高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用導(dǎo)數(shù)討論含參函數(shù)單調(diào)性的策略

馬志芳

【摘要】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，而利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性也是高考重點考查的內(nèi)容之一。但當(dāng)函數(shù)含有參數(shù)時，問題往往會變得復(fù)雜，運算也會變得繁瑣。含參函數(shù)的單調(diào)性的討論考查學(xué)生的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，以及學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);參數(shù);單調(diào)性;分類討論;方程的根

一、利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)單調(diào)性的實質(zhì)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容，給高中數(shù)學(xué)注入了新的活力。利用導(dǎo)數(shù)方法往往會比傳統(tǒng)的初等方法顯得更簡便、更易行、更有效。特別是在研究函數(shù)的單調(diào)性方面，對于不含參數(shù)的函數(shù)用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，其一般步驟為：1.確定函數(shù)y=f（x）的定義域;2.求導(dǎo)函數(shù) f'（x）;3.在函數(shù)f（x）的定義域范圍內(nèi)解不等式f'（x）>0 或f'（x）<0，很容易寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。但是當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時，往往需要討論，討論含參函數(shù)的單調(diào)性過程中，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類時怎樣做到不重不漏，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點，也是難點。在研究如何分類之前，我們應(yīng)該問學(xué)生兩個問題：

1.在求單調(diào)性時遇見參數(shù)一定要分類討論嗎？

2.求含參函數(shù)的單調(diào)性需要討論時，討論的關(guān)鍵點是什么呢？

例如，求f（x）=lnx -ax2（a>0）的單調(diào)性，f'（x）=-2ax，令f'（x）=0，因為a>0，x>0，解得x= ，則可以得到f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減。此函數(shù)含有參數(shù)，但求導(dǎo)后卻沒討論，是因為f'（x）=0的根是確定的。利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，需要討論是因為方程f'（x）=0的根不確定，參數(shù)影響f'（x）=0有沒有根？有幾個根？根在不在定義域內(nèi)？有兩個以上的根的時候，根的大??？討論參數(shù)的目的是要化不確定為確定，通過對參數(shù)的分類使得剛才的問題能確定下來，從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。這就是通過導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，從而我們得到用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)單調(diào)性的步驟：

1.求函數(shù)的定義域;

2.求導(dǎo)函數(shù)f'（通分化為乘除式，便于正負(fù)討論）;

3.找f'（x）=0的根（有沒有根？有幾個根？根在不在定義域內(nèi)？根的大?。浚?

4.標(biāo)數(shù)軸，判正負(fù);

5.結(jié)合圖像定增減。

二、導(dǎo)數(shù)為一次函數(shù)或類一次函數(shù)型的函數(shù)單調(diào)性討論

導(dǎo)數(shù)為含參的一次函數(shù)型，將求解不等式ax+b>0（<0）①a=0時單獨討論②討論a>0和a<0時，還要注意單調(diào)區(qū)間必須包含在定義域內(nèi)。

例如：已知f（x）=ax+lnx（a∈R） ，討論f（x）單調(diào)性。

f'（x）=a+=，令ax+1=0，此方程的根的情況由a的正負(fù)和是否為0來決定，所以分三類：①a=0時，無根，同時f'（x）>0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上單增;②a>0時，有負(fù)根，不在定義域內(nèi)，此時，情況同①;③當(dāng)a<0時，方程有正根- ，畫出一次函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像很容易得出，f（x）在（0，-）單增，在（-，+∞）單減。

導(dǎo)數(shù)為一次函數(shù)的討論相對比較簡單，根據(jù)定義域轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題;根在定義域的左右兩邊（左中右）幾種情況研究;習(xí)慣畫出導(dǎo)函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合判斷原函數(shù)單調(diào)性。同時，還有一些導(dǎo)數(shù)是類一次函數(shù)型的單調(diào)函數(shù)，如，ex+a，aex+1，討論的方法同一次函數(shù)型類似。

三、導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)或類二次函數(shù)型的函數(shù)單調(diào)性討論

導(dǎo)數(shù)為含參的二次函數(shù)型，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖像分析，當(dāng)二次項系數(shù)含參不確定時，結(jié)合定義域?qū)ζ浞诸愑懻?然后根據(jù)其對稱軸、判別式、特殊點等情況結(jié)合其圖像來分類討論。當(dāng)二次函數(shù)能分解因式，則應(yīng)優(yōu)先考慮分解因式求出函數(shù)零點，即f'（x）=0的根，當(dāng)零點大小不確定時，結(jié)合定義域?qū)α泓c的大小進(jìn)行分類討論。

例如：已知函數(shù)f（x）=a2x2-ax-lnx，討論f（x）的單調(diào)性。

解：定義域：（0，+∞）

f'（x）=2a2x-a-==

.

