平面單元和殼單元在復合有限條法中模擬加勁肋的應用

有限條法是20世紀70年代末提出的一種與有限元法(FEM)并行的數值計算方法，以其單元未知量少，計算效率高的優(yōu)點受到國內外學者們的青睞.有限條法廣泛應用于分析梁、板、柱等具有“條”特性的薄壁結構.傳統(tǒng)的有限條法主要采用多項式(橫向)和三角函數(縱向)的組合表示條單元的位移場，三角函數所對應的方向不存在結點，因此無法在此方向上布置加勁肋，而沿著縱向間隔布置加勁肋是梁構件中較為常見的情況.針對此類問題，樣條有限條法能很好地解決長度方向上沒有結點的問題.王宗木等提出雙向樣條函數模擬板結構以達到自由布置加勁肋的目的，但由于雙向都是樣條函數組成，所以該方法只適用于一塊整體的平板結構，無法分析板之間存在一定角度的情況，不能分析梁構件.Chen等提出了一種復合有限條法，采用桿單元模擬加勁肋，并耦合加勁肋板的位移場，然而這種復合有限條法忽略加勁肋截面內的位移場，無法有效分析梁翼緣和加勁肋之間的相互作用關系，局限于不需要考慮加勁肋截面內位移的結構，如板結構.類似地，文獻[18]基于Mindlin板理論和三次樣條有限條法深入研究了加勁肋對夾層板屈曲的影響.這種方法采用梁單元模擬加勁肋，加勁肋附于板上，對應結點位移耦合，但是對于沿縱向布置加勁肋的梁截面，該方法無法考慮其翼緣和肋板的相互作用.文獻[19]提出在復合有限條法中用梁單元模擬螺栓，連接組合截面，但由于梁單元無法考慮截面本身的位移特性，所以無法準確用于分析肋板.文獻[20-21]深入探究了加勁肋對于薄壁軸力構件的屈曲影響.

鑒于此，本文采用基于樣條有限條的復合有限條法，通過MATLAB自編程序實現(xiàn)模擬分析.加勁肋選擇平面單元和殼單元來模擬，可以較容易地處理形態(tài)復雜的肋板，且能考慮到肋板與梁腹板、翼緣的相互作用.相比于殼單元，平面單元自由度、計算量相對較少，處理上也較為簡便.因此，在加勁肋單元處理方面分別采用考慮平面內位移的平面單元和考慮平面內外位移的殼單元，深入研究在復合有限條法中平面單元能否準確模擬肋板的作用，進一步與殼單元模擬加勁肋的方法進行對比，驗證其可靠性.

1 復合有限條法理論

復合有限條法將樣條有限條和殼單元相結合，其中有限條單元用于模擬構件主體，殼單元模擬加勁肋.

進入2018年，隨著國家市場監(jiān)督管理總局的成立，國家食品藥品監(jiān)督管理總局的職責被整合其中，對外不再保留牌子，食品監(jiān)督管理工作步入新階段。

1.1 樣條有限條

樣條有限條橫向采用多項式函數，縱向采用樣條函數，位移場表現(xiàn)為兩種函數的乘積.對于單個有限條單元，位移的方向即為橫向，位移的方向即為縱向，如圖1所示.采用Kirchhoff 板理論模型，4個自由度分別為、、、其中、由一次多項式和結線位移組合而成；為垂直于“條”面的位移，由經典的梁單元的型函數和面外結線位移、繞軸的轉角組合而成此處結線位移是由樣條函數沿長度方向分布的位移集合圖1中、、為整體坐標系中的方向；、、為整體坐標系下3個方向的位移；為條橫向寬度；、、、分別為結線1處4個方向的位移，同理，下標2代表節(jié)線2；、分別為兩端均布荷載在結線1、2處的大小，通過應力、與截面厚度的乘積計算得到；、、代表局部坐標系；、、為局部坐標系下條單元3個方向的位移；為構件在縱向劃分結點的數量、、的計算式如下：

(1)

(2)

(3)

需要注意的是，上述公式只是橫向型函數，縱向即沿著長度方向采用3次等間距樣條函數:

