關(guān)系重構(gòu)：認(rèn)知從“復(fù)雜”走向“簡(jiǎn)單”

丁洪 張林林

[摘 要]假設(shè)的策略以數(shù)量關(guān)系的捕捉和理解為前提，以等量代換的關(guān)系重構(gòu)為核心，以以簡(jiǎn)馭繁的思維操作為抓手。在教學(xué)中設(shè)計(jì)沖突制造、模型構(gòu)造、經(jīng)驗(yàn)遷移和策略?xún)?nèi)化環(huán)節(jié)，以期實(shí)現(xiàn)需求激發(fā)、內(nèi)涵凸顯、路徑塑化和素養(yǎng)提升。

[關(guān)鍵詞]假設(shè)策略;數(shù)量關(guān)系;等量代換;數(shù)學(xué)化

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）11-0013-04

“用假設(shè)的策略解決實(shí)際問(wèn)題”是蘇教版教材六年級(jí)上冊(cè)安排的“策略學(xué)習(xí)”專(zhuān)題活動(dòng)，它也是運(yùn)用策略解決實(shí)際問(wèn)題的種子課。從關(guān)系的數(shù)量看，一般要解決幾個(gè)未知量就需要幾組數(shù)量關(guān)系，少則無(wú)法確定結(jié)果，多則出現(xiàn)條件剩余。從關(guān)系的勾連看，未知量之間要有關(guān)聯(lián)，關(guān)系可以是直接的或間接的，未知量之間可以靈活轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一表征。從關(guān)系的變化看，關(guān)聯(lián)的數(shù)量進(jìn)行等量代換和有機(jī)整合之后，內(nèi)容上出現(xiàn)了“新數(shù)量”，形式上出現(xiàn)了“新等式”，盡管關(guān)系對(duì)應(yīng)為“假狀態(tài)”，但所求結(jié)論仍然為“真結(jié)果”。可以說(shuō)，關(guān)系從復(fù)雜存在到簡(jiǎn)單重構(gòu)是一個(gè)“慢”的漸進(jìn)過(guò)程，教師除了要在認(rèn)識(shí)上拎得清，還要在行動(dòng)上把得準(zhǔn)。

一、制造認(rèn)知沖突，激發(fā)關(guān)系需求

認(rèn)知沖突是學(xué)習(xí)主體在信息加工過(guò)程中產(chǎn)生的一種不平衡的心理狀態(tài)。究其原因，主要是個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在新舊銜接時(shí)的不一致、不和諧所致。教師如能巧妙設(shè)計(jì)認(rèn)知沖突，則可以聚焦關(guān)鍵、激發(fā)需求和引發(fā)學(xué)習(xí)。

1.策略調(diào)用

首先，動(dòng)態(tài)出示兩個(gè)天平，第一個(gè)天平左邊擺放1個(gè)梨，右邊擺放2個(gè)桃;第二個(gè)天平左邊擺放1個(gè)梨和2個(gè)桃，右邊擺放1個(gè)400克的砝碼。接著，學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題“仔細(xì)觀察擺放的過(guò)程，你知道了哪些數(shù)量關(guān)系？”，獲得“1個(gè)梨的質(zhì)量=2個(gè)桃的質(zhì)量”和“1個(gè)梨的質(zhì)量+2個(gè)桃的質(zhì)量=400克”的結(jié)論。這樣運(yùn)用技術(shù)手段將靜態(tài)關(guān)系予以動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，有助于學(xué)生實(shí)時(shí)聚焦問(wèn)題的發(fā)生過(guò)程，弄清不同對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)問(wèn)題“根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系，你能解決什么問(wèn)題？”引發(fā)學(xué)生調(diào)用已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，提出問(wèn)題并嘗試解決問(wèn)題。學(xué)生有兩種思路：第一種是“將1個(gè)梨看成2個(gè)桃”，對(duì)應(yīng)得到“4個(gè)桃一共400克”，先求出“1個(gè)桃是100克”，再順勢(shì)得到“1個(gè)梨是200克”，列式計(jì)算為“400÷（2+2）=100（克），100×2=200（克）”，解題的關(guān)鍵是“將梨都看成了等量的桃”;第二種是“將2個(gè)桃看成1個(gè)梨”，對(duì)應(yīng)得到“2個(gè)梨一共400克”，先求出“1個(gè)梨200克”，再順勢(shì)得到“1個(gè)桃是100克”，列式計(jì)算為“400÷（1+1）=200（克），200÷2=100（克）”，解題的關(guān)鍵是“將桃都看成了等量的梨”。最后，引領(lǐng)學(xué)生比較兩種思考過(guò)程，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系是理解具體問(wèn)題的關(guān)鍵，等量代換是處理數(shù)量關(guān)系的依據(jù)，至于怎么使用數(shù)量關(guān)系，也就是“都看成梨”或“都看成桃”，變換方向可以不一樣?？梢钥闯觯I(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷思維過(guò)程的異同體驗(yàn)，有助于學(xué)生初步感受假設(shè)的方向和方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定策略認(rèn)知的基礎(chǔ)。