①當(dāng)a=0時，f'（x）=<0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減;

②當(dāng)a>0時，- <0<，x>0令f'（x）>0，即>0，解得a>;令f'（x）<0，即<0，解得0

∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時，<0<-，x>0，

令f'（x）>0即>0解得x>-，

令f'（x）<0，即<0，解得0

∴f（x）在（0，-）上單調(diào)遞減，在（-，+∞）上單調(diào)遞增。

綜上，當(dāng)a=0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時，f（x）在（0，-）上單調(diào)遞減，在（-，+∞）上單調(diào)遞增。

導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)時，一定要先考慮能否分解因式，若不能，則要先求出△，討論二次函數(shù)的判別式△，先考慮△≤0的情況，再考慮△>0，因為當(dāng)△≤0 時，往往恒為正（負(fù)），此時，f'（x）的符號就可以較為容易判斷出來，先將這一部分問題解決后，再解決△>0時的部分;當(dāng)△>0 時，對應(yīng)方程=0有兩個不同的根，需要進(jìn)一步討論x1，x2。這一塊主要討論兩點：①x1，x2 之間的大小關(guān)系;②x1，x2 是否在定義域或題目條件指定的區(qū)域中。這一部分運算往往比較繁瑣，討論容易出現(xiàn)混亂，解答時思路要清晰，同時還要有耐心。解答這類問題時，要嚴(yán)格按照上面的步驟和要求，有序進(jìn)行，解答的過程才能更加全面和徹底，不會有遺漏，如，討論函數(shù)f（x）=ax2-x+lnx的單調(diào)性。此外，導(dǎo)函數(shù)有兩個根的函數(shù)，可以類比二次函數(shù)來研究。可能出現(xiàn)的類型，一般是一次函數(shù)與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的組合：（x-1）（lnx+a），（x-a）（lnx+1），（x-1）（ex+a）（ex-1）（ex+a）（ex-1）（aex+1），（x-）（cosx -）.

例如：已知函數(shù)f（x）=aexx-2aex-x2+x，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

解：f'（x）=（x-1）（aex-1）.

①當(dāng)a=0時，f'（x）=-（x-1），

若x>1，則f'（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，

若x<1，則f'（x）>0，f（x）單調(diào)遞增。

②當(dāng)a<0時，若x>1，

則f'（x）<0，f（x）單調(diào)遞減;

若x<1，則f'（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

③當(dāng)a>0時，

若00即為（x-1）（x-ln）>0，

可得x<1或x>ln;

f'（x）<0，即為（x-1）（x-ln）<0，

若a=，則f'（x）=（x-1）·（ex-1-1），f（x）在R上單調(diào)遞增。

若，則f'（x）>0，即為（x-1）（x-ln）>0，可得x>1或x

f'（x）<0，即為（x-1）（x-ln）<0，可得ln

綜上可得：

當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）;

當(dāng)a=時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R;

當(dāng)a>時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，ln），單調(diào)遞減區(qū)間為（ln，1）;

當(dāng)0

在我們用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時，會碰到各種形式的含參導(dǎo)數(shù)，面對這一類型的題目時，我們要鼓勵學(xué)生不要輕易放棄。只要我們抓住利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是從導(dǎo)函數(shù)的變號零點在定義域中存在的問題入手，關(guān)注定義域的限制，遵循先特殊后一般的原則;以f'（x）=0的根的個數(shù)及大小關(guān)系為線索分類討論，按照上述的步驟和要求依次執(zhí)行，很多問題都會柳暗花明。正所謂，“高中導(dǎo)數(shù)作用大，函數(shù)單調(diào)多虧它，遇到參數(shù)不可怕，尋根來問分類答”。

責(zé)任編輯? 溫鐵雄