發(fā)展“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的五種策略
——基于SOLO 分類理論視角

浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 劉綠芹 （郵編：321004）

江蘇省建湖高級(jí)中學(xué) 楊海濤 （郵編：224700）

當(dāng)前，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》已進(jìn)入實(shí)施階段，課程標(biāo)準(zhǔn)提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[1]. 這些核心素養(yǎng)將在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一步步地形成和發(fā)展. 為此，現(xiàn)基于SOLO 分類理論，從五個(gè)方面就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的形成與提升進(jìn)行策略探究.

1 “數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)與SOLO 分類理論

1.1 數(shù)學(xué)抽象

“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，其主要內(nèi)容為：通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng). 包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)語言予以表征[1].在江蘇《高考說明》中，將抽象概括作為一種數(shù)學(xué)基本能力，其考查的要求是：能夠通過對(duì)實(shí)例的探究，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)；能夠從給定的信息材料中概括出一些結(jié)論，并能將其應(yīng)用于解決問題或作出判斷[2]. 由此可見，數(shù)學(xué)抽象在高中數(shù)學(xué)中的重要性，高中階段如何形成與提升“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)則成了一個(gè)避不開的話題.

1.2 SOLO 分類理論

SOLO 分類理論是香港大學(xué)教育心理學(xué)教授比格斯（J.B.Biggs）首創(chuàng)的一種學(xué)生學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)方法.“SOLO”是英文“Strucre of the Observed Learning Outcome”的縮寫，其意為可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)[2]. 該理論是一種以等級(jí)描述為特征質(zhì)性評(píng)價(jià)方法. 比格斯把學(xué)生對(duì)某個(gè)問題的學(xué)習(xí)結(jié)果由低到高劃分為5 個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)水平（P）、單一結(jié)構(gòu)水平（U）、多元結(jié)構(gòu)水平（M）、關(guān)聯(lián)水平（R）、擴(kuò)展抽象水平（E）. 由此可見，通過努力，學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)可以從前結(jié)構(gòu)水平逐步提升至擴(kuò)展抽象水平.

1.3 兩者之間的相互關(guān)系

“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的發(fā)展往往呈現(xiàn)出螺旋上升的層級(jí)結(jié)構(gòu)，在SOLO 分類理論的視角下，根據(jù)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的形成與發(fā)展結(jié)果，可以將“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)分為五個(gè)層次水平，不同層次的“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)水平對(duì)應(yīng)不同的SOLO 層次水平，每一層次水平則對(duì)應(yīng)著不同的提升策略. 在相應(yīng)策略的作用下，學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)得到形成與發(fā)展，進(jìn)而升至高一級(jí)層次水平.SOLO 分類理論是“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)提升的有效監(jiān)測工具，“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)是施行SOLO 分類理論的載體.

在新版課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平被劃分為三個(gè)水平層次：水平一、水平二、水平三，從劃分標(biāo)準(zhǔn)可以看出，學(xué)生形成核心素養(yǎng)水平需要具有一定基本知識(shí)與技能，即建立在單一結(jié)構(gòu)水平（U）之上，水平一則對(duì)應(yīng)著多元結(jié)構(gòu)水平（M），水平二則對(duì)應(yīng)著關(guān)聯(lián)水平（R），水平三則對(duì)應(yīng)著擴(kuò)展抽象水平（E）.

2 形成與提升“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的策略

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成伴隨著學(xué)生的認(rèn)知水平的提升，在前結(jié)構(gòu)水平，學(xué)生幾乎沒有“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)，在單一結(jié)構(gòu)水平階段，學(xué)生只是具有單一、分散的基礎(chǔ)知識(shí)與技能，“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)較低，但要形成“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)水平則需要學(xué)生具備這些基本知識(shí)與基本基本技能. 因此，形成與發(fā)展“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的基本要求是：跳出前結(jié)構(gòu)水平，重視單一結(jié)構(gòu)水平；發(fā)展“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的基本要求是延伸多元結(jié)構(gòu)水平，提升關(guān)聯(lián)水平，最終形成擴(kuò)展抽象水平.

數(shù)列是按照一定次序排列的數(shù)，體現(xiàn)數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系，高中數(shù)列的問題是體現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”重要載體之一. 為了深入說明形成與提升素養(yǎng)水平策略，現(xiàn)結(jié)合一道高中數(shù)列問題，通過對(duì)多個(gè)學(xué)生的解題過程進(jìn)行分析，探求形成與提升“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的具體操作策略.

