基于不變矩的書法真?zhèn)舞b定方法研究

姬 靜

(1. 西安交通大學(xué)檔案館、博物館，西安 710049;2. 西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

0 引言

我國(guó)是四大文明古國(guó)之一，五千年的文明為我們留下了豐富的文化遺產(chǎn)，其中書法作品更是歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，情況也最為復(fù)雜。為了能夠更加深入的挖掘書法作品的藝術(shù)價(jià)值，為歷史研究和書法收藏提供有效依據(jù)，書法作品的真?zhèn)舞b定顯得尤為重要，它不僅是書法史以及書法藝術(shù)研究的重要課題之一，也是一直以來困擾書法作品收藏界的難題。

一直以來，書法作品的真?zhèn)舞b定問題都被歸屬于藝術(shù)領(lǐng)域。專家鑒定法依然是當(dāng)前主流的書法真?zhèn)舞b定方法。其主要做法為：專家根據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，從書法作品的藝術(shù)風(fēng)格、時(shí)代風(fēng)格、個(gè)人風(fēng)格、書法內(nèi)容、筆法、結(jié)構(gòu)、章法以及題款、印章、材質(zhì)等方面入手，進(jìn)行綜合判定[1]。由于偽作與真跡會(huì)存在局部上的細(xì)微差異，專家只能將作品的局部區(qū)域與真作一一比對(duì)，不要說一些巨幅作品，就是常見的書法作品，要將所有區(qū)域進(jìn)行分別比對(duì)，可想而知其工作量是多么龐大，如此繁重工作反而更容易造成鑒定結(jié)果準(zhǔn)確率的降低，因此，該方法不僅耗時(shí)耗力，而且準(zhǔn)確率不高。另一方面，該方法主要依靠鑒定專家的個(gè)人主觀因素，缺乏可以量化的，客觀的鑒定指標(biāo)，對(duì)于同一幅書法作品，不同的專家可能會(huì)給出截然相反的鑒定結(jié)果，容易引起爭(zhēng)議。伴隨著數(shù)字化、智能化時(shí)代的到來，國(guó)內(nèi)外一些著名大學(xué)及研究機(jī)構(gòu)，例如：澳大利亞昆士蘭理工大學(xué)、新加坡管理大學(xué)、賓夕法尼亞州立大學(xué)、浙江大學(xué)、北京交通大學(xué)、中科院計(jì)算所等單位的研究學(xué)者已經(jīng)在中國(guó)書法作品的自動(dòng)分類、自動(dòng)識(shí)別等領(lǐng)域開展了一些探索與研究[2–3]，這些研究使得書法鑒定專家進(jìn)行書法分類、檢索的時(shí)間得到了極大節(jié)省，可以將其精力及工作的重心放到書法真?zhèn)巫R(shí)別與鑒定上。另一方面，基于深度學(xué)習(xí)的圖像識(shí)別技術(shù)是數(shù)字圖像研究領(lǐng)域的一個(gè)重要分支與研究方向，并且在近幾十年來得到了極大的發(fā)展，在人臉識(shí)別、條形碼識(shí)別、交通信息化及計(jì)算機(jī)視覺等諸多領(lǐng)域，該技術(shù)均得以應(yīng)用[4–5]。因此，本文也將基于深度學(xué)習(xí)的圖像識(shí)別技術(shù)應(yīng)用于書法真?zhèn)舞b定，從多個(gè)方面分析其結(jié)果并與本文所提出的方法進(jìn)行比對(duì)。

目前常見的書法仿制手段有三種：高仿印刷、臨摹和兩者混搭。由于書法仿制手段的發(fā)展，即使是對(duì)相同版面、相同內(nèi)容的兩幅書法作品進(jìn)行真?zhèn)舞b定，依靠人工及肉眼已很難識(shí)別，然而，真?zhèn)螘ㄗ髌凡豢杀苊獾拇嬖谛螤钌霞?xì)微差異，盡管肉眼難以察覺。本文的研究主要針對(duì)上述問題，將模式識(shí)別領(lǐng)域中的不變矩應(yīng)用于書法真?zhèn)舞b定，提出了形狀真實(shí)度的概念，分析比較了七種常用不變矩的形狀真實(shí)度性能，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，由Hu 矩計(jì)算的形狀真實(shí)度性能最佳，能夠識(shí)別出肉眼不易觀察的細(xì)節(jié)差異。能夠?yàn)闀ㄨb定提供科學(xué)可靠的輔助手段，具有一定借鑒意義。