(4)

(2004-北京-20) 給定有限個正數滿足條件T：每個數都不大于50且總和L=1275.現(xiàn)將這些數按下列要求進行分組，每組數之和不大于150 且分組的步驟是：首先，從這些數中選擇這樣一些數構成第一組，使得150與這組數之和的差r1與所有可能的其他選擇相比是最小的，r1稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數后，對余下的數按第一組的選擇方式構成第二組，這時的余差為r2；如此繼續(xù)構成第三組(余差為r3)、第四組(余差為r4)，…，直至第N組(余差為rN)把這些數全部分完為止.

1.2 加勁肋單元

等參單元不會受到形狀的局限，能夠處理復雜的肋板，并且能考慮到肋板內部的位移變化以及與梁翼緣、腹板之間的相互作用.因此，采用等參平面單元和殼單元模擬較為復雜的加勁肋.平面單元和殼單元的型函數為

(5)

(6)

式中：、為繞、軸的轉角自由度；、為節(jié)點繞、軸的轉角自由度；、為自然坐標系下的坐標；、為自然坐標系點的坐標.

若為平面單元，只需考慮平面內位移，即參數變量只需要、兩項；若為殼單元，則5項皆要考慮.

由于鉆孔灌注樁使用的鉆孔灌注設備的不同，其相應的施工工藝也不同，本文主要討論循環(huán)鉆機的施工工藝，具體如下：找平場地→測量并確定孔位→埋設防護桶→鉆機設備到位→鉆進→第一次先清孔→檢測鉆洞→制作鋼筋籠→鉆孔下導管→二次清孔→水下混凝土澆筑→拔管→樁基成型。

2)分析懸杯水平方向的運動速度和加速度變化規(guī)律，分別與原模型的運動參數進行比較，如圖6和圖7所示。在栽苗點處懸杯的速度達到最小值，有利于零速投苗，加速度變大，方向向后，說明懸杯對缽苗有向后的推力作用；此時速度與加速度曲線發(fā)生突變，說明懸杯開啟非?？?，即凸輪迅速由回程轉到近休止位置，懸杯相對栽植器靜止，絕對速度與加速度由栽植輪轉動和機器前進運動所影響；懸杯閉合時，凸輪由近休止轉到推程位置，由于推程段是等速運動規(guī)律，因此出現(xiàn)加速度的第二次突變，加速度達到最大值。因為推程段不會影響移栽機栽植質量，因此可以通過改進凸輪推程段來減小加速度的最大值。

面內位移對應的平面應變由下式計算得到：

(7)

彎曲產生的平面應變和切應變由下式計算得到：

(8)

式中：、分別為、方向正應變；為平面方向工程切應變；為應變矩陣；為位移向量；下標m、b、s分別代表平面項、彎曲項、剪切項；、同理.同樣地，若為平面單元，只需要考慮平面應變項；殼單元則需要考慮平面應變、彎曲應變以及切應變項.

1.3 剛度組合

應變能公式為

如上所述，平面單元肋板和殼單元肋板對屈曲承載力結果影響很小可忽略不計，因此此處只對比有限元和復合有限條中平面單元肋板的差異結果.圖7所示為不同長度構件有限元法和CSM2D的差異.從圖中可以看出，有限元和復合有限條法的結果相差較小，無論是對于1個加勁肋、2個加勁肋及3個加勁肋，是軸力作用還是彎曲作用，最大差異值皆控制在5%以內，至少85%的構件屈曲承載力結果的差異值控制在2%以內.差異較大且波動相對明顯的情況普遍是長度較小以局部屈曲為主的構件，但是與有限元的結果對比差距依舊控制在5%以內.平面單元和殼單元肋板之間的差異很小，因此有限元和有限條法在構件長度較短時產生的差異并非由于肋板單元的面外平動自由度引起，可能是條單元和殼單元存在一些轉動自由度無法耦合以及Kirchhoff板理論不考慮厚度方向上的剪切變形的原因造成.

