商科《線性代數(shù)》案例教學(xué)實(shí)踐研究

楊浩 董婷 溫道偉

摘要：線性代數(shù)的概念很多且抽象，這些概念要求學(xué)生仔細(xì)和有意識(shí)地使用定義，并證明與概念相關(guān)的基本陳述，這對(duì)商科專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定難度。通過(guò)典型的商業(yè)案例建模，借助具有挑戰(zhàn)性的建模場(chǎng)景讓學(xué)生了解這一學(xué)科的大多數(shù)抽象概念，并鼓勵(lì)學(xué)生們用自己所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決這些問(wèn)題。通過(guò)把線性代數(shù)概念和商業(yè)案例知識(shí)相融合，尋找各個(gè)概念之間的聯(lián)系，有助于解決線性代數(shù)抽象概念多的問(wèn)題，同時(shí)可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維、理解和實(shí)踐應(yīng)用等方面的能力。本文借助具體的案例實(shí)踐來(lái)探索如何在線性代數(shù)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：商務(wù)案例;線性代數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì);教學(xué)過(guò)程

（一）引言

對(duì)商科學(xué)生來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)往往被認(rèn)為是一門(mén)很難的學(xué)科，主要是因?yàn)檫@門(mén)學(xué)科的概念比較抽象。線性代數(shù)包含了豐富的概念，包括線性無(wú)關(guān)、線性變換、特征理論、向量空間、張成空間、可逆性、秩、核等等，例如，有的人所說(shuō)的可逆矩陣定理與十幾個(gè)等價(jià)的概念有關(guān)。因此，學(xué)生不僅必須自己理解這些概念，而且還必須找出這些概念是如何以及為什么相互聯(lián)系的原因。這樣，教學(xué)反饋當(dāng)中充滿了對(duì)學(xué)生在線性代數(shù)中遇到的挑戰(zhàn)和困難的研究也就不足為奇了。為了幫助商科的學(xué)生更好理解和掌握線性代數(shù)的相關(guān)概念，我們嘗試通過(guò)使用具體的商業(yè)案例建模，旨在向?qū)W生介紹一些主要的線性代數(shù)概念。 通過(guò)商業(yè)案例模型，學(xué)生可以將在一些涉及不同概念的經(jīng)驗(yàn)中所獲得的結(jié)果集中在學(xué)生發(fā)展新策略的關(guān)鍵時(shí)刻，以此有助于學(xué)生在理解線性代數(shù)概念方面的成功。在文中以線性方程組所涉及的商業(yè)案例來(lái)做說(shuō)明，具體來(lái)說(shuō)：

（二）案例教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)：

眾所周知，對(duì)許多商科學(xué)生來(lái)說(shuō)，解釋線性方程組的解集是困難的，當(dāng)系統(tǒng)中的所有變量在每個(gè)方程中都不明確時(shí)，這個(gè)障礙就變得更難克服。這些困難歸因于學(xué)生缺乏對(duì)變量、函數(shù)和集的概念的理解，這些概念在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中所涉及的大多數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建中扮演著重要的角色。對(duì)線性方程組的求解方案的解釋與需要將線性方程組的不同表征系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)以及使用不同的思維視角有關(guān)。其他研究強(qiáng)調(diào)了構(gòu)建連貫的線性方程組求解過(guò)程的重要性，包括理解解決方法即過(guò)程，解集即對(duì)象，以及在線性代數(shù)課程中構(gòu)建的這些結(jié)構(gòu)與其他知識(shí)的關(guān)系。為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)我們打算教給他們的知識(shí)，他們必須有對(duì)它的需求，而“需求”指的是智力上的需求。與課程設(shè)計(jì)相關(guān)，必要性原則意味著新的概念和技能應(yīng)該從學(xué)生理解和欣賞的問(wèn)題中產(chǎn)生，這些問(wèn)題應(yīng)該在引入概念時(shí)向?qū)W生展示概念的智力效益。

為了說(shuō)明這一點(diǎn)，對(duì)于線性方程組，我們考慮引入學(xué)生們熟悉的商業(yè)中心車流量的經(jīng)典案例：一個(gè)城市商業(yè)中心有不同的幾個(gè)入口。入口處安裝了若干傳感器，以檢測(cè)該入口通行的車流數(shù)量，每個(gè)入口位于不同的方位。在每個(gè)十字路口，我們可以考慮有一個(gè)環(huán)形交叉口，它使整個(gè)路段的交通流量持續(xù)不斷，并且禁止停車。一條街道可以在不引起交通堵塞的情況下關(guān)閉嗎？ 為了避免交通堵塞，允許在街上流通的汽車的最低數(shù)量是多少？