2.策略分析

首先，出示“720毫升果汁”的前置條件，以及多組不同的備選條件，分別是“倒入9個(gè)同樣的小杯，正好倒?jié)M”“倒入3個(gè)相同的大杯，正好倒?jié)M”和“倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好倒?jié)M”，鼓勵(lì)學(xué)生自主搭配和選擇條件，并對(duì)問(wèn)題對(duì)象進(jìn)行判斷。接著，學(xué)生自由匯報(bào)，有的選擇“倒入9個(gè)同樣的小杯，正好倒?jié)M”這個(gè)條件，列式為“720÷9=80（毫升）”，順利解決了小杯容量的問(wèn)題;有的選擇“倒入3個(gè)相同的大杯，正好倒?jié)M”這個(gè)條件，列式為“720÷3=240（毫升）”，順利解決了大杯容量的問(wèn)題;有的選擇“倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好倒?jié)M”這個(gè)條件，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題有困難——認(rèn)知沖突的出現(xiàn)，極大提升了學(xué)生的關(guān)注度。然后，教師順勢(shì)提出問(wèn)題“為什么不能同時(shí)解決大小杯容量的問(wèn)題？”“如果想要解決，你有什么好的建議？”和“大小杯容量之間可能有怎樣的關(guān)系？”，引導(dǎo)學(xué)生感知“單獨(dú)倒入”關(guān)系簡(jiǎn)單，“同時(shí)倒入”關(guān)系復(fù)雜，要想求解同時(shí)出現(xiàn)的兩個(gè)未知量，知道它們之間的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵，至于是“倍比關(guān)系”或“和差關(guān)系”，這并不是問(wèn)題的重點(diǎn)?？梢钥闯?，認(rèn)知沖突有效驅(qū)動(dòng)了分析，辨析的內(nèi)容直指假設(shè)策略的兩大關(guān)鍵，一是“條件和問(wèn)題之間要有聯(lián)系”，二是“條件和條件之間要有聯(lián)系”，至于條件之間的聯(lián)系和運(yùn)算環(huán)境是什么，姑且看作是假設(shè)策略的學(xué)習(xí)類(lèi)型，它并不是假設(shè)策略認(rèn)知的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

顯然，“策略調(diào)用”側(cè)重?cái)?shù)量的“關(guān)系運(yùn)用”，演繹了算法多樣;“策略分析”側(cè)重?cái)?shù)量的“關(guān)系聯(lián)結(jié)”，考量了認(rèn)知沖突中的需求一致。這樣處理，既固化了問(wèn)題解決的一般路徑，又深化了數(shù)量關(guān)系的核心地位。

二、構(gòu)造認(rèn)知模型，凸顯關(guān)系內(nèi)涵

認(rèn)知模型是一種結(jié)構(gòu)化的共性理解和數(shù)學(xué)構(gòu)造。就假設(shè)策略的學(xué)習(xí)而言，認(rèn)知模型以未知量為節(jié)點(diǎn)，以數(shù)量關(guān)系為紐帶，以新的、簡(jiǎn)單的和方便問(wèn)題解決的結(jié)構(gòu)為取向，過(guò)程著重關(guān)系的內(nèi)涵理解、新舊對(duì)比和價(jià)值感悟。

1.策略生動(dòng)