(9)

傳統(tǒng)有限條法的屈曲分析選取的是截面最不利的情況，并沿長度方向均勻分布，復合有限條法依舊采用這種模式.有限條法與有限元法在邊界處有所區(qū)別，為了便于對比，兩者邊界模式應該統(tǒng)一.兩種方法皆在端部約束和方向位移，位移方向如圖1所示其中限元法在跨中約束一個結點的向位移以保證約束完整性，邊界條件如圖3所示.材料彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3.有限元模型采用shell181單元.

1.4 屈曲計算

彈性屈曲分析的求解方程為

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(+λ)=

(10)

式中：、分別為構件主體和加勁肋組合的彈性剛度矩陣以及幾何剛度矩陣；為屈曲系數；為屈曲變形值.

2 復合有限條計算模型

基于所選加勁肋的情況，在復合有限條法中分別采用平面單元肋板和殼單元肋板，深入探討平面單元和殼單元對屈曲結果的影響.槽鋼高80 mm，寬40 mm，厚2.5 mm，加勁肋與構件高寬相同，厚度為1 mm.分析兩種荷載(軸力和彎矩)條件下，單個加勁肋、2個加勁肋和3個加勁肋的情況對兩種肋板單元的屈曲承載力的影響.圖6所示為軸力作用和純彎曲作用下，采用平面單元肋板和殼單元肋板計算的構件屈曲承載力結果對比，圖中為屈曲荷載；為屈曲彎矩;CSM3D為殼單元復合有限條法；CSM2D為平面單元復合有限條法.兩種方法得到的屈曲承載力幾乎一致.加勁肋數量增加在一定程度上能提高屈曲承載力，主要表現(xiàn)為改善局部屈曲構件的承載力.但是對于整體屈曲的構件，加勁肋對承載力的提高較局限.表3所示為平面單元和殼單元肋板之間的差異平均值，此處考慮到差異值平均存在正負抵消的情況，故采用所有差異的絕對值平均.發(fā)現(xiàn)加勁肋數量對兩種單元之間差異值大小不存在正增長的關系，但是整體而言，2個加勁肋或者3個加勁肋比單加勁肋的差異值要大.受力類型對于差異值大小沒有明確的影響.差異值最大為0.07%(為3個加勁肋在軸力作用下的情況)，幾乎可以忽略不計.綜上，平面單元和殼單元肋板的差異整體很小，荷載類型和加勁肋的數量對差異值沒有明確的影響.

對于復合有限條法模型，當<2 000 mm 時，縱向劃分20等份；≥2 000 mm 時，劃分40等份.當<50 mm時，橫截面網格為10 mm；≥50 mm 時，橫截面網格為20 mm.需要注意卷邊槽鋼的卷邊與橫截面網格大小相近，因此橫截面網格需根據卷邊長度做具體調節(jié).對于有限元模型，當<80 mm時，網格大小選2 mm；當≥80 mm時，網格大小選 5 mm.

2.1 復合有限條和有限元計算模型對比

式中：為應變向量，對應、、；為應力；應變矩陣對應、、；位移向量對應、、；為材料本構方程；為剛度矩陣.通過式(9)獲得樣條單元和殼單元(平面單元)的剛度矩陣.殼單元的剛度需要通過雅可比矩陣轉換到物理坐標系下進行高斯積分計算.條單元和殼單元(平面單元)的剛度矩陣通過角度變換由局部坐標系轉到整體坐標系，然后進行“條”與“殼”單元的剛度矩陣組合.

2.2 復合有限條法網格分析

復合有限條法網格大小與有限元網格大小對于屈曲結果影響略有分別.復合有限條法中彎曲部分采用三次多項式函數和三次樣條函數的乘積，精度會高于有限元殼單元，因此網格尺寸大于殼單元尺寸即能達到一定精度.以槽鋼單肋板和三肋板為例，研究網格大小對復合有限條法計算精度的影響.圖4所示為縱向網格數量對于精度的影響，圖中為縱向網格劃分數量；為構件的承載力與不同網格下該構件承載力最小值的比值.考慮到不同長度的構件承載力差別很大，在同一對比圖中承載力小的構件的變化趨勢容易被掩蓋，縱坐標設置為該構件的承載力與不同網格下該構件承載力最小值之比，可以統(tǒng)一變化趨勢數量級.選取構件長度=80，50及 1 000 mm，橫向網格大小為20 mm.當>20時，承載力值逐漸趨于穩(wěn)定.縱向網格對于承載力的影響十分有限，對比網格等分數量為8和80的情況，發(fā)現(xiàn)兩者承載力結果差別最大的情況為1.06%，其余情況不到0.2%.