例題如下：已知數(shù)列{an} ，對(duì)于任意n≥2，在an－1與an之間插入n個(gè)數(shù)，構(gòu)成的新數(shù)列{bn} 成等差數(shù)列，并記an－1,x1,…,xn,an這n+2 個(gè)數(shù)均值為Cn－1.（1）若在（1）的條件下，證明為等差數(shù)列.

2.1 跳出前結(jié)構(gòu)水平

前結(jié)構(gòu)水平（Prestructural）：學(xué)生并沒有真正理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，只能夠提供一些邏輯混亂，沒有論據(jù)支撐的答案，或被以前所學(xué)的無關(guān)知識(shí)困擾，找不到任何解決問題的辦法.

形成“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的首要問題是必須要跳出前結(jié)構(gòu)問題，避免被無關(guān)的內(nèi)容困擾. 這就需要加強(qiáng)對(duì)基本概念、定理、公理等內(nèi)容的真正理解，理清其中的基本關(guān)系. 同時(shí)，能夠?qū)煞N或多種類似的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行區(qū)分與辨別，形成清晰的基本知識(shí)架構(gòu).

【學(xué)生1 解題片段】

評(píng)析從學(xué)生的解題過程來看，該生未能理解題目的內(nèi)容，且未能真正理解“通項(xiàng)”的含義，混淆了Cn與an，所答內(nèi)容沒有邏輯支撐，沒有找到解決該題的辦法. 依據(jù)SOLO 分類理論，此認(rèn)知水平屬于前結(jié)構(gòu)水平. 該生需要通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的基本知識(shí)的再學(xué)習(xí)，理解an的真正含義，同時(shí)還需要對(duì)等差數(shù)列的基本知識(shí)進(jìn)行再學(xué)習(xí).

作為教師，面對(duì)前結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生時(shí)，應(yīng)當(dāng)提前為學(xué)生準(zhǔn)備好問題中用到的基本知識(shí)，教學(xué)策略上，可以是“提問檢查”的方式，可以是“引導(dǎo)復(fù)習(xí)”的方式，也可以“小題練習(xí)”的方式. 總之，通過“預(yù)備知識(shí)”的方法，讓該層次的學(xué)生在解決問題前，能夠掌握問題中用到的基本知識(shí)，從而避免所答內(nèi)容無效，打擊學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的信心.

2.2 重視單一結(jié)構(gòu)水平

單一結(jié)構(gòu)水平（Unistructural）：學(xué)生根據(jù)相關(guān)知識(shí)，找到了一個(gè)解決問題的辦法、思路，但卻就此收斂，有時(shí)單憑一點(diǎn)論據(jù)就跳到答案上去.

形成“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)需要特別重視單一結(jié)構(gòu)水平，該層次水平屬于承上啟下階段，相關(guān)知識(shí)積累的越多則越能向多元結(jié)構(gòu)水平發(fā)展，反之則會(huì)回到前結(jié)構(gòu)水平. 在此過程中，學(xué)生的思維由顯現(xiàn)思維向隱形思維逐步發(fā)展，“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)正在從這個(gè)階段慢慢形成.

【學(xué)生2 解題片段】

由題意，設(shè)插入的n個(gè)數(shù)分別為x1，x2，…xn，則an－1，x1，x2，…，xn，an成 等 差 數(shù) 列，此 時(shí) 有x1－an－1=x2－x1=…=an－xn=d.

同 時(shí)，an－1,x1,…,xn,an這n+2 個(gè) 數(shù) 均 值 為Cn－1，則有

評(píng)析從學(xué)生2 的解題過程來看，該生利用已有的數(shù)列知識(shí)，將將題目中的三個(gè)主要條件都往下進(jìn)行了一步，形成了三個(gè)思路、方向. 這說明，該生具備數(shù)列的基本知識(shí)，能夠掌握數(shù)列的通項(xiàng)的含義及等差數(shù)列的內(nèi)涵，也理解了題目的含義，但并未能將問題繼續(xù)探索下去. 依據(jù)SOLO 分類理論，此認(rèn)知水平處于單一結(jié)構(gòu)水平. 當(dāng)學(xué)生想到在在an－1與an之間插入x1，x2，…xn時(shí)，教師可以追問若插入的n=2 時(shí)，構(gòu)成什么樣的數(shù)列？此時(shí)C1是多少呢？若n=3 呢？n=4 呢？n=5 呢？則第（1）問不難解決.