首先，出示補(bǔ)充條件“小杯的容量是大杯的[13]”，學(xué)生通過(guò)解答問(wèn)題“怎樣理解題中數(shù)量之間的關(guān)系？”，獲得“6個(gè)小杯的容量+1個(gè)大杯的容量=720毫升”和“大杯的容量是小杯的3倍”的關(guān)系，為自主探究做好認(rèn)知準(zhǔn)備;其次，創(chuàng)設(shè)一個(gè)探究活動(dòng)，要求學(xué)生在活動(dòng)單上記錄過(guò)程，可以畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)和算一算，并嘗試用一句話(huà)概括方法和組內(nèi)交流;最后，在匯報(bào)成果環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生當(dāng)“小先生”，充分展示自我的探究過(guò)程和小組的討論結(jié)果。這樣做，一方面內(nèi)化了“數(shù)量關(guān)系怎么理？”的策略性定位，比如畫(huà)示意圖實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的直觀理解，畫(huà)線(xiàn)段圖實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的抽象表征，而列方程實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系抽象層面的合情推理;另一方面深化了“數(shù)量關(guān)系怎么用？”的階段性定位，比如原有數(shù)量關(guān)系的理解和運(yùn)用，現(xiàn)有數(shù)量關(guān)系的構(gòu)造和實(shí)踐，檢驗(yàn)數(shù)量關(guān)系的確認(rèn)和操作，促使數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵理解形成認(rèn)知回路。

2.策略深刻

策略學(xué)習(xí)需要問(wèn)題解決，但是又不止于問(wèn)題解決，還需要將個(gè)性思維中的共性方法進(jìn)行梳理、提煉和內(nèi)化（如圖1）。仔細(xì)觀察后不難發(fā)現(xiàn)，假設(shè)策略的數(shù)學(xué)內(nèi)涵具有鮮明特征。首先，從未知量的個(gè)數(shù)角度來(lái)看，以往的“一個(gè)未知量”變成現(xiàn)在的“兩個(gè)未知量”，未知量的增多，情境的相對(duì)復(fù)雜，激發(fā)了學(xué)生假設(shè)策略的認(rèn)知內(nèi)需。其次，從未知量的關(guān)系角度來(lái)看，以往的“條件不相關(guān)”變成現(xiàn)在的“條件正相關(guān)”，數(shù)量關(guān)聯(lián)支撐了假設(shè)策略的具體實(shí)施。最后，從未知量的代換角度來(lái)看，無(wú)論是“全部倒入小杯”，還是“全部倒入大杯”，等量代換的數(shù)學(xué)思想一脈相承，未知量由多變少的操作路徑異曲同工，思維的有效整合凸顯了假設(shè)策略的數(shù)學(xué)本質(zhì)。就這樣，在變與不變的過(guò)程體驗(yàn)和思辨中，方法感知演變成了策略架構(gòu)，同時(shí)策略?xún)r(jià)值的感悟也變得可視化、結(jié)構(gòu)化和一體化。

顯然，“策略生動(dòng)”側(cè)重個(gè)性的“思維表達(dá)”，演繹了“快思考”的過(guò)程生動(dòng);“策略深刻”側(cè)重共性的“思維沉淀”，呈現(xiàn)了“慢思考”的過(guò)程深刻。這樣處理，既尊重了學(xué)習(xí)主體的感性基礎(chǔ)，又促進(jìn)了知識(shí)發(fā)展的理性建構(gòu)。

三、遷移認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，具化關(guān)系路徑

認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)就生長(zhǎng)階段而言，一般可分兩個(gè)層次。第一個(gè)層次是“無(wú)案可循”的形式加工，它側(cè)重對(duì)現(xiàn)有情境中重復(fù)出現(xiàn)方法的抽象和概括;第二個(gè)層次是“有案可依”的實(shí)質(zhì)加工，它側(cè)重已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)后續(xù)行為的約束和引導(dǎo)。

