立，食餌種群和易感捕食者種群將會持續(xù)生存，而染病捕食者種群將走向滅絕，即傳染病將停止蔓延。