芻議數(shù)學(xué)史背景試題的類型、特點及啟示

摘? ? 要：數(shù)學(xué)史在試題中的滲透是增添試卷人文韻味的一大舉措，也是考查學(xué)生“四基”“四能”、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等綜合能力的需要.研究數(shù)學(xué)史背景試題，梳理其呈現(xiàn)方式“點綴呈現(xiàn)型、復(fù)制順應(yīng)型、材料閱讀型、思想方法型”和特點“科學(xué)性、基礎(chǔ)性、材料化、人文性”，能為教師提供參考和指導(dǎo).其對教學(xué)的啟示是要求教師：關(guān)注試題背景，設(shè)計變式練習(xí);重視數(shù)學(xué)閱讀，提升數(shù)學(xué)理解;拓展文化背景，巧用試題育人.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;初中數(shù)學(xué);中考試題

數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要構(gòu)成部分，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著獨一無二的教育價值.研究證明，數(shù)學(xué)史具有知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效的教育價值[1].數(shù)學(xué)史在試題中的滲透是增添試卷人文韻味的一大舉措，也是考查學(xué)生“四基”“四能”、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等綜合能力的需要.研究數(shù)學(xué)史背景試題，既能為教師在中考數(shù)學(xué)文化的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)提供參考，又能指導(dǎo)教師在日常教學(xué)中對數(shù)學(xué)史的應(yīng)用.下面，筆者以各地中考數(shù)學(xué)史背景試題為例，對該類問題分析、梳理，并提出教學(xué)啟示.

一、數(shù)學(xué)史背景試題的類型

（一）點綴呈現(xiàn)型

點綴呈現(xiàn)型試題指僅為點綴而呈現(xiàn)與數(shù)學(xué)史相關(guān)的孤立圖片或簡單文字描述，且其與所考查的數(shù)學(xué)知識無關(guān)的試題.此類試題最常出現(xiàn)在“概率與統(tǒng)計”的考查中，大多是為增添歷史元素而設(shè)計.

案例1? ?（2021年江蘇鹽城中考題）? 圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù).歷史上，祖沖之、劉徽、韋達、歐拉等數(shù)學(xué)家都對π有過深入的研究.目前，超級計算機已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位.有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，接近相同.

（1）從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字，估計數(shù)字是6的概率為____;

（2）某校進行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫像（圖略）中隨機選用2幅，求其中有一幅是祖沖之的概率（用畫樹狀圖或列表方法求解）.

此題建構(gòu)了算圓周率的歷史背景，但其實質(zhì)是考查“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容.此題簡述了圓周率π的研究歷史，呈現(xiàn)了祖沖之的畫像和《割圓密率捷法》的書影.就問題的解決而言，題干中“10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定”指出了隨機取任意一個數(shù)都是等可能的，而其他要素幾乎與問題是脫離的，即使將背景替換，也不影響問題的求解.并且祖沖之的畫像及書影在該題中都是“可有可無”的，甚至?xí)芭c題干中的數(shù)學(xué)家都是毫不相關(guān)的，僅僅只是為了在試題中點綴以數(shù)學(xué)史元素.

（二）復(fù)制順應(yīng)型

復(fù)制順應(yīng)型試題指直接選用古代數(shù)學(xué)文獻中的數(shù)學(xué)問題、歷史名題等，或?qū)@些數(shù)學(xué)問題進行一定的改編而形成的試題.此類試題最常出現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”的考查中，尤其是涉及比例、方程、勾股定理等擁有豐富歷史底蘊的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

案例2? ?（2021年湖南株洲中考題）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十……”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米）其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米……”問題：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為（? ? ）.

A.1.8升? ? B.16升? ? C.18升? ? D.50升

案例3? ?（2021年山東淄博中考題）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達即：如圖1所示（編者注：以下出現(xiàn)的圖序均有改動），CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點E，CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長度是（? ? ）.

