“消元思想”還是“化歸思想”

吳京霖　王睿

【摘 要】對人教版數(shù)學(xué)七年級（下）“二元一次方程解法”中數(shù)學(xué)思想方法的表述進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)以“消元”思想的提法在實(shí)際教學(xué)中會產(chǎn)生兩個(gè)矛盾.為了解決這一問題，研究通過比較消元思想和化歸思想的內(nèi)涵以及三個(gè)版本“二元一次方程組的解法”的思路路徑，得出“二元一次方程組解法”的思維模型，確定了“二元一次方程組的解法”應(yīng)滲透的數(shù)學(xué)思想為“化歸思想”，消元是化歸思想指導(dǎo)下的轉(zhuǎn)化方法;并給出了教材的修改建議.

【關(guān)鍵詞】化歸思想;消元;二元一次方程組;數(shù)學(xué)思想方法

1 問題提出

數(shù)學(xué)思想方法就中學(xué)教學(xué)而言，是指用于指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題解決的思想方法.張奠宙教授認(rèn)為：“評價(jià)一節(jié)數(shù)學(xué)課的質(zhì)量，首要關(guān)注的就是教學(xué)過程是否揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的精神.而其本質(zhì)和精神，就是數(shù)學(xué)思想方法”[1].《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》分別從課程理念、教材編寫以及課程資源開發(fā)三個(gè)板塊強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想方法的重要性[2].由此可見，數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.具體而言，數(shù)學(xué)思想方法包含數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，但我國數(shù)學(xué)教育學(xué)者普遍未將思想和方法作出明確的區(qū)分，其主要原因是數(shù)學(xué)思想既可作為指導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思想，也可以作為問題解決的具體方法，如函數(shù)思想方法[3].然而在中學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，如果不對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法加以區(qū)分，勢必會引起教材編寫、滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)等產(chǎn)生混亂.在人教版數(shù)學(xué)七年級（下）二元一次方程組的解法中，教材對該章運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行歸納，認(rèn)為指導(dǎo)二元一次方程組解法發(fā)現(xiàn)過程的思想為“消元思想”.這一提法與探究二元一次方程組解法中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相悖.事實(shí)上，通過三種版本教材的比較分析發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組解法的發(fā)現(xiàn)思路是“二元一次方程組不會解，但是會解一元一次方程組，那么能不能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的一元一次方程從而解決問題呢？”可以看到，基于這種思考，化歸思想才是主要的指導(dǎo)思想，而消元運(yùn)用在具體的轉(zhuǎn)化過程中，更多體現(xiàn)的是方法.基于上面的表述，本文主要從教材中“消元思想”提法下的前后矛盾、消元思想和化歸思想的內(nèi)涵比較以及三種教材中對于二元一次方程組解法的思路路徑分析三個(gè)方面論述人教版教材中提“消元思想”的不合理性，并結(jié)合論證給出教材編寫的修改建議.2 “消元思想”提法下的前后矛盾

人教版教材中，二元一次方程組章節(jié)中涉及思想方法的表述主要分布如表1所示.

從上述5個(gè)表述可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)矛盾：

（1）消元在本章中是思想還是方法的矛盾

在章引言中提出，消元是一種思想方法，其后在“消元——二元一次方程組的解法”這一節(jié)中，明確指出消元是本章的指導(dǎo)思想.但緊接著，歸納出“通過消元使方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程”，從這一表述上看，消元是轉(zhuǎn)化的一種方法，最后在章小結(jié)中也明確指出了“消元是解二（三）元一次方程組的基本方法”，同時(shí)還提出了轉(zhuǎn)化的過程中體現(xiàn)了化歸思想;值得思考的是，教材中正式提出了“消元”思想，然而小結(jié)處卻直接否定了該提法，反而添加了教材中只字未提的化歸思想，顯得如此突兀.誠然，數(shù)學(xué)思想方法在課程標(biāo)準(zhǔn)中亦未明確區(qū)分，但從根本上看，思想具備一般的指導(dǎo)性，而方法則是在思想的指導(dǎo)下解決問題的具體途徑.如果教材中不對思想和方法加以區(qū)分，教師該如何進(jìn)行備課，學(xué)生看到如此矛盾的表述亦對數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性產(chǎn)生質(zhì)疑.