1 形狀真實(shí)度

本文提出的形狀真實(shí)度概念基于模式識(shí)別領(lǐng)域中的不變矩。目前常用的不變矩包括Hu 矩、Zernike 矩、Pseudo-Zernike 矩、Legendre 矩、Fourier-Mellin 矩、Tchebichef矩和Krawtchouk 矩。

1.1 Hu 矩

Hu 矩是一種經(jīng)典的不變矩，在1962 年由Hu 提出[6]，具有平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性。對(duì)于圖像f(x,y)，其p+q階幾何矩的定義為

p+q階中心距的定義為

其中(ˉx,ˉy)為圖像的重心坐標(biāo)，滿足

歸一化的中心距定義為

Hu 根據(jù)歸一化的中心距構(gòu)造了7 個(gè)不變矩

1.2 Zernike 矩

Zernike 矩是一種無信息冗余的連續(xù)正交矩，廣泛應(yīng)用于圖像重建、目標(biāo)識(shí)別、數(shù)字水印、邊緣檢測(cè)、圖像檢索等領(lǐng)域。對(duì)于圖像f(x,y)，重復(fù)率為q的p階Zernike 矩的定義為[7]

該式須滿足條件(p ?|q|)為非負(fù)偶數(shù)。式(5)中，f(ρ,θ)為圖像f(x,y)的極坐標(biāo)形式；(ρ,θ)為Zernike 多項(xiàng)式Vpq(ρ,θ)的共軛復(fù)數(shù)，Zernike 多項(xiàng)式的定義為

1.3 Pseudo-Zernike 矩

與Zernike 矩相比，Pseudo-Zernike 矩具有更好的特征表現(xiàn)性和噪聲穩(wěn)定性[8]。Pseu do-Zernike 矩的形式與Zernike 矩的形式相似，僅需將Zernike 多項(xiàng)式換為Pseudo-Zernike多項(xiàng)式。Pseudo-Zernike 多項(xiàng)式的定義為[9]

該式只需滿足(p ?|q|)為非負(fù)整數(shù)。

1.4 Legendre 矩

Legendre 矩也是一種使用廣泛的連續(xù)正交矩，(p+q)階Legendre 矩的定義為[10]

其中Pp(x)為p階Legendre 多項(xiàng)式，其定義為

1.5 Fourier-Mellin 矩

正交Fourier-Mellin 矩是一種廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、邊緣檢測(cè)等領(lǐng)域的連續(xù)正交矩。對(duì)于圖像f(x,y)，重復(fù)率為q的p階Fourier-Mellin 矩的定義為[11]

其中Qp(ρ)為ρ的p階多項(xiàng)式，其定義為

1.6 Tchebichef 矩

Tchebichef 矩是由Mukundan 等人[12]提出的離散正交矩。對(duì)于寬度為M、高度為N的圖像f(x,y)，(p+q)階Tchebichef 矩的定義為