A.12寸? ? B.24寸? ? C.13寸? ? D.26寸

案例2、3都選自《九章算術(shù)》，其中案例2屬于對“粟米之法”的改編應(yīng)用，考查比例的計算;案例3屬于“圓材埋壁”問題的復(fù)制呈現(xiàn)，考查垂徑定理的應(yīng)用.中考數(shù)學(xué)常會選用《九章算術(shù)》《算學(xué)啟蒙》等古代文獻中的問題來命題，這既能讓學(xué)生感悟中國古代數(shù)學(xué)的成就，增強民族自信、文化自信，又能有針對性地考查相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

（三）材料閱讀型

材料閱讀型試題指題干中給出大量的數(shù)學(xué)史料，要求學(xué)生能夠從史料中獲得相關(guān)數(shù)學(xué)信息，進而解決數(shù)學(xué)問題的試題.此類試題的解答需要學(xué)生能夠提取材料中的數(shù)學(xué)信息，在“綜合與實踐”部分較為常見.例如幻方類試題，學(xué)生在解答問題之前先要通過閱讀材料了解幻方的規(guī)則，而后利用規(guī)則中所蘊含的數(shù)學(xué)原理去解決問題.

案例4? ?（2016年北京中考題）? 百子回歸圖是由1，2，3，…，100無重復(fù)排列而成的正方形數(shù)表，它是一部數(shù)化的澳門簡史，如：中央四位“19? 99? 12? 20”標示澳門回歸日期，最后一行中間兩位“23? 50”標示澳門面積……同時它也是十階幻方，其每行10個數(shù)之和、每列10個數(shù)之和、每條對角線10個數(shù)之和均相等，則這個和為____.

此題以十階幻方為試題背景，考查學(xué)生的閱讀能力，以及應(yīng)用知識解決問題的能力.學(xué)生需要在材料中獲取十階幻方的概念，從概念中抽象并提取出關(guān)鍵信息，即這個和與所有數(shù)的和之間的10倍關(guān)系，進而推得這個和是505.這類試題的考查內(nèi)容并非常規(guī)的數(shù)學(xué)基本知識，更多的是學(xué)生個人能力（如數(shù)學(xué)閱讀能力、問題分析能力等）的體現(xiàn).

（四）思想方法型

思想方法型試題指以數(shù)學(xué)史中的思想方法為背景，引導(dǎo)學(xué)生利用該思想方法解決新問題的試題.這類試題的設(shè)計意圖主要圍繞對數(shù)學(xué)思想方法的理解與應(yīng)用，即學(xué)生要具備一定的數(shù)學(xué)理解能力，能夠理解題目中的數(shù)學(xué)思想方法，再在題干所給的示范或鋪墊下，將數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于求解新的問題之中.在試題中最常出現(xiàn)的是出入相補法、割圓法等，考查的內(nèi)容更指向數(shù)學(xué)知識的綜合性應(yīng)用.

案例5? ?（2021年江蘇常州中考題）中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，給出了證明三角形面積公式的出入相補法.如圖2所示，在△ABC中，分別取AB，AC的中點D，E，連接DE，過點A作AF⊥DE，垂足為F，將△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=2，則△ABC的面積是____.

此題給出了出入相補法的歷史背景，引導(dǎo)學(xué)生將三角形面積轉(zhuǎn)化為矩形面積，進而求解.不足之處在于，題目并沒有解釋什么是出入相補法、劉徽是如何證明三角形面積公式的.因此，即便學(xué)生在解題中應(yīng)用了該方法，也無法對其形成深刻的認識.

二、數(shù)學(xué)史背景試題的特點

（一）科學(xué)性

就試題中史料的選取而言，此類試題最根本的特點就是科學(xué)性，即試題中的歷史背景應(yīng)有明確的出處，符合史實.在試題中，史料的呈現(xiàn)可以是簡單的概括，也可以是圖文并茂的詳細說明，但前提是必須保證所選取數(shù)學(xué)史料的科學(xué)性，不能在試題中出現(xiàn)錯誤的、片面的、有誤導(dǎo)性的內(nèi)容.

