食品質(zhì)量檢測中方差分析基本假定問題的實例初探

王晶，劉彭*

山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院（泰安 271018）

在食品的質(zhì)量檢驗中，基于抽檢數(shù)據(jù)對不同品牌或生產(chǎn)商的同類型產(chǎn)品進行合格品率比較是常遇到的基本問題。這里合格品率常指平均值，而在數(shù)據(jù)分析過程中，比較多個總體的平均值所用的方法為方差分析法。方差分析方法是一種在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和生物科學(xué)各領(lǐng)域普遍應(yīng)用的數(shù)據(jù)分析方法，它首先被用于農(nóng)業(yè)試驗，在食品科學(xué)、農(nóng)業(yè)、工業(yè)、醫(yī)藥、生物、心理學(xué)、醫(yī)學(xué)、資源環(huán)境等方面均有廣泛應(yīng)用。在試驗設(shè)計問題中每個試驗處理即為數(shù)理統(tǒng)計中的一個總體，在生產(chǎn)和科學(xué)研究中經(jīng)常會遇到3個或3個以上總體（處理）平均數(shù)的比較問題，此時通常采用方差分析法[1]。方差分析又稱變量分析，是由英國統(tǒng)計學(xué)家R. A. Fisher提出的一種假設(shè)檢驗方法。這種方法的思想是將k個試驗處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異以方差（均方）量化[2]，并按照產(chǎn)生變異的不同來源進行分解，獲得不同變異來源總體方差的估計值，由估計值的適當(dāng)比值來檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否存在顯著差異。在食品的質(zhì)量檢驗中，若不同品牌食品的不合格品率等百分率數(shù)據(jù)不滿足方差分析的基本假定，采用傳統(tǒng)的方差分析方法檢驗結(jié)果很有可能與實際情況嚴(yán)重不符。該文旨在討論此種情形下如何采用合理的統(tǒng)計方法對不合格品率進行檢驗。

1 方差分析的數(shù)學(xué)模型及其基本假定

方差分析是建立在一定數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的，如對單因素完全隨機化試驗設(shè)計等重復(fù)情況下的試驗數(shù)據(jù)進行方差分析，其問題描述如下[3]：

若試驗中共有k個處理，每個處理觀測n次，xij表示來自第i個處理的第j次個觀測值（i=1, 2, …,k,j=1, 2, …,n），所有觀測值共有nk個。記總體平均數(shù)為μ，第i個處理觀測值總體平均數(shù)為μi（i=1, 2, …,k），方差分析方法的分析目的在于比較不同總體的平均數(shù)是否有顯著差異，因此其原假設(shè)可以寫成：

根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，現(xiàn)需構(gòu)造已知分布的統(tǒng)計量對（1）中的H0進行假設(shè)檢驗。

對于觀測值xij可用如下線性可加模型描述：

式中：τi為第i個處理的效應(yīng)；εij為試驗誤差。在線性模型形式下，若試驗誤差εij相互獨立，且均服從正態(tài)分布N（0，σ2），由Cochran定理可以證明[4]在原假設(shè)H0成立時不同變異來源總體方差估計值的比值服從F分布。因此，此時應(yīng)用方差分析方法比較不同處理平均數(shù)是否有顯著差異即為傳統(tǒng)的F檢驗過程。若F檢驗結(jié)果顯著，說明各處理平均值存在顯著差異。

由此可見，經(jīng)典參數(shù)統(tǒng)計中如要進行方差分析，數(shù)據(jù)必須滿足獨立性、正態(tài)性、可加性和方差同質(zhì)性的要求，否則無法直接進行F檢驗過程，這些條件稱為方差分析的基本假定[5]。在實際應(yīng)用中如何檢驗試驗數(shù)據(jù)是否滿足方差分析的基本假定？當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足基本假定時應(yīng)如何處理？通過實際問題為例說明。

