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    小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的“模型”優(yōu)化策略

    2022-06-28 05:22:15周萍
    中國教師 2022年6期
    關(guān)鍵詞:理論建構(gòu)數(shù)學(xué)建模模型

    周萍

    【摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一,在于如何有效地幫助學(xué)生完成一個“數(shù)學(xué)化”的抽象過程。本文結(jié)合實(shí)例,提出“變式優(yōu)化、題組對比、多元應(yīng)用、理論建構(gòu)”四種課堂實(shí)踐策略。這四種策略是逐層推進(jìn)、循序漸進(jìn)的。教師通過運(yùn)用這些策略,讓學(xué)生思維中初步構(gòu)建起來的“模型”得到確立與優(yōu)化,從而讓學(xué)生在主動建構(gòu)中形成模型意識,建立模型思維。

    【關(guān)鍵詞】變式優(yōu)化 題組對比 多元應(yīng)用 理論建構(gòu) 數(shù)學(xué)建模

    數(shù)學(xué)建模其實(shí)是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題這一過程的簡稱。目前,學(xué)術(shù)界對數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model)還沒有一個較為統(tǒng)一的定義。張奠宙認(rèn)為,廣義地講,數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法,都可以叫作數(shù)學(xué)模型。加減乘除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型,它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來的。按照比較狹義的解釋,只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的才叫作數(shù)學(xué)模型[1]。我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更多地屬于廣義層面的理解。如一年級學(xué)生認(rèn)識的自然數(shù)“1”是“1個人”“1件物品”等抽象的結(jié)果,這里的“1”就是反映這些事物共性的一個數(shù)學(xué)模型。

    數(shù)學(xué)建模的過程是一個實(shí)踐活動的過程(建模),也是一個不斷優(yōu)化、深化的心理過程(優(yōu)模)。數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的,而讓學(xué)生對模型不斷完善與優(yōu)化,促進(jìn)對模型的認(rèn)識與深化,從而加深對數(shù)學(xué)的理解,形成初步的建模思想,才是數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)所在。小學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)是一個循序漸進(jìn)的過程,在教學(xué)實(shí)踐中,教師可以采用如下策略。

    一、運(yùn)用變式優(yōu)化策略,讓“模型”更完善

    變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方式之一,即在教學(xué)中用不同的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性,或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。目的在于讓學(xué)生了解哪些是事物的本質(zhì)特征,哪些是事物的非本質(zhì)特征,從而對一事物形成科學(xué)概念[2]。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要學(xué)生有足夠強(qiáng)的創(chuàng)造性思維,能將抽象的問題去除非本質(zhì)的特征,建構(gòu)出最基本的數(shù)學(xué)模型。而變式教學(xué)能讓學(xué)生透過現(xiàn)象看出本質(zhì),使建構(gòu)出的數(shù)學(xué)模型更完善。

    蘇教版數(shù)學(xué)二年級上冊“六、表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法(二)”,在教學(xué)完練習(xí)十一的第7題,學(xué)生們建構(gòu)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型之后,教師設(shè)計了如下環(huán)節(jié)。

    師:今天,我們認(rèn)識了3個新朋友,并知道了它們之間的關(guān)系,下面我們就用這樣的數(shù)量關(guān)系式來解決一些實(shí)際問題。

    (板書數(shù)量關(guān)系式:總數(shù)÷每份的個數(shù)=份數(shù);

    總數(shù)÷份數(shù)=每份的個數(shù))

    (出示題目:參加跳遠(yuǎn)比賽,二年級一班有17人,二班有15人。每8人一組,可以分成幾組?)

    (學(xué)生嘗試獨(dú)立完成,教師巡視并對有困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo),指名匯報)

    生:17+15=32(人),32÷8=4(組)。

    師:對比一下,這一題和之前解決的問題有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?

    生:相同點(diǎn)是我們都依據(jù)“總數(shù)÷每份的個數(shù)=

    份數(shù)”來解決;不同點(diǎn)是條件中只告訴我們每份的個數(shù)是8,卻沒有直接告訴我們總數(shù),所以要先用17+15=32(人)算出總數(shù),然后再依據(jù)“總數(shù)÷每份的個數(shù)=份數(shù)”算出可以分成4組。

    師:說得真好!掌聲送給他。

    師:在解決問題時,我們要學(xué)會根據(jù)問題尋找適合的數(shù)量關(guān)系,再根據(jù)數(shù)量關(guān)系去找一找哪些條件是已知的,哪些是未知的,未知的條件又可以通過哪些已知條件得到。