作為教師，要特別關(guān)注處于單一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生，這部分學(xué)生具有一定數(shù)學(xué)基本知識(shí)，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，應(yīng)有意識(shí)地進(jìn)行“引導(dǎo)式追問”教學(xué)，讓學(xué)生的思維在不斷的引導(dǎo)、追問下得到發(fā)展，“數(shù)學(xué)抽象”的素養(yǎng)也正是在這樣的過程中逐步形成，為認(rèn)知水平的進(jìn)一步提升打下基礎(chǔ).

2.3 延伸多元結(jié)構(gòu)水平

多元結(jié)構(gòu)水平（Multistructural）：學(xué)生找到了構(gòu)成問題越來越多的、正確的相關(guān)特征，并找到了多個(gè)解決問題的思路，但學(xué)生只是簡單羅列這些特征、思路，還不具有將它們有機(jī)整合的能力.

提升“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)需要延伸學(xué)生多元結(jié)構(gòu)水平，引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)總結(jié)出來的多個(gè)思路，將現(xiàn)有的規(guī)律、特征進(jìn)行整合提升，以便解決更加抽象的問題，進(jìn)一步提升認(rèn)知水平.

【學(xué)生3 解題片段】

解：（1）由得a1=－2，a2=1，a3=5，a4=10，則在a1與a2插入兩個(gè)數(shù)：－1、0，使得－2，－1，0，1 成等差數(shù)列，此時(shí)，均值

在a2與a3插 入 三 個(gè) 數(shù)：2、3、4，使 得1，2，3，4，5 成等差數(shù)列，此時(shí)，均值C2=3；

在a3與a4插 入 四 個(gè) 數(shù)：6、7、8、9，使 得5、6、7、8、9、10 成 等 差 數(shù) 列，此 時(shí)，均 值

(2)由第一問中的規(guī)律知，在an－1與an之間插入n個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則構(gòu)成的新數(shù)列{bn} 的公差設(shè) 插 入 的n個(gè) 數(shù) 為x1，x2，…xn，則

評(píng)析從學(xué)生3 的解答過程來看，首先，該生能夠從將n=1，n=2，n=3，n=4 逐個(gè)代入，求出a1=－2，a2=1，a3=5，a4=10，則說明該生能夠理解了“通項(xiàng)”的真正含義. 其次，該生在“a1與a2間”，“a2與a3間”和“a3與a4間”分 別 插 入“－1、0”，“2、3、4”和“6、7、8、9”，進(jìn)而求 出 了 均 值C1、C2和C3，則說明該生找到了解題的基本方向，并能正確運(yùn)用等差數(shù)列的知識(shí)羅列出具體的等差數(shù)列，解決了第一問. 最后，該生還從形成的三個(gè)具體等差數(shù)列中，抽象出新數(shù)列{bn} 的公差為1. 然而，學(xué)生并沒有能夠進(jìn)一步整合并抽象““插入兩個(gè)數(shù)、插入三個(gè)數(shù)、插入四個(gè)數(shù)”及“公差d”這些規(guī)律特征，導(dǎo)致第二問無法解決. 根據(jù)SOLO 分類理論，此認(rèn)知水平為多元結(jié)構(gòu)水平.教師教學(xué)上，應(yīng)讓學(xué)生嘗試從插入“兩、三、四個(gè)數(shù)”，轉(zhuǎn)變?yōu)椤安迦雗個(gè)數(shù)會(huì)得到什么？”的角度思考，此時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)x1，x2，…xn無法處理，題目的難度突然增加，導(dǎo)致解題無法進(jìn)行下去. 此時(shí)，教師再讓學(xué)生嘗試從“怎么求均值”的角度，跳過“插入n個(gè)數(shù)會(huì)得到什么”問題，結(jié)合C1、C2、C3的求法，學(xué)生不難找出均值的求解辦法.

作為教師，應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生的各種思路進(jìn)行“試走式”教學(xué)探究，從多角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，鼓勵(lì)學(xué)生不懼困難，不怕失敗，要從“不通”的思路中提升能力. 通過類似于這樣的“試走式”嘗試，學(xué)生的多元結(jié)構(gòu)水平將得到延伸，“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)則能得到了進(jìn)一步發(fā)展.

2.4 提升關(guān)聯(lián)水平

關(guān)聯(lián)水平（Relational）：學(xué)生會(huì)整合各部分內(nèi)容而使其成為一個(gè)有機(jī)整體，表現(xiàn)為能回答或解決較為復(fù)雜的具體問題，能將多個(gè)思路結(jié)合起來思考.