（二）基礎(chǔ)性

就試題考查的內(nèi)容而言，基礎(chǔ)性是此類試題的一大特點.由于試題的設(shè)計要從合適的數(shù)學(xué)史料出發(fā)，又受限于初中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此數(shù)學(xué)史背景試題相對集中于方程、勾股定理、圓等內(nèi)容，并且大多是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性知識與能力的考查.

（三）材料化

就試題中史料的呈現(xiàn)方式而言，材料化是此類試題最常見的呈現(xiàn)方式.這里的材料是指與數(shù)學(xué)史相關(guān)的圖片和文字的敘述.此類試題的開頭大多會以文字的形式呈現(xiàn)相關(guān)史料內(nèi)容，奠定試題的背景，部分試題還會附上相關(guān)歷史圖片.

（四）人文性

就試題的教育價值而言，以數(shù)學(xué)史為背景可以有效增添試題的人文性.數(shù)學(xué)史本身就屬于人文素材，擁有著“文化之魅”與“德育之效”的教育價值.將數(shù)學(xué)史融入試題，學(xué)生在閱讀題干的過程中就可以感悟數(shù)學(xué)歷史、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、拓寬文化視野，其中以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)歷史為背景的試題還能達到弘揚傳統(tǒng)文化、培養(yǎng)愛國情懷的育人目的.

三、教學(xué)啟示

（一）關(guān)注試題背景，設(shè)計變式練習(xí)

在日常教學(xué)中，常會遇到數(shù)學(xué)史背景試題，教師在講評時，要抓住試題背后的歷史背景，并在此基礎(chǔ)上進行變式練習(xí)，盡可能充分地呈現(xiàn)該背景下的不同變式，避免“就題論題”.例如，遇到三階幻方的問題，教師可設(shè)計如下變式.

案例6? ?（2020年江蘇鹽城中考題）把1～9這9個數(shù)填入3×3方格中，使其任意一行、任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個“九宮格”.它源于我國古代的“洛書”，如圖3所示，是世界上最早的“幻方”.如圖4所示是僅可以看到部分數(shù)值的“九宮格”，則其中x的值為（? ? ）.

A.1? ?B.3? C.4? D.6

變式1：如圖5所示的幻方中，a的值為____，m的值為____.

變式2：同案例4.

變式3：“幻圓”是一種類似于“幻方”的數(shù)學(xué)游戲，如圖6所示，將?2，?4，?6，0，3，5，7，9分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎，以及內(nèi)、外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等.現(xiàn)已完成了部分填數(shù)，則圖中x+y的值為____.

各地中考試題是初中教學(xué)中的“?？汀保桶咐?而言，難度不大，學(xué)生依據(jù)幻方的規(guī)則很容易就可將其補全.換言之，幻方中數(shù)字5的給出大大降低了試題難度，從而淡化了學(xué)生對幻方的深度認識，所以還需進一步變式擴充.變式1的目的是引導(dǎo)學(xué)生利用幻方的定義，得到“a+15=7+（?9）”，進而得到“m+（?9）=7+a”.通過變式1，學(xué)生能夠意識到“各行（列、對角線）之和”并非是解題的關(guān)鍵，更重要的是對幻方定義的深入理解.設(shè)計變式2的目的，是讓學(xué)生在整體的視角下求出“這個和”，即給出了“已知幻方內(nèi)所有數(shù)，求各行（列、對角線）之和”的教學(xué)示范.變式3是類似于幻方的古代數(shù)學(xué)游戲“幻圓”，其規(guī)則類似于幻方，教師可以讓學(xué)生在變式1、2的基礎(chǔ)上自主思考.變式3的解決方法有兩個：其一類似于變式1，先利用內(nèi)圈與橫排有公共數(shù)，得到“0+3=y+7”，求出y的值，再依次將剩下的數(shù)匹配對應(yīng)，得到x的值;其二類似于變式2，先求出題目中的8個數(shù)字之和，得到橫、豎、內(nèi)、外圈上的4個數(shù)字之和都為6，再依次對照橫排、內(nèi)圈、豎排數(shù)字之和，得到x與y的值.