2 基本假定的統(tǒng)計檢驗過程

方差分析是在效應(yīng)線性可加、誤差獨立正態(tài)等方差條件下進行的，這些條件稱為方差分析的基本假定。因此在實際應(yīng)用時，需要檢驗數(shù)據(jù)是否滿足基本假定的要求，其中效應(yīng)的線性可加性和誤差獨立性通過試驗數(shù)據(jù)的直觀觀察和合理的試驗設(shè)計可以實現(xiàn)，而誤差的正態(tài)分布及方差同質(zhì)往往是不容易滿足的，應(yīng)重點進行檢驗。由線性模型（2）可知，若隨機誤差εij服從正態(tài)分布且方差同質(zhì)，則相應(yīng)的觀測值xij均來自于正態(tài)分布總體且不同總體方差同質(zhì)。通過例1[6]說明這2個條件的檢驗過程。分析，每種食品隨機抽取5個樣本，統(tǒng)計其不合格品率如表1所示。試用方差分析檢驗四種商品的質(zhì)量是否有顯著差異。

表1 食品質(zhì)量不合格品率抽樣數(shù)據(jù) 單位：%

在例1中，若按照不同品牌食品將合格品率數(shù)據(jù)劃分為4組，在SPSS 22.0[7]中作箱線圖如圖1所示。

圖1 食品質(zhì)量抽樣數(shù)據(jù)箱線圖

由圖1可知，不同品牌食品的不合格品率直觀上來看應(yīng)該有差異，但是若直接按照單因素完全隨機化試驗的數(shù)據(jù)模型（2）進行方差分析，檢驗結(jié)果見表2。F檢驗的顯著性概率p=0.068＞0.05，檢驗結(jié)果為各品牌食品的平均不合格品率不存在顯著差異，與實際情況不符。

表2 不合格品率的方差分析結(jié)果

出現(xiàn)此種矛盾的主要原因是表1中的數(shù)據(jù)實際上并不符合方差分析的基本假定，因此直接應(yīng)用模型（2）進行方差分析檢驗無法檢驗處多個總體均值的差異顯著性。

若要根據(jù)實際數(shù)據(jù)檢驗方差分析的基本假定是否滿足，可綜合應(yīng)用各類統(tǒng)計方法，如對例1中的數(shù)據(jù)就其總體正態(tài)性和方差同質(zhì)性檢驗，具體過程如下。

2.1 正態(tài)性檢驗

例1中的數(shù)據(jù)來自于4個不同試驗處理，可以看作4組樣本觀測值，分別對其總體是否滿足正態(tài)分布進行統(tǒng)計檢驗。常用的方法是結(jié)合統(tǒng)計量、統(tǒng)計圖像及總體分布的統(tǒng)計假設(shè)檢驗結(jié)果綜合評價。

如對于試驗處理A的樣本觀測值，計算其與分布形狀有關(guān)的統(tǒng)計量，得到樣本偏度值為2.180，樣本峰度值為4.794，絕對值均遠大于0，初步判斷與正態(tài)分布相去甚遠。

而對試驗處理A的數(shù)據(jù)作正態(tài)Q-Q圖如圖2所示，也可見與正態(tài)分布差別較大。

圖2 處理A正態(tài)分布Q-Q圖

進一步對試驗處理A的分布正態(tài)性進行統(tǒng)計推斷，常用的檢驗方法Kolmogorov-Smirnov正態(tài)性檢驗、Shapiro-Wilk檢驗[8]等。SPSS 22.0中應(yīng)用過以上方法試驗處理A的正態(tài)性檢驗結(jié)果如表3所示。

表3 試驗處理A正態(tài)性檢驗結(jié)果

2種檢驗方法下顯著性概率分別為p=0.005＜0.05及p=0.002＜0.05，在檢驗的顯著性水平α=0.05下應(yīng)拒絕總體服從正態(tài)分布。

從結(jié)果可以判斷試驗處理A不服從正態(tài)分布，因此例1中的數(shù)據(jù)不符合方差分析基本假定的正態(tài)性條件。

2.2 方差同質(zhì)性檢驗

若假設(shè)例1中的4個試驗處理對應(yīng)的總體方差分別為σA2、σB2、σC2和σD2，檢驗方差同質(zhì)性的假定條件是否滿足，即檢驗：

對于多個方差齊性的檢驗，一般常用的統(tǒng)計方法有Bartlettχ2檢驗和Levene檢驗。其中，Bartlettχ2檢驗要求數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體，而Levene檢驗對于總體分布沒有要求。根據(jù)2.1中正態(tài)性檢驗結(jié)果，在此選擇Levene檢驗方法對方差同質(zhì)性進行檢驗較為合理。在SPSS 22.0中得到例1中數(shù)據(jù)的方差同質(zhì)性Levene檢驗結(jié)果，其顯著性概率p＜0.000 1，在顯著性水平α=0.05下應(yīng)拒絕原假設(shè)（3），即例1中4個試驗處理的方差不同質(zhì)，不滿足方差分析的基本假定。