提升“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)中最關(guān)鍵的，也是最難的一步是提升關(guān)聯(lián)水平，此階段的學(xué)生已具有一定的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，抽象思維能力也較強(qiáng)，能夠解決一些較為復(fù)雜的問題. 然而，若要進(jìn)一步達(dá)成擴(kuò)展抽象水平，則需要進(jìn)一步提升關(guān)聯(lián)水平.

【學(xué)生4 解題片段】

例析從整體上看，該題的難度屬于中等，其難度主要體現(xiàn)在數(shù)列的轉(zhuǎn)換上，從{an}到{bn}，再到{Cn}，然后又到{Cn+1－Cn}、{dn}，這就需要學(xué)生有很好的抽象思維能力. 從學(xué)生4 的解答過程來看，該生能基本解決該題，能夠?qū)⒍喾N數(shù)列知識(shí)相關(guān)聯(lián)，并且能夠構(gòu)建新的數(shù)列. 根據(jù)SOLO 分類理論，此認(rèn)知水平處于關(guān)聯(lián)水平. 此時(shí)，教師還可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)力，進(jìn)一步提升思維層次要求，讓學(xué)生在該題的基礎(chǔ)上，自行編制新問題.

作為教師，針對(duì)關(guān)聯(lián)水平階段的學(xué)生，教師可以嘗試進(jìn)行“命題式”探討教學(xué)，讓學(xué)生間以某內(nèi)容為背景，在已有的問題背景上，編制新的問題，同學(xué)間互相命題，交叉答題，并互相探討. 這將學(xué)生思維得到進(jìn)一步發(fā)散，創(chuàng)新意識(shí)得到加強(qiáng)，提出問題，分析問題和解決問題的能力也得到進(jìn)一步提高.

2.5 形成擴(kuò)展抽象水平

擴(kuò)展抽象水平（Extended Abstract）：學(xué)生能夠?qū)栴}進(jìn)行抽象概括，并從理論的高度分析問題，從而使問題深化，并得到拓展. 這代表著一種更高水平的學(xué)習(xí)能力，這一水平的學(xué)生表現(xiàn)出更強(qiáng)的鉆研和創(chuàng)造意識(shí). 當(dāng)學(xué)生形成擴(kuò)展抽象水平，則說明學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)已經(jīng)達(dá)到了較高的水平，具有“跳出問題看問題”的能力，這正是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的理想目標(biāo).

學(xué)生5，學(xué)生6 在已經(jīng)解決了該題的基礎(chǔ)上，開始提出新的設(shè)想：

【學(xué)生5 的設(shè)想】

在（1）的條件下，{Cn}是等差數(shù)列嗎？

學(xué)生間互相討論后，驗(yàn)證：Cn+1－Cn=是等差數(shù)列.【學(xué)生6 的設(shè)想】

在（1）的條件下，除了λ=1 外，還有沒有其他常數(shù)λ，使{Cn+1－λCn}是等差數(shù)列？

學(xué)生間互相討論后，驗(yàn)證：假設(shè){Cn+1－λCn}成 等 差 數(shù) 列，則 有（Cn+1－λCn）－（Cn－λCn－1）是 常 數(shù). 根 據(jù) 題 意 可 得，（Cn+1－λCn）－（Cn－故當(dāng)1－λ=0，即λ=1 時(shí)，假設(shè)成立. 因此，只有常數(shù)λ=1，使得是等差數(shù)列.

評(píng)析從學(xué)生的設(shè)想與驗(yàn)證來看，特別是學(xué)生6，已經(jīng)深刻掌握了該題的本質(zhì)，并且對(duì)題目進(jìn)行擴(kuò)展探索，這說明學(xué)生不僅掌握了該問題，還能夠進(jìn)行問題的拓展與發(fā)散，學(xué)生的“擴(kuò)展抽象水平”正是在這樣的過程中逐步達(dá)成.

作為教師，應(yīng)當(dāng)在課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再來一問”的探索性嘗試，并讓學(xué)生進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，提出各種不同見解的問題. 同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)其給出的各種假設(shè)、設(shè)想，進(jìn)行驗(yàn)證與證明，在此過程中，教師要與學(xué)生一起，不斷點(diǎn)撥學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生，激勵(lì)學(xué)生，進(jìn)而形成更有價(jià)值的內(nèi)容，建立起學(xué)生專研數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的信心.