    在解決實(shí)際問題的教學(xué)中,我們通常采取的變式訓(xùn)練為擴(kuò)縮性變式,即把一個只需一步或兩步計算的實(shí)際問題改變成需要兩步或三步計算才能解決的實(shí)際問題,抑或反之。在上一環(huán)節(jié)中,學(xué)生已經(jīng)清晰建構(gòu)了與本題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型:總數(shù)÷每份的個數(shù)=份數(shù),并能運(yùn)用模型直接解決實(shí)際問題。此環(huán)節(jié)的設(shè)計使數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)由簡單到復(fù)雜地發(fā)生了變化,在運(yùn)用模型解決問題時,原模型中的總數(shù)并沒有直接給出,需要用加法模型求出總數(shù),然后再運(yùn)用剛剛建構(gòu)的模型解決問題。通過這樣一步計算到兩步計算的變式訓(xùn)練,學(xué)生對模型的理解不再是狹隘的,并且問題解決的方向是明確的,即:總數(shù)÷每份的個數(shù)=份數(shù)。變式優(yōu)化擴(kuò)展了學(xué)生的思維,進(jìn)一步完善了初建的數(shù)學(xué)模型。從問題出發(fā)確定數(shù)量關(guān)系(數(shù)學(xué)模型),再依據(jù)數(shù)量關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)尋找條件,并能感悟到未知的條件可以通過已知的條件得到。這樣的變式優(yōu)化能讓學(xué)生感受到問題發(fā)展和變化的本質(zhì),有利于學(xué)生完善數(shù)學(xué)模型。

    二、運(yùn)用題組對比策略,讓“模型”更清晰

    題組教學(xué)就是將不同的但有內(nèi)在聯(lián)系的問題組合在一起,以溝通相關(guān)知識,促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解,提高學(xué)生分析和解決問題的能力。題組教學(xué)可以為學(xué)生創(chuàng)造一個理解數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)。正如布魯納所說,獲得的知識,如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系起來,那是一種多半會被遺忘的知識[3]。因此,教師在組織教學(xué)時,需要精心設(shè)計相似的題組,使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種具有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),并使這種“模型”更加清晰。

    蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“六、百分?jǐn)?shù)”中,在教學(xué)完例題10和練一練第1題后,筆者設(shè)計了如下題組對比練習(xí)。

    1.馬山糧庫要往外地調(diào)運(yùn)一批糧食,已經(jīng)運(yùn)走了60%,還剩48噸。這批糧食一共有多少噸?

    2.西林小學(xué)六年級有男生94人,女生人數(shù)占全年級總?cè)藬?shù)的53%,六年級一共有多少人?

    1.解:設(shè)這批糧食一共有x噸。

    x – 60%x=48

    40%x=48

    x=120

    答:這批糧食一共有120噸。

    2.解:設(shè)六年級一共有x人。

    x – 53%x=94

    47%x=94

    x=200

    答:六年級一共有200人。

    師:觀察這兩道題,有什么不同和相同之處?

    生:不同之處是它們的問題情境不一樣;相同之處是這兩道題都是單位“1”的量未知,已知部分量占總量的百分之幾和另一部分量,求總量,我們解決問題時方法是一樣的。

    師:說得真好!你們又是如何解決這類實(shí)際問題的呢?

    生:設(shè)單位“1”的量為x,依據(jù)“總量–一部分量=另一部分量”這一數(shù)量關(guān)系列方程解決。

    教師通過例題10和練一練第1題的對比,讓學(xué)生總結(jié)出解決這類題的經(jīng)驗,使學(xué)生進(jìn)一步感知解決這類問題是有一個“模型”的,即:先理解題意,找出題中的數(shù)量關(guān)系,當(dāng)單位“1”未知時,設(shè)單位“1”的量為x,然后列方程解答。此環(huán)節(jié)從求“這批糧食一共有多少噸”到求“六年級一共有多少人”,這個相似題組的設(shè)計只是換了問題的“外殼”,雖然問題的情境在變化,但問題的本質(zhì)—數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系是不變的。教師追問:“觀察這兩道題,有什么不同和相同之處?”“你們又是如何解決這類實(shí)際問題的呢?”讓學(xué)生經(jīng)歷對比、聯(lián)系、分析、總結(jié),對問題的本質(zhì)進(jìn)行類推與抽象。學(xué)生在對比、總結(jié)的過程中認(rèn)識到這兩道題都是:(1)單位“1”的量未知;(2)已知部分量占總量的百分之幾和另一部分量,求總量。逐漸形成在解決這類問題時設(shè)單位“1”的量為x,依據(jù)“總量–一部分量=另一部分量”這一數(shù)量關(guān)系列方程的解題策略,使得剛建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型更加清晰。