（2）消元思想能否解釋“為什么要這樣做？”的問題

如果以“消元思想”作為指導(dǎo)思想，解決二元一次方程組的問題后，在研究三元一次方程組時(shí)，該如何進(jìn)行思路的分析？很顯然，學(xué)生會想到消元，那么問題會隨之產(chǎn)生，怎么消，消到什么程度？消元思想是無法解決的，唯有以化歸思想為指導(dǎo)，產(chǎn)生如下思路：“三元一次方程組不會解，但是已經(jīng)學(xué)會了二元一次方程組，所以只要能將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，就可以解了.”這樣的思路可以解決怎么消和消到什么程度的問題，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)明白了“為什么要這樣做”，那自然就可以很快理解怎么消和消到什么程度的問題.3 消元思想和化歸思想的內(nèi)涵

消元思想在人教版教科書“消元——二元一次方程組的解法”一章中有明確的定義，即“將未知數(shù)由多化少，逐一解決的思想，叫做消元思想.”化歸思想在教科書中未明確指出，但是在同章的章節(jié)小結(jié)中有相關(guān)表述：“通過消元，我們把三元轉(zhuǎn)化為二元，二元轉(zhuǎn)化為一元，這一過程體現(xiàn)了化歸思想.”張奠宙教授在《數(shù)學(xué)教育概論》中指出，化歸思想是指將待解決的問題通過邏輯或等價(jià)變換，歸結(jié)為已知的事實(shí)的思想.簡單的說，就是將“不會的問題”通過一定的方法轉(zhuǎn)化為“已經(jīng)掌握的問題”，這是數(shù)學(xué)問題解決中最常用的方法.下面以思想來源、思想指導(dǎo)內(nèi)容和思想育人價(jià)值三個(gè)維度進(jìn)行比較.此處思想來源不是指其數(shù)學(xué)思想的根本來源，而是指在初中數(shù)學(xué)課程中首次應(yīng)用該數(shù)學(xué)思想解決問題的知識點(diǎn);思想指導(dǎo)內(nèi)容是指在初中數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用該數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識方法的知識點(diǎn);思想的育人價(jià)值是指學(xué)生在掌握了該數(shù)學(xué)思想后可以運(yùn)用該數(shù)學(xué)思想解決哪些實(shí)際問題（見表2）.

從表2可知，就初中數(shù)學(xué)課程而言，消元思想和化歸思想均起源于探究二元一次方程組的解法，但就思想指導(dǎo)內(nèi)容而言，化歸思想的指導(dǎo)內(nèi)容更加廣泛，其不僅指導(dǎo)探究二元一次方程組的解法，更在命題證明、探究多邊形內(nèi)角和等知識點(diǎn)中有重要應(yīng)用.如要探究多邊形內(nèi)角和，可以將問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)多邊形可以轉(zhuǎn)化為多少個(gè)三角形的問題，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°，從而解決問題.從思想育人價(jià)值上看，消元思想提供了一種“降維”思維，而化歸思想提供了一種解決問題的一般方法，可以幫助學(xué)生在面對未知問題時(shí)，嘗試構(gòu)建未知和已知的聯(lián)系，從而將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題進(jìn)行解決.

通過比較分析發(fā)現(xiàn)，消元思想無論在初中數(shù)學(xué)課程還是指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)問題的解決上，都無法與化歸思想相提并論.因此，在“二元一次方程組解法”這一節(jié)的教材編寫中，應(yīng)滲透的是化歸思想.4 三種教材中對于二元一次方程組解法的思路路徑分析

數(shù)學(xué)思想源于數(shù)學(xué)問題的解決，同時(shí)也指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題的解決.數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教育專家們經(jīng)過綜合數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論、數(shù)學(xué)教學(xué)論、教育心理學(xué)等知識編寫而成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育專家對于數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解.然而不同版本的教材，對于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的揭露各有側(cè)重，通過教材比較，可以發(fā)現(xiàn)其中的共同之處，即數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).為了揭示二元一次方程組中到底是何種數(shù)學(xué)思想占主導(dǎo)作用，筆者以人教版、北師大版和蘇教版三種版本教材中二元一次方程組的解法探究過程為研究對象，從問題選取、思考問題、提示、方法歸納四個(gè)維度進(jìn)行比較，得出專家們普遍認(rèn)可的二元一次方程組解法的思路路徑，并以此路徑為基礎(chǔ)，分析消元思想、化歸思想中的各自作用.