1.策略強(qiáng)化

首先，將教材的例題進(jìn)行適當(dāng)改編，變成“720毫升果汁倒入4個(gè)小杯、2個(gè)中杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M”和“小杯的容量是中杯的[12]，大杯的容量是中杯的2倍”，與此同時(shí)，提出“小杯、中杯和大杯的容量各是多少毫升？”的問(wèn)題。接著，創(chuàng)設(shè)自主探究的活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生遷移已有經(jīng)驗(yàn)，積極思考并記錄過(guò)程。活動(dòng)開(kāi)始之前進(jìn)行師生交流 “你準(zhǔn)備假設(shè)將果汁全部倒入哪種杯子？”“其他杯子也可以嗎？”，滲透“想清楚再做事”的基本原則，為學(xué)生思維品質(zhì)的提升添磚加瓦。教師要引導(dǎo)學(xué)生有序匯報(bào)，以“假設(shè)全部倒入中杯”為例，根據(jù)“大杯的容量是中杯的2倍”，可以將“1個(gè)大杯等量代換成2個(gè)中杯”，根據(jù)“小杯的容量是中杯的[12]”，可以將“4個(gè)小杯等量代換成2個(gè)中杯”，再算上原來(lái)的2個(gè)中杯，這樣就假設(shè)成“6個(gè)中杯的容量一共是720毫升”，有了這個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，很快算出“1個(gè)中杯的容量是720÷6=120（毫升）”，進(jìn)而求出“1個(gè)大杯的容量是120×2=240（毫升）”和“1個(gè)小杯的容量是120÷2=60（毫升）”;當(dāng)然，也可以“假設(shè)全部倒入大杯”或者“假設(shè)全部倒入小杯”（如圖2）。最后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比和思考，從整體上把握策略實(shí)踐的要點(diǎn)和路徑，從局部上感受“直接關(guān)系”比“間接關(guān)系”更方便等量代換，促使策略的思維從“可以做”進(jìn)階為“可優(yōu)化”。

2.策略回顧

如果把“策略強(qiáng)化”看成“怎么做”，那么“策略回顧”就是“怎么看”。因此，在這里主要鼓勵(lì)學(xué)生從假設(shè)策略的視角出發(fā)，整理以往學(xué)習(xí)中使用假設(shè)策略的案例，挖掘出諸如“計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的除法，把除數(shù)當(dāng)作整十?dāng)?shù)試商”“把接近整百或整十的數(shù)看作整百或整十?dāng)?shù)，估算出大致的結(jié)果”和“已知兩個(gè)數(shù)的和與差，假設(shè)兩個(gè)數(shù)同樣多，分別求出這兩個(gè)數(shù)”等，這些都是基于自主認(rèn)知的定性確認(rèn)。這樣的回顧，一方面使得策略的意識(shí)從模糊變得清晰，感知策略運(yùn)用的基礎(chǔ)性和廣泛性;另一方面也豐富了假設(shè)策略的內(nèi)涵，不僅可以像例題那樣，使數(shù)量關(guān)系變簡(jiǎn)單，還可以像試商和估算那樣，使運(yùn)算過(guò)程變簡(jiǎn)潔，從而感知策略運(yùn)用的價(jià)值性和統(tǒng)一性。

顯然，“策略強(qiáng)化”側(cè)重策略的“自我調(diào)節(jié)”，具化了關(guān)系處理的既定路線(xiàn);“策略回顧”側(cè)重策略的“自我認(rèn)同”，聯(lián)結(jié)了立體多元的隱形認(rèn)知。這樣處理，既驅(qū)動(dòng)了策略規(guī)則的外化有術(shù)，又滲透了策略視角的內(nèi)化有道。

四、內(nèi)化認(rèn)知策略，提升關(guān)系素養(yǎng)

認(rèn)知策略是學(xué)習(xí)主體加工信息的方法。就本課而言，在學(xué)生歷經(jīng)方法的滲透、示范、嘗試和回顧等四個(gè)階段后，還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生感受不同情境的其他問(wèn)題，或者相同情境的不同角度，以?xún)?nèi)化策略、發(fā)展思維和提升素養(yǎng)。