該迭代關(guān)系的初始值為

?ρ(p,M)的表達(dá)式為

1.7 Krawtchouk 矩

Krawtchouk 矩是由Yap 等人[13]提出的離散正交矩，對(duì)于寬度為、高度為N的圖像f(x,y)，(p+q)階Krawtchouk 矩的定義為

該遞推關(guān)系的初始值為

其中w(x;m,M ?1)為加權(quán)函數(shù)，滿足迭代關(guān)系

迭代關(guān)系的初始值為

由于不變矩能夠描述圖像中物體的形狀特征[15]，根據(jù)兩幅圖像之間不變矩的差異，定義圖像A 中物體相對(duì)于圖像B 中物體的形狀真實(shí)度

2 書法真?zhèn)舞b定方法

本文提出的書法真?zhèn)舞b定模型由硬件與軟件兩個(gè)系統(tǒng)構(gòu)成，硬件裝置由本項(xiàng)目組自行研發(fā)設(shè)計(jì)，是專門針對(duì)書法作品的高清數(shù)字化掃描設(shè)備，如圖1 和圖2 所示。該設(shè)備采用了兩個(gè)對(duì)書法作品友好的，發(fā)光強(qiáng)度穩(wěn)定且均勻的白色線型光源，該光源發(fā)出的光經(jīng)過高精密的柱狀透鏡聚合后，照射到書法作品的同一掃描區(qū)域。線陣相機(jī)CCD 將該區(qū)域所成的像轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，經(jīng)過圖像采集卡量化處理后，形成數(shù)字圖像并存儲(chǔ)于計(jì)算機(jī)中，其實(shí)現(xiàn)了光信號(hào)到電信號(hào)再到數(shù)字圖像的信號(hào)轉(zhuǎn)換。

圖1 書法作品高清數(shù)字掃描設(shè)備硬件裝置圖

圖2 書法作品高清數(shù)字掃描設(shè)備硬件原理圖

由于本系統(tǒng)采用的是CCD 線陣相機(jī)，它一次只能采集一行掃描對(duì)象的高清晰圖像。因此，為了獲得一幀圖像，光學(xué)系統(tǒng)(由光學(xué)鏡頭與線陣CCD 相機(jī)組成)需要沿著主掃描方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)以實(shí)現(xiàn)對(duì)掃描對(duì)象的全部數(shù)據(jù)采集。軟件系統(tǒng)的鑒定流程圖如圖3 所示。

圖3 基于形狀真實(shí)度的書法真?zhèn)舞b定方法的流程圖

通過掃描設(shè)備獲取待鑒定書法作品和目標(biāo)書法作品的圖像信息，首先對(duì)待鑒定書法作品的圖像和目標(biāo)書法作品的圖像進(jìn)行預(yù)處理。由于光學(xué)數(shù)碼設(shè)備獲取的圖像含有鏡頭畸變，故在預(yù)處理過程中需要進(jìn)行鏡頭畸變校正[16]。此外，還要消除其他因素如亮度、顏色的影響，本文采取了圖像二值化的處理方式。但是我們所采集的書法作品往往年代久遠(yuǎn)，污漬、破損等情況不可避免，這些大大增加了預(yù)處理的困難和麻煩。這是因?yàn)槲蹪n及破損區(qū)域，通過數(shù)字掃描表現(xiàn)在圖像上，其灰度值與書法作品本身的文字的灰度值相差不大，使得二值化的效果大大降低。Otsu、Sauvola、Kittler、Niblack、自適應(yīng)閾值[17–18]都是目前主流的二值化算法。其中，自適應(yīng)閾值方法是通過灰度直方圖來確定二值化閾值的方法。其確定的閾值和最終得到的灰度圖像密切相關(guān)于不同灰度值圖像的像素?cái)?shù)目。具體說來，首先計(jì)算圖像中不同灰度值所對(duì)應(yīng)的像素總數(shù)，對(duì)書法作品而言，總體上講基本是白底黑色，但是因?yàn)槟甏眠h(yuǎn)等因素的影響，存在紙張泛黃等現(xiàn)象，盡管如此，其灰度直方圖仍然會(huì)存在兩個(gè)較為明顯的峰值，我們將兩個(gè)峰值中間的最低點(diǎn)的灰度值作為二值化的閾值，大大提升了二值化的效果，這是由于該閾值使得灰度值較大的像素的數(shù)目與灰度值較小的像素的數(shù)目恰好同時(shí)達(dá)到最大，這樣不僅最大程度地保持了書法筆劃的細(xì)節(jié)特征，并且由于所掃描的文字源圖像一般灰度值變化不大，比較平緩，這樣的像素點(diǎn)就會(huì)統(tǒng)一被處理，在最終獲得的二值化圖像中，文字邊緣不易產(chǎn)生毛刺等現(xiàn)象，作品的紋理特征會(huì)更好的呈現(xiàn)出來。綜上，本文選取自適應(yīng)閾值二值化方法。兩幅圖像經(jīng)預(yù)處理后，計(jì)算待鑒定書法作品圖像相對(duì)于目標(biāo)書法作品圖像的形狀真實(shí)度，如果該值大于形狀真實(shí)度的閾值，則判斷待鑒定書法作品為真，反之則為假。書法形狀真實(shí)度閾值的選取通常需要一定的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于不同的書法作品應(yīng)取不同的閾值，閾值的選取需要考慮平移、旋轉(zhuǎn)和縮放變換對(duì)圖像形狀真實(shí)度的影響，具體方法見3.2 節(jié)。

