二維外問題的高階直接間斷 Galerkin與自然邊界元耦合法

柏思宇, 黃紅英

(浙江海洋大學(xué) 信息工程學(xué)院,浙江 舟山 316022)

設(shè)Ω是平面上多邊形Γ0外部區(qū)域,Ω0是平面上的多邊形區(qū)域,Γ0=?Ω0,考慮一類Poisson方程外問題:

圖1 區(qū)域

(1)

u=g,(x,y)∈Γ0,

(2)

u(x,y)=O(1),當(dāng)|(x,y)|→∞.

(3)

假設(shè)f具有緊支集.引入圓周Γ={(r,θ):r=R,0≤θ<2π}作為人工邊界,將區(qū)域R2

-Δui=f在Ω內(nèi),ui=g在Γ0上

(4)

和外部區(qū)域Ωe上的Laplace方程

-Δue=0在Ωe內(nèi),ue(x)=O(1),當(dāng)|x|→∞，

(5)

即Γ上的傳輸條件

(6)

其中n表示Γ上的單位外法向量,指向區(qū)域Ωe.

已有很多方法求解問題(1)～(3),如有限元與邊界元的耦合法[1-2],間斷Galerkin 與邊界元的耦合法[3-7].如果耦合邊界是曲線時,以往文獻都是用直邊三角形逼近曲邊三角形,只有線性多項式逼近才能得到最優(yōu)誤差階,但用高階多項式逼近時,達不到最優(yōu)誤差階[8].本文中，筆者考慮的耦合界面為圓周,對內(nèi)部有界區(qū)域Ω進行三角形剖分,與圓周相鄰的三角形為曲邊三角形,利用曲邊單元上的跡定理、逆估計和多項式逼近誤差估計,獲得含曲邊單元的耦合變分問題的解的適定性和當(dāng)用二次及以上多項式逼近時近似解在能量模下能達到最優(yōu)誤差階.間斷Galerkin與所有邊界元的耦合法,通常做直接的耦合,這樣的耦合可保證耦合變分問題的對稱性,但邊界元歸化涉及超奇異積分,要求逼近的多項式在該邊界上連續(xù),與有界區(qū)域內(nèi)部用間斷Galerkin法所用的逼近多項式的間斷性不相符.若要求內(nèi)部區(qū)域逼近的多項式在該邊界上連續(xù),會給數(shù)值實現(xiàn)帶來比較大的困難.

采用文獻[6]提出的基于Dirichlet邊值的耦合法(DB),用直接間斷Galerkin法求解帶耦合邊界上的Dirichlet邊值的內(nèi)部區(qū)域上的問題,再結(jié)合耦合邊界上的DtN條件,獲得耦合的弱變分問題.然后內(nèi)部區(qū)域上可用分片多項式逼近,耦合邊界上的DtN算子中涉及的解用在該邊界連續(xù)的分片多項式逼近,既保留了間斷Galerkin方法的間斷性特點又能使DtN條件有意義.

采用Sobolev空間說明如下,O是一個區(qū)域和s∈R,用|·|s,o和‖·‖s,o分別表示Sobolev空間Hs(O)中的半范數(shù)和范數(shù)，用(·,·)表示L2(Γ)內(nèi)積.

1 直接間斷Galerkin與自然邊界元的耦合法

本部分給出耦合的變分問題.首先通過自然邊界歸化原理得到圓周Γ外部區(qū)域Laplace方程的自然積分方程,然后給出有界區(qū)域Ω上的Poisson方程的直接間斷Galerkin方法的變分形式,最后把它們結(jié)合獲得耦合的變分形式.

1.1 圓周外區(qū)域的自然邊界積分方程

考慮問題

-Δue=0,(x,y)∈Ωe,ue(x)=O(1),當(dāng)|x|→∞.