圖5所示為橫向網格對于精度的影響，圖中為橫向網格劃分大小.選取=80，500，1 000 及 2 000 mm，縱向網格為20等份.當<20 mm時，承載力結果逐漸收斂.對比網格為40、5 mm的情況，發(fā)現(xiàn)兩者承載力差距最大為15%.而網格 20 mm 和 5 mm 對比，差距最大為1%左右.基于計算效率和精度，20 mm 是比較好的橫截面網格的選擇.

縣級山洪災害防御預案包括各縣級行政區(qū)自然和經濟社會基本情況，山洪災害類型，歷史山洪災害損失情況，山洪災害的成因及特點；縣級山洪災害防御部門職責及責任人員；區(qū)域內有山洪災害防治任務鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）的防災任務、要求和山洪災害防御措施；監(jiān)測站網布設，預警對象、等級、程序和方式；轉移安置、搶險救災及災后重建，日常的宣傳及演練等要求。

古希臘是一種熱衷于美德的時代，所以，人們熱衷于思考以什么樣的教育方式才能最好地促使人們獲得美德。美德，是人們使自己成為一個好人，獲得心靈品質的提升，從而能過一種好生活的主體素質，也體現(xiàn)了古希臘人對人的應然形象(當然主要是理想的希臘人)的一種理解。亞里士多德對這種理解提供了一個最為完整、最為實際的思路，他把蘇格拉底式的獨立于政治的知識精英姿態(tài)調整為與政治密切合作的立場，從而既可以基于實踐理性來思考什么樣的政體能夠使人們既成為一個好公民又成為一個好人，又可以思考我們應該如何使各種現(xiàn)實政體得以完善，使之發(fā)揮塑造人們的完整美德的作用，從而使人們能過上一種大多數人可以平凡擁有的好生活。

3 平面單元和殼單元模擬橫向肋板對比

為了對比槽鋼和卷邊槽鋼在軸應力作用下和純彎曲應力作用下兩種加勁肋單元的區(qū)別，選取不同長度的構件分別布置1個加勁肋、2個加勁肋和3個加勁肋進行屈曲分析.單個加勁肋設置在構件中間的位置，2個加勁肋設置在三等分點的位置，3個加勁肋設置網格劃分取整，在四等分點的位置.2個加勁肋和3個加勁肋考慮到網格劃分取整，具體選取如表1、2所示，表中、、分別代表第1個加勁肋、第2個加勁肋及第3個加勁肋到構件一端的距離.

3.1 槽鋼計算結果對比分析

構件的受力采用有限條法中通用的受力形式，如圖1所示.基于上述應力假設，應力沿著長度方向均勻分布.對于沒有肋板的情況，首先計算出截面的應力分布，根據計算出的應力沿長度方向均勻施加，最后由式(10)求解屈曲特征值.對于有肋板的情況，需要考慮肋板的應力分布，分析相對復雜.首先需計算得到截面應力分布，然后通過靜力分析得到肋板的應力分布.考慮到靜力分析之后加勁肋對構件(除去加勁肋)本身的應力變化影響不大，因此在進行屈曲分析時構件主體的部分直接用最初施加的應力分布，加勁肋則用靜力分析得的應力分布，基于勢能公式得到幾何剛度矩陣，通過式(10)計算出屈曲特征值.分析研究基于MATLAB自編程序，程序流程如圖2所示.