    三、運(yùn)用多元應(yīng)用策略,讓“模型”更穩(wěn)固

    在人們的潛意識中,“模型”與“模具”是相對應(yīng)的,有一成不變的含義,這與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)是相違背的。鑒于此,我們進(jìn)行“數(shù)學(xué)建?!苯虒W(xué)時,要杜絕將學(xué)生引入“固封”“窄化”的境地?!皵?shù)學(xué)建?!苯虒W(xué)應(yīng)緊緊抓住基本“模型”這條思維主線,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和生活實(shí)際,創(chuàng)造性地整合、充實(shí)和完善學(xué)習(xí)內(nèi)容,不拘泥于教材,充分挖掘教學(xué)資源,有效選擇不同情境的練習(xí)內(nèi)容,將“模型”向更深、更寬處拓展。從多元應(yīng)用的層面讓學(xué)生領(lǐng)會“模型”的內(nèi)涵,提高學(xué)生對“模型”的價值認(rèn)同,在多元應(yīng)用中不斷鞏固初建的數(shù)學(xué)模型,從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的形成。

    如蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊“五、解決問題的策略”,在學(xué)生自主完成練一練第2題并全班交流后,教師設(shè)計了如下環(huán)節(jié)。

    師:剛才我們總結(jié)了一些列表整理條件的方法。列表整理時,要一一對應(yīng),除了看清條件,還要看清問題??梢詮膯栴}出發(fā)選擇相關(guān)的條件整理到表格中,也可以從條件出發(fā)將所有的條件都整理出來。接下來我們一起挑戰(zhàn)這道題。

    (出示題目:有3種小游船,分別限乘3人、4人、6人。我們班級如果全部租用4人船,恰好要12條;如果全部租用6人船,要多少條?根據(jù)問題,選擇信息整理并解答)

    (學(xué)生嘗試自主整理并解答,教師巡視并對有困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo))

    師:我們一起來看一看他是如何整理的。

    一生上臺展示并說出自己的想法:題目中告訴我們?nèi)绻孔庥?人船,要12條,所以在列表時我將這兩個條件整理出來。問題是如果全部租用6人船,要多少條?所以我將每船人數(shù)6人和需要幾條船也整理在表格中(見表1)。

    生:前面的題目只是列表整理出了條件,這一題在整理的時候是根據(jù)問題選擇性地整理出了有用的條件,而且還將問題整理在了表格中。

    師:看來我們在列表整理時除了要看清問題和條件,將條件整理在表格中之外,還要根據(jù)題意去想一想除了條件還有哪些有用的內(nèi)容需要整理在表格中,要學(xué)會根據(jù)題意選擇性地進(jìn)行整理。

    在學(xué)生經(jīng)歷了列表整理出題目中的所有條件、選擇性地列表整理有用的條件解決實(shí)際問題之后,教師讓學(xué)生再次嘗試獨(dú)立列表整理去解決實(shí)際問題。學(xué)生在嘗試的過程中,發(fā)現(xiàn)剛才的模型不僅能整理條件,還能結(jié)合題目將問題也整理在表格之中。教師通過一句追問“同樣是列表整理,這道題和之前有何不同”,讓學(xué)生小組交流,并進(jìn)行全班交流。在交流中,所有學(xué)生都聚焦此題和前面列表整理的不同之處,即在整理時根據(jù)問題選擇性地整理出了有用的條件,還將問題整理在了表格中。此處的應(yīng)用完全是從上一環(huán)節(jié)的模型之中提升而來,即從只整理條件走向了選擇性地整理條件和問題,在這樣的多元應(yīng)用之中學(xué)生形成的數(shù)學(xué)模型才更穩(wěn)固。教師穩(wěn)固“模型”時要注意,多元應(yīng)用的內(nèi)容一定要對“模型”具有優(yōu)化與豐盈的作用,不能為了穩(wěn)固而穩(wěn)固,那樣反而會有畫蛇添足之嫌。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,多元應(yīng)用的機(jī)會并不是無處不在、無時不有的,只有在需要鏈接拓展的環(huán)節(jié)展開多元應(yīng)用,才能產(chǎn)生事半功倍的效果。

    四、持續(xù)理論建構(gòu)策略,讓“模型”更深刻

    思維定式,也被稱為“慣性思維”,是一種特殊形式的活動心理準(zhǔn)備或活動傾向,是由以前的活動造成的。在不變的環(huán)境條件下,該準(zhǔn)備能使人們運(yùn)用所掌握的方法快速解決問題;當(dāng)情況發(fā)生變化時,就會妨礙人們采用新的方法。在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)時,最怕學(xué)生受到思維定式的消極影響。消極的思維定式會束縛學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成。因此,在數(shù)學(xué)建模優(yōu)化的過程中,要持續(xù)進(jìn)行理論建構(gòu)。在教學(xué)中教師要善于打破學(xué)生初步建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型,從“破”中“立”,讓初建的數(shù)學(xué)模型以不變應(yīng)萬變,使數(shù)學(xué)模型在學(xué)生的理解與應(yīng)用中變得更為深刻。

    如蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“五、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”例題2,學(xué)生初步建構(gòu)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型之后,教師設(shè)計了如下環(huán)節(jié)。

    師:回憶以前學(xué)過的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題,今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題跟以前有什么不同和相同之處?