通過教材比較發(fā)現(xiàn)，人教版和蘇教版都運(yùn)用了“找聯(lián)系”的方法，即讓學(xué)生比較分析發(fā)現(xiàn)二元一次方程組和一元一次方程的關(guān)系，從而指出二元一次方程組可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程組，這樣處理的好處是學(xué)生能夠比較快地明白二元一次方程組和一元一次方程組的聯(lián)系，并提供代入消元法作為解題思路.但是這樣處理存在這樣一個(gè)問題：“為什么要和一元一次方程組比較？為什么不是別的？”學(xué)生會陷入知其然而不知其所以然的窘境.會產(chǎn)生這種現(xiàn)象的根本原因就在于，它與學(xué)生的思維過程并不相符.而北師大版則運(yùn)用了兩個(gè)小提示來揭示學(xué)生的思維過程：“我不會解二元一次方程，只會解一元一次方程”——“把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成了一元一次方程”——“我會解了”.學(xué)生經(jīng)歷了完整的“化歸思想”的歷程，不僅知其然，更知其所以然.

從方法總結(jié)上看，三個(gè)版本教材中的方法總結(jié)雖然表述不同，但都提到了一個(gè)核心的概念：“將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程組”，因此可以確定二元一次方程組的解法的思路路徑（見圖1）.

此外，還有兩個(gè)問題亟待解決：1）為什么要如此做？2）怎么轉(zhuǎn)化？這是思想和方法的問題.結(jié)合北師大版的教材可知，這樣做的原因是學(xué)生不會解二元一次方程組，但是會解一元一次方程組.因此，自然而然會想到，能不能將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程組呢？這樣的一個(gè)思維過程就是化歸思想在起指導(dǎo)作用.在確定了轉(zhuǎn)化后，接下來的問題就是如何轉(zhuǎn)化？結(jié)合所學(xué)等式的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)可以通過代入消元法和加減消元法來實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化過程.因此二元一次方程組解法中，數(shù)學(xué)思想是化歸思想，方法是消元法.綜上所述，二元一次方程組解法的思維模型見圖2.

如果只看到消元法在起作用，而不能看到背后的化歸思想在統(tǒng)領(lǐng)全局，就會導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)過程只關(guān)注了現(xiàn)象，偏離了數(shù)學(xué)本質(zhì)，這與課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的“在教學(xué)過程中注重揭露數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)”相悖.

5 研究結(jié)論

通過分析人教版七年級下冊“二元一次方程組的解法”單元中對于數(shù)學(xué)思想方法的表述，發(fā)現(xiàn)以“消元思想”作為本章的指導(dǎo)思想，會在教材內(nèi)容邏輯上產(chǎn)生“消元”是思想還是方法的矛盾和“消元”不能解決“為什么要這樣做”的問題，并進(jìn)行消元思想和化歸思想內(nèi)涵的比較分析以發(fā)現(xiàn)其在初中數(shù)學(xué)知識中的重要性，以及從人教版、北師大版和蘇教版三個(gè)版本教材進(jìn)行比較，得出了二元一次方程組的解法的思維模型，即以化歸思想為指導(dǎo)，運(yùn)用消元法將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程組.這一思維模型揭示了“化歸思想”才是“二元一次方程組的解法”的指導(dǎo)思想，“消元”只是轉(zhuǎn)化的一種方法.

基于上述結(jié)論，建議對教材進(jìn)行如下修改：

（1）在章引言處，將消元思想更改為化歸思想;

（2）在8.2節(jié)中，將消元思想的相關(guān)表述刪除，更改為化歸思想的表述，并指出消元是一種在化歸思想指導(dǎo)下的轉(zhuǎn)化方法.

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2010：94-98.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]王全林.中學(xué)數(shù)學(xué)方法概論[M].廣州：暨南大學(xué)出版社，2000：3-5.

作者簡介 吳京霖（1991—）男，貴州黃平人，碩士研究生;主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教育.

王睿（1996—）女，貴州貴陽人，碩士研究生;主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教育.