3.2 卷邊槽鋼計算結果對比分析

構件的截面與肋板之間的關系大致可以分為兩類情況：三邊接觸和四邊接觸.鑒于3.1節(jié)中槽鋼截面差異值很小，將分析拓展到卷邊槽鋼，其他截面不另作對比分析.卷邊槽鋼高為100 mm，翼緣寬為 60 mm，厚2 mm，卷邊長度為10 mm.加勁肋與構件高寬相同，厚度為1 mm.由于差異值與肋板數量沒有非常明確的關系，卷邊槽鋼算例只選取單肋板和雙肋板的情況.圖8所示為不同作用力下CSM2D和CSM3D計算的承載力曲線.對比看出平面單元和殼單元肋板得到的卷邊槽鋼的屈曲承載力非常接近.和槽鋼一樣，加勁肋主要提升以局部屈曲或畸變屈曲為主的構件的承載力，對于整體屈曲構件作用很小.表4所示為軸力和純彎曲應力作用下平面單元肋板和殼單元肋板的誤差.通過對比表3、4發(fā)現(xiàn)，相比于比槽鋼，卷邊槽鋼中平面單元肋板和殼單元肋板的差異絕對平均值較大，但是仍然保持在一個較小的范圍(0.75%以內).

圖9、10所示為軸力作用下3種方法的屈曲模態(tài)對比，圖中′為相對位移.可見，軸力作用下3種方法得到的屈曲模態(tài)幾乎一致，即復合有限條法對于這類截面的分析是比較精確的.

圖11、12所示為有限元和兩種復合有限條法的差異曲線，可以看出殼單元加勁肋的復合有限條法CSM3D與有限元的差異并不是一直小于平面單元加勁肋的復合有限條法CSM2D和有限元的差異.復合有限條法(平面單元加勁肋和殼單元加勁肋)與有限元的差異值始終控制在5%以內，71%的情況控制在3%以內.對于單肋板，<1 000 mm時，主要對應局部屈曲或畸變屈曲，差異波動相對明顯；>1 000 mm時，主要對應整體屈曲情況，差異波動會逐漸平穩(wěn).雙肋板情況類似，<1 500 mm 時，主要對應局部屈曲和畸變屈曲的長度，差異波動相對明顯；>1 500 mm時，差異波動會逐漸穩(wěn)定.圖13對比了FEM、CSM2D及CSM3D的屈曲模態(tài)，結果非常吻合.考慮到差異值相對大于槽鋼，所以繼續(xù)將平面單元肋板和殼單元肋板的情況分別與有限元的結果進行對比，以校核兩類復合有限條法的可靠性.

表5所示為有限元和兩種復合有限條法的屈曲承載力的平均絕對差異值，就整體而言，F(xiàn)EM-CSM3D的差異比FEM-CSM2D的差異略微小，但是也存在一些情況FEM-CSM3D差異稍大，例如軸力作用下單加勁肋卷邊槽鋼和彎矩作用下單肋板槽鋼.總體而言，F(xiàn)EM-CSM2D的差異值與FEM-CSM3D的差異值相差很小，都控制在5%以內.相對于殼單元加勁肋，平面單元能在一定程度提高運算效率并降低運算的復雜度.

4 平面單元與殼單元模擬加勁肋計算效率對比

影響計算效率的主要因素是自由度的數量.無論對于殼單元還是平面單元模擬加勁肋的情況，條單元自由度數量是相同的，而產生影響的主要是加勁肋的自由度.加勁肋自由度直接影響剛度矩陣大小從而影響矩陣計算、組合和求解的時間.以軸力作用下槽鋼為例，分別采用不同加勁肋數量以及不同網格大小來分析兩種單元的計算效率差別.計算時間是從參數輸入到后處理所用的時間.