用Green公式可得

(7)

其中G(x,y)是如下問題的解

根據(jù)自然邊界歸化原理,ue在Γ的外法向?qū)?shù)為[2]

(8)

其中n表示Γ上的單位外法向(指向Ω的內(nèi)部).利用傅里葉變換,得到級數(shù)形式

(9)

定義下列函數(shù)空間

其范數(shù)為

(10)

引理1[2]存在正常數(shù)α,β使得

1.2 內(nèi)部有界區(qū)域上的DDG形式

下面考慮用直接間斷Galerkin方法求解有界區(qū)域Ω上的問題

-Δui=f,在Ω內(nèi),

(11)

ui=g,在Γ0上,

(12)

ui=ue,在Γ上,

(13)

(14)

定義函數(shù)集合

(15)

直接間斷Galerkin方法求解的問題的單元形式為

(16)

對于邊界條件(14),得

(17)

其中最后一項是穩(wěn)定項.

1.3 耦合的DDG-NBEM形式

定義如下函數(shù)空間

(18)

2 耦合的變分問題的適定性

下面列出了解空間Vh的跡不等式和反不等式,直邊三角形內(nèi)的相關(guān)結(jié)果可參考文獻[8-9].

當(dāng)單元K的一邊為曲邊,且該曲邊屬于C2時,上述結(jié)果也成立[10-12].

當(dāng)K的一邊為曲邊且該曲邊屬于C2時,上述結(jié)果也成立[10-12].

接下來,建立雙線性型B(·,·;·,·)的連續(xù)性和強制性和變分問題(18)的解的適定性,詳細證明可參見文獻[13].

(19)

(20)

(21)

而

結(jié)合上兩式,可得

從而可得正交性.

3 誤差估計

本部分給出變分問題(18)解的誤差估計.對任意的直邊三角形K,IKu為u在三角形K內(nèi)的k次插值多項式.假設(shè)u∈Hk+1(K)且有插值誤差估計

(22)

(23)

引理5若K為一邊e在人工邊界圓周上的曲邊三角形.假設(shè)u∈Hk+1(K),則仍有下列插值誤差估計

這里的插值多項式IKu仍為u在以K的3個頂點為頂點的直邊三角形內(nèi)的插值多項式的延拓或限制.

證由正交性(21)和有界性(19),有

這樣有

由文獻[14]及(22)和(23)可得

‖u-IKu‖a≤Chk‖u‖k+1,Ω.

再由網(wǎng)格剖分的擬一致性,引理2和插值誤差(22)和(23)可得

又有插值誤差(23),有

綜上所述可得結(jié)論成立.

4 數(shù)值算例

例1令f=0,g=2xy/(x2+y2)2|Γ0,問題的精確解為u=2xy/(x2+y2)2.相關(guān)結(jié)果見表1和表2.

表1 Ω內(nèi)數(shù)值解的誤差Tab.1 Errors of Numerical Solutions in Ω

表2 耦合邊界Γ上解的誤差Tab.2 Errors of Numerical Solutions on Γ

例2本例是一個界面問題

-Δu1=-2ex+y,(x,y)∈Ω0,

上面的法向指向Ω0的外部.該問題的精確解為u1=ex+y,u2=2xy/(x2+y2)2.根據(jù)精確解可得g0,g1.相關(guān)的數(shù)值結(jié)果見表3，4.

表3 Ω內(nèi)數(shù)值解的誤差Tab.3 Errors of Numerical Solutions in Ω

表4 耦合邊界Γ上解的誤差Tab.4 Errors of Numerical Solutions on Γ

5 結(jié) 論

本文中，筆者運用直接間斷Galerkin與自然邊界元的耦合法求解二維外問題.由于人工邊界上自然邊界歸化得到的自然積分方程要求解屬于H1/2(Γ),導(dǎo)致逼近的多項式必須屬于C(Γ),如果做直接的耦合法,需要求區(qū)域內(nèi)部的逼近多項式在Γ上連續(xù),這與間斷Galerkin法所要求間斷不相符.把人工邊界上的解也作為要求的解,即不僅要求區(qū)域內(nèi)部的解,而且要求人工邊界上的解,但相應(yīng)的算法是非對稱的.

以往的關(guān)于有限元與邊界元的耦合法或間斷Galerkin與邊界元的耦合法的文獻,采用邊界元的邊界一般為多邊形或多面體,但本文考慮的是曲邊邊界,理論上證明了曲邊邊界時也有最優(yōu)的能量模估計,而且數(shù)值例子也說明了能量模和L2模都有最優(yōu)的誤差估計.這表明此方法的有效性以及理論分析的正確性.