每次使用這個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生們都是從探索道路網(wǎng)絡(luò)開(kāi)始，并試圖發(fā)現(xiàn)汽車是如何移動(dòng)的。在分小組討論了可能性之后，一個(gè)轉(zhuǎn)變發(fā)生了。一些小組將注意力集中在十字路口，將其作為描述街道是否可以關(guān)閉的關(guān)鍵。焦點(diǎn)的變化使學(xué)生能夠選擇合適的變量，提出重要的假設(shè)。并不是所有的學(xué)生都被說(shuō)服了。為了說(shuō)服其他人，這些小組中的一些成員進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的爭(zhēng)論。學(xué)生們被迫思考并完善他們的數(shù)學(xué)論點(diǎn)，直到所有團(tuán)隊(duì)成員都同意。一旦發(fā)生這種情況，學(xué)生們?yōu)槊總€(gè)交點(diǎn)寫(xiě)一個(gè)方程，并認(rèn)為結(jié)果模型為一個(gè)線性方程組系統(tǒng)。通過(guò)這樣的方式，學(xué)生們喚起了線性方程組的概念來(lái)承擔(dān)問(wèn)題，并能運(yùn)用概念識(shí)別線性方程組系統(tǒng)的對(duì)象來(lái)解決問(wèn)題。

一旦提出的線性方程組系統(tǒng)在課堂上進(jìn)行討論，教師往往會(huì)要求學(xué)生嘗試求解它們。求解線性方程組，這對(duì)所有學(xué)生來(lái)說(shuō)都是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。了解了線性方程組概念的學(xué)生可以對(duì)線性方程組執(zhí)行一些操作。但是，他們往往會(huì)被那么多的方程式和未知數(shù)搞糊涂。他們嘗試使用之前學(xué)到的方法，這意味著他們能夠?qū)⒏话愕膯?wèn)題吸收到線性方程組模式中，并在變量、方程和解集之間建立起關(guān)系，考慮方程的變換與等式有關(guān)，并找到不被認(rèn)為是解集的解。當(dāng)求解困難出現(xiàn)時(shí)，老師及時(shí)引入線性變換的概念，幫助學(xué)生反思線性方程組是什么;關(guān)于解的方法和解集，對(duì)線性方程組和解集的解釋，并構(gòu)建高斯消元法來(lái)解決，并將其與原來(lái)的步驟進(jìn)行比較。通過(guò)對(duì)學(xué)生的求解過(guò)程和問(wèn)題的反思，一些學(xué)生在活動(dòng)開(kāi)始時(shí)表現(xiàn)很困難，但在活動(dòng)結(jié)束后就能積極參與討論。

當(dāng)學(xué)生們重新開(kāi)始接下來(lái)的工作時(shí)，他們希望找到這個(gè)方程組的多個(gè)解，因?yàn)樗奈粗勘确匠虃€(gè)數(shù)多。每個(gè)小組為變量選擇了不同的名稱，因此解決方案集看起來(lái)不一樣。 我們將此解釋為，大多數(shù)學(xué)生在理解交通流的這些活動(dòng)，并將其作為求解線性方程組的過(guò)程。他們對(duì)解集中的函數(shù)進(jìn)行了操作，使每個(gè)未知數(shù)最多依賴于兩個(gè)變量，并認(rèn)為這些函數(shù)是通過(guò)對(duì)方程組進(jìn)行變換來(lái)找到解集的最簡(jiǎn)單形式的結(jié)果。在這些小組中，有幾個(gè)將解決方案集中的參數(shù)視為自由變量，并很自然地將它們稱為兩個(gè)不同變量的函數(shù)。這是一個(gè)重要的轉(zhuǎn)變考慮到這些學(xué)生之前接觸過(guò)的一個(gè)變量函數(shù)。他們擴(kuò)展了函數(shù)的應(yīng)用，使其包含這兩種類型的函數(shù)。這證明這些學(xué)生對(duì)線性方程組理解發(fā)展到了泛化線性方程組概念的水平。