筆者通過以上三個變式，呈現(xiàn)了以幻方為背景的各類問題，以及與其相似的幻圓問題.這既能加深學(xué)生對該背景下試題的認識與理解，使其形成解決幻方問題的知識體系，又能讓學(xué)生在變式探索中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（二）重視數(shù)學(xué)閱讀，提升數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)史在試題中的融入分為顯性與隱性兩種，無論哪一種融入方式，都必然會在題干中出現(xiàn)許多材料.其中，點綴呈現(xiàn)型和復(fù)制順應(yīng)型試題，史料屬于試題背景，并不會影響學(xué)生對問題的解決.而材料閱讀型和思想方法型試題就側(cè)重于考查學(xué)生對于史料中數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)思想方法的提取與理解，這就提示教師在教學(xué)中要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力與數(shù)學(xué)理解能力的培養(yǎng).

以古代計數(shù)試題為例，題干會給出古代計數(shù)系統(tǒng)、計數(shù)符號等相關(guān)說明，要求學(xué)生提取出計數(shù)規(guī)律，運用類比推理思想來解決問題.當學(xué)生面對不熟悉的情境、大篇幅的文字時，自然會產(chǎn)生“畏難”心理，害怕去讀題、解題.此時，教師應(yīng)積極鼓勵學(xué)生克服“畏難”心理，指導(dǎo)學(xué)生如何進行數(shù)學(xué)閱讀，培養(yǎng)“邊讀邊畫”的解題習(xí)慣，讓學(xué)生在一次讀題的過程中找出關(guān)鍵信息，初步形成對問題的認識[2].緊接著，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立關(guān)鍵信息與已有認知的聯(lián)結(jié)，提取出與關(guān)鍵信息相關(guān)的數(shù)學(xué)知識、思想方法、解題經(jīng)驗等，將關(guān)鍵信息進行加工、深化，形成對問題的理解，進而解決問題.最后，教師小結(jié)并布置變式練習(xí)，幫助學(xué)生進一步鞏固相關(guān)數(shù)學(xué)知識，積累解題經(jīng)驗.

（三）拓展文化背景，巧用試題育人

受限于試題的篇幅，數(shù)學(xué)史料在試題中的呈現(xiàn)更趨向于簡潔化、概括化，甚至有將數(shù)學(xué)史隱性融入的試題.若對這些試題中的史料不加關(guān)注，就會喪失試題育人的契機，成為教學(xué)中的遺憾.例如，在遇到案例2、3這些選自《九章算術(shù)》的問題時，教師可以簡單介紹《九章算術(shù)》的內(nèi)容和文化價值，彰顯文化魅力，并布置個性化探究任務(wù)，讓學(xué)生在課后查閱《九章算術(shù)》中的問題，選擇能夠解決的問題進行摘錄分享，充分激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生在閱讀整理中，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、文化素養(yǎng).若試題中隱性融入了歷史上的數(shù)學(xué)思想方法，如“一元二次方程”幾何解法，教師可先帶領(lǐng)學(xué)生在問題的解決中，感受數(shù)學(xué)方法的巧妙，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識，而后追本溯源，抓住試題中的歷史背景，簡單介紹相關(guān)歷史，讓學(xué)生學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家的思想與精神、感受數(shù)學(xué)文化的價值魅力，最終發(fā)揮數(shù)學(xué)史的“德育之效”[3]. [□][◢]

參考文獻：

[1]王鑫，岳增成，汪曉勤.HPM研究的框架與進展[J].數(shù)學(xué)通報，2021（6）：7-12，19.

[2]黃賢明.聚焦核心素養(yǎng)? ?重視綜合實踐? ?提升數(shù)學(xué)閱讀——以2021年蘇州數(shù)學(xué)中考第27題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（12）：55-57.

[3]張安軍.“古為今用”數(shù)學(xué)文化融入中考試題命制剖析——以“一元二次方程”幾何解法為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（6）：54-57.