    生:不同之處是以前學(xué)習(xí)的是一步計算的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題,今天學(xué)習(xí)的是兩步計算的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題;相同之處是我們發(fā)現(xiàn)在解決這類問題時都要用到“單位‘1’的量×分?jǐn)?shù)=對應(yīng)數(shù)量”這個數(shù)量關(guān)系。

    師:接下來,同學(xué)們能不能獨(dú)立解決一些實(shí)際問題?

    (出示題目:紅光印刷廠兩天用紙噸,其中噸是第一天用的,第二天用了多少噸)

    (學(xué)生獨(dú)立解答;教師巡視尋找錯誤資源,指名匯報)

    生1:–×=(噸)。

    師:和他一樣的請舉手。

    (生2小聲嘀咕:他們不對)

    師:你來說說你是怎么想的。

    生2:這里的是具體的數(shù)量,應(yīng)該直接列式

    –=(噸)。用總量減去第一天用去的等于第二天用去的。

    師:如何修改題目就可以列式–×=

    (噸)?

    生:改為“紅光印刷廠兩天用紙噸,其中是第一天用的,第二天用了多少噸”。

    由于受年齡、能力等方面的影響,學(xué)生分?jǐn)?shù)意義模型(可以表示量,也可以表示率)的建構(gòu)其實(shí)并不牢固,而這樣的不牢固直接影響此次模型的構(gòu)建。為此,教師在對比教材中例題2和練一練第3題,讓學(xué)生初步建構(gòu)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型“單位‘1’的量×分?jǐn)?shù)=對應(yīng)數(shù)量”之后,從學(xué)生的錯誤資源出發(fā),設(shè)計了上述優(yōu)化練習(xí),讓學(xué)生深刻地體會到此題的模型和原來所建構(gòu)的模型的本質(zhì)區(qū)別,明確解決這類問題應(yīng)該用減法模型,即“總量–一部分量=另一部分量”。再通過“改一改”這一持續(xù)優(yōu)化設(shè)計,使得原來的數(shù)學(xué)模型在學(xué)生的知識系統(tǒng)中更加明晰、穩(wěn)固、定型。這樣的持續(xù)理論建構(gòu),從學(xué)生的模型薄弱處入手,打破了以往數(shù)學(xué)模型的消極影響,突破學(xué)生先前活動經(jīng)驗的不足,在持續(xù)的理論建構(gòu)中讓數(shù)學(xué)模型更為深刻。

    模型優(yōu)化的過程,其實(shí)也是學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解再優(yōu)化的過程。優(yōu)化時,教師從不同的事物出發(fā),通過變式優(yōu)化策略加深學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的感性認(rèn)識,促進(jìn)模型的進(jìn)一步完善;通過題組對比策略,在對比分析中幫助學(xué)生進(jìn)一步清晰模型;在多元化的問題情境中,運(yùn)用模型解決問題,從而深化對模型的理解,進(jìn)一步穩(wěn)固模型;在持續(xù)的理論建構(gòu)中,打破影響模型建立的消極思維定式,讓模型更深刻,從而幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的思維習(xí)慣。這四種優(yōu)化策略依據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容,教師可單個使用,也可組合使用,從而達(dá)到對數(shù)學(xué)模型優(yōu)化、對數(shù)學(xué)理解優(yōu)化的目標(biāo)。數(shù)學(xué)教育,從“關(guān)于數(shù)的科學(xué)”“關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”一直到今天的“關(guān)于模式的科學(xué)”,經(jīng)歷著不斷的發(fā)展與創(chuàng)新。今天的小學(xué)數(shù)學(xué)順應(yīng)發(fā)展的需要,開啟數(shù)學(xué)建模的探索之旅,還有很多需要教師再研究、再探索的空間。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 趙升龍.關(guān)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》10個核心概念的思考與實(shí)踐(二)[J].黑龍江教育·小學(xué),2013(11):42.

    [2] 吳國磊.淺析變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用[J].中學(xué)教學(xué)參考,2013(34):68-69.

    [3] 奚瑄鐸.題組練習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與思考[J].中國校外教育·下旬刊,2020(2):94.

    本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項課題“差異教學(xué)理念下小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)研究”(課題編號:C-c/2016/02/92)的階段性研究成果之一。

    (作者單位:南京師范大學(xué)附屬邗江實(shí)驗小學(xué))

    責(zé)任編輯:趙繼瑩

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