3 形狀真實(shí)度的性能分析

在進(jìn)行書法真?zhèn)舞b定時(shí)，由于拍攝條件不可能完全相同，獲取的待鑒定書法作品圖像和目標(biāo)書法作品圖像之間會(huì)存在位置、角度和比例上的差異，即便經(jīng)過圖像變換處理也不能將這種差異完全消除，因此有必要對(duì)形狀真實(shí)度的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性進(jìn)行分析。除此之外，還需討論形狀真實(shí)度對(duì)書法形狀差異的識(shí)別能力，識(shí)別書法形狀差異是實(shí)現(xiàn)書法真?zhèn)舞b定的依據(jù)。本研究分別針對(duì)形狀真實(shí)度的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性分析以及形狀真實(shí)度對(duì)于書法差異的識(shí)別能力兩方面設(shè)計(jì)了專門的軟件系統(tǒng)，用于進(jìn)行形狀真實(shí)度的性能分析，以此說明本文所提出的圖像形狀真實(shí)度方法對(duì)于書法真?zhèn)舞b定的借鑒意義及實(shí)用價(jià)值。

3.1 平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性

理想的形狀真實(shí)度應(yīng)只與兩幅圖像的形狀有關(guān)，而與圖像的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放變換無關(guān)。但在實(shí)際應(yīng)用中，由各矩計(jì)算的形狀真實(shí)度并不具有理想的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性。因此，需為形狀真實(shí)度選取具有平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性的最佳矩。為測(cè)試各矩計(jì)算的形狀真實(shí)度的不變性，設(shè)計(jì)了如圖4 所示的程序框架結(jié)構(gòu)，采用了如圖5 所示的實(shí)驗(yàn)對(duì)象，圖5(a)至圖5(d)分別為永字行書、永字隸書、勤字行書、勤字隸書的圖像。

圖4 形狀相似度計(jì)算程序的結(jié)構(gòu)框架

圖5 形狀真實(shí)度不變性測(cè)試的實(shí)驗(yàn)對(duì)象

實(shí)驗(yàn)中所有圖像的尺寸均為1 000×1 000 像素，平移變換實(shí)驗(yàn)中采用的平移向量為(100,0)、(100,100)、(0,100)、(?100,100)、(?100,0)、(?100,100)、(0,?100)、(100,?100)，將這八組平移實(shí)驗(yàn)中的最小形狀真實(shí)度作為衡量平移不變性的性能指標(biāo)。在旋轉(zhuǎn)和縮放變換實(shí)驗(yàn)中，考慮到實(shí)際進(jìn)行書法鑒定時(shí)多為用同一數(shù)碼設(shè)備獲取的圖像，實(shí)驗(yàn)采用了小角度旋轉(zhuǎn)和小比例縮放，旋轉(zhuǎn)的角度為±5?和±10?，縮放比例為0.9 倍、0.95 倍、1.05 倍和1.1 倍，將旋轉(zhuǎn)和縮放實(shí)驗(yàn)中的最小形狀真實(shí)度作為衡量旋轉(zhuǎn)不變性和縮放不變性的性能指標(biāo)。