3 不滿足基本假定條件下方差分析的處理方法

當(dāng)實際抽樣數(shù)據(jù)經(jīng)以上檢驗過程發(fā)現(xiàn)確實不滿足方差分析基本假定的某些要求時，用經(jīng)典的參數(shù)方差分析方法對原假設(shè)（1）進行檢驗，其檢驗結(jié)果可能與實際情況嚴(yán)重不符。如例1中的數(shù)據(jù)經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)不滿足總體正態(tài)性條件和方差同質(zhì)性條件，若直接進行參數(shù)方差分析結(jié)果如表2，檢驗結(jié)果顯然與實際情況矛盾，并未檢驗出不同品牌食品平均不合格品率的顯著性差異，基于這種錯誤結(jié)果就會得到不同品牌食品質(zhì)量無差異的結(jié)論。此時，需考慮更為合理的方差分析方法，在應(yīng)用中常用處理方式包括2種。

3.1 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后進行方差分析

在實際應(yīng)用問題中進行方差分析時，往往會出現(xiàn)基本假定中效應(yīng)的線性可加性、分布正態(tài)性和方差的同質(zhì)性條件有一條或多條不滿足的情況。此時可以考慮先對原始數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換，使得轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)更為符合基本假定條件，再對轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進行參數(shù)方差分析。常用的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法有平方根轉(zhuǎn)換、對數(shù)轉(zhuǎn)換、倒數(shù)轉(zhuǎn)換和反正弦轉(zhuǎn)換等[9]，不同的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化方式其所起作用不同，可根據(jù)實際數(shù)據(jù)的具體特點進行選擇。

如例1中的試驗數(shù)據(jù)經(jīng)檢驗不滿足正態(tài)性和方差同質(zhì)性假定，且不合格品率為百分?jǐn)?shù)，其取值范圍為區(qū)間[0，1]，此時可以考慮對原始數(shù)據(jù)進行平方根轉(zhuǎn)換和反正弦轉(zhuǎn)換后再做方差分析，即令轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)xij′=arcsin(xij)。其中，平方根轉(zhuǎn)換有利于使方差更為整齊，而百分?jǐn)?shù)取反正弦后更接近于正態(tài)性要求。例1中的數(shù)據(jù)經(jīng)反正弦轉(zhuǎn)換后結(jié)果如表4所示。

表4 食品質(zhì)量不合格品率反正弦轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)

對表4中轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)按照單因素完全隨機化試驗的線性模型（2）進行方差分析，檢驗結(jié)果如表5。F檢驗的顯著性概率p=0.037＜0.05，即不同品牌食品的平均不合格品率存在顯著差異，更為符合實際情況。進一步通過不合格品率抽樣數(shù)據(jù)的兩兩比較來看，D品牌食品的不合格品率顯著高于其他品牌，應(yīng)進行重點檢測，其他品牌的產(chǎn)品質(zhì)量要遠遠高于它。若對其進行進一步檢測分析，其不合格品率仍符合生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，說明其他品牌在安全范圍內(nèi)。

表5 轉(zhuǎn)換后數(shù)據(jù)的方差分析結(jié)果

實際應(yīng)用中，應(yīng)該如何轉(zhuǎn)換原始數(shù)據(jù)使其更為符合方差分析的基本假定條件，需要根據(jù)樣本觀測值的特點具體探索，且當(dāng)原始數(shù)據(jù)規(guī)律性不明顯時常用的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法不易達到檢驗的應(yīng)用目的。另外，轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)就其本質(zhì)來說不同于原始數(shù)據(jù)，應(yīng)用其所包含的信息達到檢驗?zāi)康氖欠裾嬲m合實際情況也是需要進一步研究思考的問題。