根據(jù)問(wèn)題的約束條件來(lái)解釋解集對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)障礙。這是因?yàn)閷W(xué)生需要考慮解集中每個(gè)函數(shù)中變量的聯(lián)合變分。通常，學(xué)生只關(guān)注作為過(guò)程的解決方案集，沒(méi)有考慮到在建模問(wèn)題的背景下所涉及的限制。當(dāng)他們這樣做時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)很難將這些限制包括到解決方案集中。學(xué)生可以在解集中考慮限制條件，并從交通網(wǎng)絡(luò)中流通的車輛數(shù)量來(lái)解釋。因此，他們能夠決定每條街道可以通行的汽車數(shù)量。雖然大多數(shù)的學(xué)生團(tuán)體參與體驗(yàn)可以解決和解釋不同類型的系統(tǒng)方程和線性方程組系統(tǒng)應(yīng)用于不同的非相關(guān)的建模問(wèn)題， 每組中只有少數(shù)學(xué)生可以解釋和清楚闡釋問(wèn)題的限制。這些學(xué)生可以用類似的論點(diǎn)來(lái)解決需要使用限制性線性方程組系統(tǒng)的不同問(wèn)題。

對(duì)于這樣一個(gè)商業(yè)交通流的案例，學(xué)生對(duì)于線性方程組知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知，也是不斷加深的，具體可以分為三個(gè)階段。首先，聚焦于線性方程組自身，學(xué)生們識(shí)別變量、方程和等式作為解決方程問(wèn)題的相關(guān)元素。學(xué)生可以在簡(jiǎn)單的矩陣形式 中操縱變量，他們通過(guò)代數(shù)表達(dá)式和解之間的相等關(guān)系來(lái)構(gòu)建方程，作為尋找滿足方程的特定值的手段。 方程之間的關(guān)系是表面的，方程之間的聯(lián)系是因?yàn)樗鼈兂霈F(xiàn)在同一個(gè)系統(tǒng)中。 他們不清楚這樣一個(gè)事實(shí)：解一個(gè)方程組意味著找到滿足所有方程的解。 即使他們?cè)谒麄兊那蠼庵惺褂眠@一事實(shí)，他們也沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)。其次，隨著知識(shí)點(diǎn)的講解，學(xué)生們對(duì)線性方程組的認(rèn)識(shí)提升到不同的線性方程組之間。學(xué)生意識(shí)到系統(tǒng)中的所有方程都可以被相同的解所滿足。 通過(guò)考慮解決方案集和函數(shù)方面的多個(gè)解決方案，它們可以適應(yīng)集合和函數(shù)的概念。在這種適應(yīng)過(guò)程中，他們開(kāi)始思考用來(lái)解決方程組的過(guò)程，即方程的變換，當(dāng)使用這些概念時(shí)，可以幫助他們找到解。 他們將等式與等式聯(lián)系起來(lái)，因?yàn)樗麄冎赖仁阶儞Q僅僅限于那些滿足等式性質(zhì)的等式，并且可以找到不同類型系統(tǒng)的解集。 當(dāng)引入一個(gè)約束時(shí)，學(xué)生能夠確定施加在系統(tǒng)解集上的條件。最后，隨著學(xué)生對(duì)于線性方程組概念的理解，可以和其他的概念聯(lián)系起來(lái)。學(xué)生可以把方程組看作一個(gè)整體; 他們知道系統(tǒng)的解可通過(guò)使用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行初等變換來(lái)找到，通過(guò)這些變換方程會(huì)發(fā)生變化但系統(tǒng)的解集是守恒的。概念的連貫性由學(xué)生在適當(dāng)?shù)淖儞Q下識(shí)別等價(jià)方程組及其解集的不變性的可能性來(lái)證明。

（三）結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)《線性代數(shù)》案例教學(xué)模式的改革實(shí)踐，商科學(xué)生在線性代數(shù)概念的理解和把握方面取得了很大的進(jìn)步。更多的同學(xué)能夠參與到課堂活動(dòng)中去，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性有著明顯的改善，逐漸完成了從被動(dòng)接受知識(shí)向主動(dòng)獲取知識(shí)的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)換。他們大多能夠通過(guò)構(gòu)建變量、方程、函數(shù)、解法和解集之間的關(guān)系來(lái)理解線性代數(shù)的概念，盡管這些變量、方程、函數(shù)、解集之間存在差異?？偟膩?lái)說(shuō)，所有的學(xué)生都從案例模式教學(xué)中受益，同時(shí)課程也順應(yīng)了時(shí)代需求，朝著培養(yǎng)應(yīng)用型人才這個(gè)目標(biāo)邁進(jìn)了一步。

參考文獻(xiàn)：

[1] 董婷，溫道偉，唐志豐.線性代數(shù)（本科版）[M].上海交通大學(xué)出版社，2020.