此外，實(shí)驗(yàn)還計(jì)算了平移、旋轉(zhuǎn)和縮放變換的綜合不變性

其中ST、SR和SS分別為真品書法圖像在平移、旋轉(zhuǎn)和縮放中的最小形狀真實(shí)度。將三種變換的形狀真實(shí)度差異累加，即是圖像變換中的最大差異，據(jù)此可計(jì)算出圖像在復(fù)合變換中的最小形狀真實(shí)度，以此作為綜合不變性的性能指標(biāo)。綜合不變性越趨近于100%，說明平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性越好。實(shí)驗(yàn)中各矩的綜合不變性如表1 所示，表中Zer 矩代表Zernike 矩，Pse 矩代表Pseudo-Zernike 矩，Leg 矩代表Legendre 矩，F(xiàn)ou 矩代表Fourier-Mellin 矩，Tch 矩代表Tchebichef 矩，Kra 矩代表Krawtchouk 矩。從表1 可以看出，由Hu 矩計(jì)算的形狀真實(shí)度在各組實(shí)驗(yàn)中的綜合不變性均能達(dá)到99%以上，高于其他矩計(jì)算的形狀真實(shí)度。這意味著由Hu 計(jì)算的形狀真實(shí)度具有最佳的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性。因此，Hu 矩是描述形狀真實(shí)度的最佳矩。

表1 由各不變矩計(jì)算的形狀真實(shí)度的不變性比較

3.2 書法形狀差異的識(shí)別能力

為測(cè)試形狀真實(shí)度對(duì)書法形狀差異的識(shí)別能力，采用圖6 所示的書法對(duì)本文提出的形狀真實(shí)度進(jìn)行測(cè)試。

圖6 書法形狀差異的識(shí)別能力測(cè)試對(duì)象

從圖6 可以看出，真品書法作品與贗品書法作品之間差別很小，不易用肉眼辨別。實(shí)驗(yàn)中分別將真品《清靜無為》書法作品、贗品《清靜無為》書法作品、真品《誡子書》書法作品和贗品《誡子書》書法作品作為待鑒定書法作品，計(jì)算待鑒定書法作品圖像相對(duì)于真品書法作品圖像的形狀真實(shí)度，以及由式(22)計(jì)算的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放綜合不變性，結(jié)果如表2 所示。由式(22)計(jì)算的綜合不變性反映了圖像平移、旋轉(zhuǎn)和縮放過程中的最小形狀真實(shí)度，可將該值作為識(shí)別書法形狀差異的閾值。當(dāng)待鑒定書法作品圖像相對(duì)于目標(biāo)書法作品圖像的形狀真實(shí)度大于該值時(shí)，判斷待鑒定書法作品為真；否則，則判斷待鑒定書法作品為假。從表2 可以看出，真品《清靜無為》書法作品的形狀真實(shí)度大于綜合不變性閾值，鑒定結(jié)果為真品；贗品《清靜無為》書法作品的形狀真實(shí)度小于綜合不變性閾值，鑒定結(jié)果為贗品；真品《誡子書》書法作品的形狀真實(shí)度大于綜合不變性閾值，鑒定結(jié)果為真品；贗品《誡子書》書法作品的形狀真實(shí)度小于綜合不變性閾值，鑒定結(jié)果為贗品；以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際情況一致。

表2 書法形狀差異的識(shí)別能力的測(cè)試結(jié)果

進(jìn)一步，為了驗(yàn)證系統(tǒng)的鑒別能力和系統(tǒng)性能，在測(cè)試系統(tǒng)的過程中，我們針對(duì)包含真?zhèn)蔚?84 幅書法作品，分別使用了專家鑒定法，基于深度學(xué)習(xí)技術(shù)的鑒定方法以及本文提出的方法進(jìn)行測(cè)試比較，在實(shí)驗(yàn)中采用的是交叉驗(yàn)證的方法，即：將184 幅樣本中的183 幅作為訓(xùn)練集，建立模型，剩余1 幅作為測(cè)試集，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。如此分別輪換測(cè)試集和訓(xùn)練集，完成對(duì)所有樣本的訓(xùn)練與檢驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果如下。