3.2 非參數(shù)方差分析方法

參數(shù)方差分析方法需要數(shù)據(jù)組滿足正態(tài)分布假定，當(dāng)數(shù)據(jù)不足以支持正態(tài)性假定時，可以借助非參數(shù)方法解決。若假定數(shù)據(jù)是多組獨立樣本，在單因素完全隨機化試驗設(shè)計下，可采用Kruskal-Wallis單因素方差分析方法或Jonckheere-Terpstra檢驗方法[10]進行多個試驗處理平均位置的比較。

若多個總體的平均位置有上升或下降趨勢時，采用Jonckheere-Terpstra檢驗方法檢驗這種趨勢的顯著性更有針對性。例1中的4組數(shù)據(jù)通過圖1來看總體平均值存在上升趨勢，因此若設(shè)4個總體均值分別為μ1、μ2、μ3、μ4，則原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：

Jonckheere-Terpstra檢驗方法的基本做法是對第i組樣本統(tǒng)計其每一個樣本觀測值小于第j組樣本的觀測值個數(shù)Wij（i,j=1, 2, …,k），對所有Wij在i＜j范圍內(nèi)求和得到Jonckheere-Terpstra統(tǒng)計量：

如果一個樣本的觀測值小于另一個樣本的觀測值的個數(shù)較多或是較少，說明兩者位置之間差異較大，因此當(dāng)統(tǒng)計量J大時，應(yīng)拒絕（4）中的原假設(shè)H0，認(rèn)為不同總體平均位置有顯著上升趨勢。在檢驗的顯著性水平為α?xí)r檢驗的臨界值c可以查表獲得，在統(tǒng)計軟件中可以通過檢驗的顯著性概率p值做出推斷。

對例1中的數(shù)據(jù)進行Jonckheere-Terpstra檢驗，在SPSS 22.0得到檢驗結(jié)果如表6所示。

表6 食品不合格品率Jonckheere-Terpstra檢驗結(jié)果

檢驗的顯著性概率p=0.005＜0.01，說明4種品牌食品的平均不合格率存在極顯著上升趨勢，即4種食品的平均不合格率差異極顯著。

結(jié)果表明，應(yīng)用Jonckheere-Terpstra檢驗對同一試驗數(shù)據(jù)進行非參數(shù)方差分析，其檢驗的顯著性概率p=0.005，遠小于對轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進行參數(shù)方差分析的結(jié)果p=0.037，可以認(rèn)為這種方法更易于檢驗出不同總體平均值的差異顯著性。而在非參數(shù)方差分析的各種方法中，相較于Kruskal-Wallis方差分析，Jonckheere-Terpstra檢驗具有更強的勢[11]。

4 結(jié)語

在比較多個試驗處理的平均值問題中，方差分析法是常用的統(tǒng)計方法。不同的試驗設(shè)計方法對應(yīng)不同的方差分析模型，但無論采用哪一種模型，在參數(shù)統(tǒng)計中，都需要數(shù)據(jù)滿足方差分析的基本假定。在實際應(yīng)用中，首先對數(shù)據(jù)是否滿足基本假定進行統(tǒng)計檢驗做出判斷十分必要。一旦樣本觀測值確實不符合基本假定要求，需要采用其他方法進行比較。如對轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進行方差分析或直接利用非參數(shù)方差分析方法進行檢驗，是這種情況下的常見處理方式。具體實際問題中，哪種處理方法更符合實際需求，要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點進行選擇，可進一步開展綜合比較和探索性分析。

針對食品質(zhì)量檢測中不合格品率這一基本標(biāo)準(zhǔn)的比較進行討論。當(dāng)涉及到其他標(biāo)準(zhǔn)的平均值比較，特別數(shù)據(jù)呈現(xiàn)為百分?jǐn)?shù)或比例時，都要注意上述問題和方法的選擇。非參數(shù)方差分析方法普遍適用于這類問題，具有廣泛應(yīng)用，其討論過程可以在類似問題中進一步推廣。

但實例中只是就平均不合格品率進行數(shù)據(jù)分析，而不同品牌不合格品率的方差經(jīng)檢驗差異也較大，這反映了某些品牌食品的質(zhì)量極不穩(wěn)定的問題。后續(xù)可根據(jù)實際應(yīng)用結(jié)合這兩個方面對食品質(zhì)量進行綜合評價。