一類一維齊次Moran集的維數(shù)結(jié)果

喬育,付曉慧,李彥哲

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣西南寧530004)

0 引言

本文利用一維齊次Moran集的基本區(qū)間形成的連通分支, 定義一類特殊的比齊次完全集與{mk}-擬齊次Cantor 集更廣泛的一維齊次Moran集，即{mk}-齊次Moran 集, 并得到了該類集合packing維數(shù)與上盒維數(shù)一些結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]一維齊次Moran集。設(shè)I為R上的非空閉區(qū)間, 集合A的直徑記為|A|,A的內(nèi)部記為int(A)。

稱I的閉區(qū)間族Fk={Iσ:σ∈Dk}滿足一維齊次Moran結(jié)構(gòu)(I,{nk},{ck})。 若I?=I，對(duì)?σ∈Dk-1,則Iσ*1,Iσ*2,…,Iσ*nk是Iσ的閉子區(qū)間, 且int(Iσ*i)∩int(Iσ*j)=?對(duì)?i≠j成立; |Iσ*j|/|Iσ|=ck對(duì)任意1≤j≤nk+1成立。

關(guān)于一維齊次Moran集的更多內(nèi)容見(jiàn)參考文獻(xiàn)[7-11]。

不失一般性，本文假設(shè)Iσ*1,Iσ*2,…,Iσ*nk從左往右排列。

為進(jìn)一步研究一維齊次Moran集的維數(shù)性質(zhì), 本文利用由基本區(qū)間形成的連通分支定義一類特殊的一維齊次Moran集，即{mk}-齊次Moran集。

定義2{mk}-齊次Moran集。設(shè)E∈M(I,{nk},{ck}), 滿足對(duì)?k≥1,σ∈Dk-1,Iσ*1,Iσ*2,…,Iσ*nk任意連接形成mk(1≤mk≤nk)個(gè)連通分支, 從左往右排列記為Jσ*1,Jσ*2,…,Jσ*mk(稱它們?yōu)閗階連通分支), 稱E為由I,{nk}k≥1,{ck}k≥1定義的{mk}-齊次Moran集。 用L*(I,{nk},{mk},{ck}) 表示由I,{nk}k≥1,{ck}k≥1定義的{mk}-齊次Moran集構(gòu)成的集族。

2 主要結(jié)果

設(shè)?k≥1,σ∈Dk-1,記

定理1設(shè)E∈L*(I,{nk},{mk},{ck}), 如果supk{mk}<∞, 則

(1)

注1{mk}-擬齊次Cantor集[6]一定為{mk}-齊次Moran集, 因此定理1推廣了文獻(xiàn)[6]中定理2.3的結(jié)果。

(2)

由定理2可立得下面的推論。

推論1設(shè)E是定理2中的{mk}-齊次Moran集, 若Lk=Rk=0對(duì)?k≥1成立, 則

(3)

3 定理1和定理2的證明

下面2個(gè)引理是證明定理1和定理2的關(guān)鍵。

引理1[1]設(shè)E∈M(I,{nk},{ck})為一維齊次Moran集, 則

引理2[12]設(shè)E∈L*(I,{nk},{mk},{ck}), 則

3.1 定理1的證明

(4)

(5)

3.2 定理2的證明

先估計(jì)公式(2)右邊不等式。

即

(6)

注意到δk≤2-k,mk+1≤2mk, 結(jié)合公式(5)、(6)有

下面估計(jì)公式(2)左邊不等式。

命題2 設(shè)E∈L*(I,{nk},{mk},{ck})滿足定理2條件,則

故

從而有

(7)

(8)

(9)

故

類比條件②下的分析, 可得

(10)

當(dāng)k→∞時(shí), 有rk→0, 利用公式(7)至公式(10)，有

綜合命題1和命題2可推出定理2成立。

4 結(jié)論

本文證明{mk}-齊次Moran集的packing維數(shù)和上盒維數(shù)在supk{mk}<∞時(shí)可達(dá)到所有一維齊次Moran集對(duì)應(yīng)維數(shù)的最小值，推廣文獻(xiàn)[6]的結(jié)論,并給出該類集合的上盒維數(shù)在一些條件下的取值范圍,同時(shí)找到其達(dá)到準(zhǔn)確值的一個(gè)充分條件，在一定條件下推廣文獻(xiàn)[4]的結(jié)論。