圖14所示為不同條件下兩種加勁肋單元計算的效率對比，圖中為CSM2D和CSM3D計算時間的比值.圖14(a)比較了不同數量加勁肋下平面單元和殼單元的計算時間的比值.可以明顯看出，平面單元計算時間比殼單元計算時間要短.隨著加勁肋數量增多，平面單元計算效率的優(yōu)越性逐漸彰顯.1個加勁肋、2個加勁肋、3個加勁肋的情況下，二者時間比值平均值分別為0.95、0.86、0.73.圖14(b)比較了不同的網格劃分下平面單元和殼單元的計算時間比.縱向劃分數量增倍對于兩者計算時間差并不是很明顯，而橫截面網格劃分增倍平面單元計算時間明顯短于殼單元.網格劃分橫向8份×縱向20份、橫向 8份×縱向40份和橫向16份×縱向20份的情況下，二者時間比平均值分別為0.95、0.96、0.79.其中橫向為橫截面，縱向為長度方向.本質上，復合有限條法計算效率與自由度相關，無論是加勁肋數量增加還是橫截面網格增加都直接會影響加勁肋網格數量，從而影響到總的自由度數量.通過對比可知，隨著加勁肋網格數量增多，平面單元模擬加勁肋計算效率比殼單元更高，而且差異會逐漸明顯.

5 結論

基于Kirchhoff 板理論的復合有限條法，提出了采用平面單元和殼單元模擬加勁肋的數值分析方法，并對比了運用平面單元和殼單元模擬肋板對屈曲分析結果的影響，得到如下結論：

根據上述實驗可知，一是通過安全、高產、高效栽培的應用效果可看安全、高產、高效栽培栽培處理可以提高單位面積水稻有效穗數、結實率及每穗實粒數，可極大增加產量，增產幅度可達30%左右。二是在2014年氣象情況下處理1、處理2、處理3、處理4均有較好表現(xiàn)，作為栽模式具有通用性；從品種的抗倒、耐肥能力看龍粳38強于龍粳40。三是在確保農時的前提下即壯苗適期早插的條件下，安全高產高效栽培在勝利農場是可行的。

(1)復合有限條法彌補了傳統(tǒng)有限條法無法考慮橫向加勁肋的不足.與有限元法結果對比，發(fā)現(xiàn)兩種復合有限條法與有限元的屈曲承載力差異值控制在5%以內，滿足所需要的精度，并且屈曲模態(tài)吻合良好.

(2)通過對比不同構件長度、不同截面類型和不同加勁肋數量以及在不同外力作用下的屈曲承載力的差異范圍，發(fā)現(xiàn)加勁肋面外平動自由度對于屈曲分析結果影響較小，復合有限條法中平面單元模擬加勁肋和殼單元模擬加勁肋結果十分接近(相差0.75%以內)，且平面單元自由度更少，計算效率更高.采用平面單元模擬加勁肋即可滿足預期.

(3)加勁肋主要提升局部屈曲或者畸變屈曲的構件屈曲承載力，對于整體屈曲的構件加勁肋的作用很小.構件以局部屈曲或者畸變屈曲為主的情況，有限元和復合有限條法的差異波動相對明顯.

對“工作經驗”字段的取值進行整理，有經驗要求的招聘信息共6 245條，占總數的91.49%。其中，教育機構類對經驗作出較低的要求，多為“1-2年”；營銷與貿易類與技術類崗位對經驗要求較高，“3-5年”占比最高。

汽車懸架構件是懸架系統(tǒng)的基礎。一個完整的懸架總成，其組件構成如圖2所示：彈性元件(彈簧)—吸收來自路面的沖擊。阻尼元件(減振器)—通過限制彈簧的振動來改善乘坐的舒適性。穩(wěn)定器(橫向穩(wěn)定桿或側傾穩(wěn)定桿)—防止車輛橫向擺動。導向機構—使上述部件保持就位和控制車輪的縱向或橫向運動。

(4)網格劃分大小會影響最后的屈曲承載力結果.復合有限條法中縱向網格數量對于承載力影響較小，而橫截面網格大小對于結果影響比較明顯.復合有限條法截面內網格基本為20 mm，縱向網格數量為20等份，對于長度較大或者較小的構件以及卷邊的影響，會具體細分.有限元網格基本選取的是 5 mm 的大小，對于長度小于80 mm的構件選用 2 mm，復合有限條法網格和自由度數量顯著少于有限元法，計算效率更高.

(5)相比于槽鋼的情況，卷邊槽鋼中平面單元肋板和殼單元肋板之間屈曲承載力的差異值較大.