1.策略同化

首先，動(dòng)態(tài)出示“2個(gè)大筐和3個(gè)小筐一共裝了99千克蘋(píng)果”和“大筐所裝的量是小筐的3倍”的條件，要求學(xué)生選擇一種假設(shè)方向，自主解決“大筐、小筐蘋(píng)果千克數(shù)”的問(wèn)題。學(xué)生的匯報(bào)井然有序：第一種是“假設(shè)蘋(píng)果全部裝入小筐”，根據(jù)“2個(gè)大筐”和“大筐所裝的質(zhì)量是小筐的3倍”這兩個(gè)條件，可以很快地將“2個(gè)大筐假設(shè)成6個(gè)小筐”，此時(shí)“99千克”對(duì)應(yīng)的就是“9個(gè)小筐（其中6個(gè)是假的，3個(gè)是真的）”，然后順勢(shì)算出“每個(gè)小筐所裝蘋(píng)果的千克數(shù)是99÷9=11（千克）”，則“每個(gè)大筐所裝蘋(píng)果的千克數(shù)是11×3=33（千克）”;第二種是“假設(shè)蘋(píng)果全部裝入大筐”，根據(jù)“3個(gè)小筐”和“大筐所裝的質(zhì)量是小筐的3倍”這兩個(gè)條件，可以很快地將“3個(gè)小筐假設(shè)成1個(gè)大筐”，此時(shí)“99千克”對(duì)應(yīng)的就是“3個(gè)大筐（其中1個(gè)是假的，2個(gè)是真的）”，然后順勢(shì)算出“每個(gè)大筐蘋(píng)果的千克數(shù)是99÷3=33（千克）”，則“每個(gè)小筐蘋(píng)果的千克數(shù)是33÷3=11（千克）”?？梢钥闯觯@里的問(wèn)題結(jié)構(gòu)與例題相似，策略同化的特征明顯。接著，將情境稍做變化，把“2個(gè)大筐和3個(gè)小筐”改編成“3個(gè)大筐和2個(gè)小筐”，其他條件和問(wèn)題都不變，讓學(xué)生嘗試解決。有趣的是，出現(xiàn)“假設(shè)蘋(píng)果全部裝入小筐”的人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“假設(shè)蘋(píng)果全部裝入大筐”的人數(shù)。究其原因，前者的假設(shè)方向是“順勢(shì)而為”，計(jì)算僅在整數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)行，過(guò)程比較簡(jiǎn)單;后者的假設(shè)方向是“逆流而上”，計(jì)算涉及分?jǐn)?shù)范圍和方程形式，過(guò)程比較復(fù)雜和曲折。這樣就引發(fā)了學(xué)生感知“假設(shè)方向”的互通性、必要性和選擇性，強(qiáng)化了假設(shè)策略的靈活運(yùn)用。最后，動(dòng)態(tài)出示“三層貨架上的洗手液，每層總質(zhì)量相等，從上往下看，第一層有1大瓶、2個(gè)中瓶和5個(gè)小瓶，第二層有3個(gè)中瓶和5個(gè)小瓶，第三層有1個(gè)大瓶和8個(gè)小瓶，還知道1個(gè)小瓶有200克，要求1個(gè)大瓶和1個(gè)中瓶各有多少克”?？梢钥闯觯@里的問(wèn)題結(jié)構(gòu)稍有變化，處理方式稍有不同，但關(guān)系化繁為簡(jiǎn)的策略取向沒(méi)有變，等量代換的思想支撐也沒(méi)有變，所以它仍然隸屬策略同化的范疇。

2.策略順應(yīng)

假設(shè)策略對(duì)于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)影響較大，如果學(xué)生能有感性體驗(yàn)，也許就能為學(xué)習(xí)的持續(xù)性注入生長(zhǎng)因子。基于這樣的思考，將課堂初始“梨和桃”的問(wèn)題情境加以改造，用兩個(gè)未知數(shù)分別表示梨和桃的數(shù)量，即假設(shè)1個(gè)梨的質(zhì)量是x克，1個(gè)桃的質(zhì)量是y克，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系，分別列出方程，即“x=2y”和“x+2y=400”，并將它們聯(lián)立成方程組，最后鼓勵(lì)學(xué)生口算解決問(wèn)題，體會(huì)外在形式的組織變化并沒(méi)有改變等量代換和關(guān)系化簡(jiǎn)的內(nèi)在事實(shí)。可以看出，學(xué)生對(duì)原有認(rèn)知進(jìn)行修改和重構(gòu)后，能夠勝任新環(huán)境的學(xué)習(xí)需求，從而實(shí)現(xiàn)策略順應(yīng)的無(wú)限精彩。

顯然，“策略同化”側(cè)重認(rèn)知的“必要鞏固”，提升了策略實(shí)踐的操作水準(zhǔn);“策略順應(yīng)”側(cè)重認(rèn)知的“可能應(yīng)用”，架構(gòu)了策略體驗(yàn)的價(jià)值魅力。這樣處理，既夯實(shí)了策略學(xué)習(xí)的關(guān)鍵技能，又孕育了策略素養(yǎng)的必備品格。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題《基于問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)的小學(xué)生數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的研究》（課題批準(zhǔn)文號(hào)：C-b/2020/02/26）和江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期重點(diǎn)課題《深度學(xué)習(xí)下小學(xué)數(shù)學(xué)游戲的開(kāi)發(fā)與應(yīng)用研究》（課題批準(zhǔn)文號(hào)：2019JK13-ZB48）階段性成果。]

（責(zé)編 金 鈴）