1) 鑒定準(zhǔn)確率

2) 鑒定時(shí)間開銷

為了說明鑒定系統(tǒng)的效率，我們?cè)谏鲜鰧?shí)驗(yàn)中測(cè)試了三種方法的時(shí)間開銷。測(cè)試結(jié)果見表4，從表4 中可以看出，本文所提出的方法的平均鑒定時(shí)間開銷為15.17 ms，與其他兩種方法相比，鑒定效率最高，具有明顯優(yōu)勢(shì)。

表3 書法作品鑒定準(zhǔn)確率驗(yàn)證結(jié)果

表4 書法作品鑒定效率驗(yàn)證結(jié)果

3) 抗干擾性

為了進(jìn)一步驗(yàn)證三種方法在鑒定過程中的抗干擾性能，我們對(duì)上述測(cè)試樣本分別添加了隨機(jī)噪聲，使用以上三種方法鑒定真?zhèn)?，以此來?yàn)證并對(duì)比三種方法的抗干擾性能。結(jié)果如表5 所示，可以看出，本文方法鑒定準(zhǔn)確率略有降低，但是影響不大，仍是可接受范圍。需要注意的是，由于不變矩不具有理想的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性，當(dāng)一幅贗品書法作品的形狀無限接近于真品書法作品時(shí)，會(huì)存在形狀真實(shí)度無法區(qū)分兩幅書法作品形狀差異的情況。盡管如此，由Hu 矩計(jì)算的形狀真實(shí)度仍可以識(shí)別出肉眼不易觀察的書法作品細(xì)節(jié)差異，具有較好的實(shí)用價(jià)值。

表5 書法作品鑒定抗干擾性能驗(yàn)證結(jié)果

4 結(jié)論與展望

本文將模式識(shí)別領(lǐng)域中的不變矩應(yīng)用于書法作品真?zhèn)舞b定，提出了形狀真實(shí)度的概念，用該指標(biāo)衡量待鑒定書法作品圖像相對(duì)于真品書法作品圖像的形狀真實(shí)程度，通過設(shè)定閾值的方法對(duì)書法作品的真?zhèn)芜M(jìn)行鑒定。文中分析比較了Hu 矩、Zernike 矩、Pseudo-Zernike 矩、Legendre 矩、Fourier-Mellin 矩、Tchebichef 矩和Krawtchouk 矩等七種常見不變矩的形狀真實(shí)度的性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Hu 矩是描述形狀真實(shí)度的最佳矩，并且該系統(tǒng)通過高清晰、高精度、高保真的書法作品的圖像采集與處理，進(jìn)一步保證了鑒定的可靠性，由于不可避免的存在噪聲等因素的影響，系統(tǒng)的確存在誤判，但是誤判率較低，且該系統(tǒng)能夠識(shí)別出肉眼不易觀察的細(xì)節(jié)差異。通過與主流的專家鑒定方法相比：是鑒定書法作品真?zhèn)蔚妮o助依據(jù)，可以提高書法作品鑒定的效率與可信性，與基于深度學(xué)習(xí)的真?zhèn)巫R(shí)別方法對(duì)比，該方法的鑒定準(zhǔn)確率高，鑒定時(shí)間開銷短，且抗干擾性好。在書法真?zhèn)舞b定中具有較好的實(shí)用價(jià)值。本文將模式識(shí)別領(lǐng)域與書法作品真?zhèn)舞b定的結(jié)合與應(yīng)用做了一些探討和嘗試，實(shí)驗(yàn)證明該方法的可行性，后續(xù)可考慮由近及遠(yuǎn)，對(duì)當(dāng)代及近現(xiàn)代的書法作品，采用高精度的數(shù)字化掃描及拍攝手段，建立書法作品數(shù)字化數(shù)據(jù)庫(kù)，通過本文提出的方法，可對(duì)庫(kù)中的書法特征進(jìn)行對(duì)比與匹配，從而為專家鑒定書法提供一種科學(xué)可靠的輔助手段，具有一定借鑒意義。進(jìn)一步地，應(yīng)用本文的方法如何解決同一書法風(fēng)格不同書法作品的真?zhèn)舞b定問題，以及書法風(fēng)格隨著年齡而逐漸變化的書法作品的真?zhèn)舞b定問題，有待后續(xù)下一步的研究與拓展。