中考數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)題與能力題例談

譚麗春，周怡杉

中考數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)題與能力題例談

譚麗春，周怡杉

（南寧師范大學(xué)，廣西南寧530100）

本文通過(guò)對(duì)中考數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)題與能力題的思考，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)能力三者的關(guān)系，分析數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題和數(shù)學(xué)能力題的題型特點(diǎn)、解題方法及其教學(xué)策略，以期能夠從教學(xué)實(shí)踐方面對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)有所啟示。

四基；數(shù)學(xué)能力；基礎(chǔ)題；能力題

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)是：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)“四基”，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。從中可以看出：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂（2011年版）》明確地將“發(fā)展‘四基’、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力”作為數(shù)學(xué)教育的目的之一。

要使新的課程改革得到真正的落實(shí)，教育評(píng)價(jià)的研究必須先行。為了體現(xiàn)“四基”與能力的考查，在中考數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題和數(shù)學(xué)能力題是基于“四基”與能力立意的命題方向的具體體現(xiàn)。中考是衡量學(xué)生是否達(dá)到畢業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的重要依據(jù)，試卷結(jié)構(gòu)必須科學(xué)，要綜合考慮試卷的難度、信度、效度、可信度。所以中考數(shù)學(xué)試卷的命制既要通過(guò)基礎(chǔ)題考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與技能方面的水平，又要通過(guò)能力題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。下面本文將通過(guò)具體例子談?wù)勚锌紨?shù)學(xué)中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題和數(shù)學(xué)能力題的常見(jiàn)題型。

一、中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的基礎(chǔ)題題型

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題以考查學(xué)生數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的理解和掌握為目的，寓數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)于問(wèn)題情景之中。這類題目往往具有以下特點(diǎn)：①題目包含的信息容量小，一般包含1-2個(gè)數(shù)學(xué)命題和對(duì)象；②知識(shí)結(jié)構(gòu)單一，要求能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到理解、識(shí)記的程度；③問(wèn)題往往由一些基本的數(shù)學(xué)事實(shí)性知識(shí)（如定義、定理、公式、特定的證明等）和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)即可解決。

基礎(chǔ)題首先考查的是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容，即所有學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中最重要、必須掌握的核心觀念、核心思想、基本概念和常用技能。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題注重考查“四基”，結(jié)合“四基”的特點(diǎn)可以將中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的基礎(chǔ)題題型分為以下幾種：

（一）知識(shí)再認(rèn)型

“知識(shí)再認(rèn)”指的是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再認(rèn)與回憶。知識(shí)再認(rèn)型題目考查的是學(xué)生通過(guò)問(wèn)題情景的關(guān)聯(lián)性，能否提取在學(xué)習(xí)過(guò)程中理解、記憶并系統(tǒng)化了的數(shù)學(xué)知識(shí)，即考查的是學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解、掌握以及重組，同時(shí)也是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)掌握程度的重要途徑。

例1 (2019年廣西南寧中考)2019年6月6日，南寧市地鐵3號(hào)線舉行通車儀式，預(yù)計(jì)地鐵3號(hào)線開(kāi)通后日均客流量為700000人次，其中數(shù)據(jù)700000用記數(shù)法表示為（）

A.70×104B.7×105C.7×106D.0.7×106

（二）基本演算型

數(shù)與代數(shù)是初中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，數(shù)與代數(shù)部分包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)。而數(shù)的運(yùn)算始終貫穿數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，所以學(xué)生的運(yùn)算水平在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，也是中考考查內(nèi)容之一。

例2 (2019年廣西南寧中考)下列運(yùn)算正確的是（）。

基本演算型的題目要求學(xué)生能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算，更高層次的要求是學(xué)生能夠根據(jù)算式特點(diǎn)巧妙地選擇合適的公式簡(jiǎn)化計(jì)算?；狙菟阈偷念}目是考查學(xué)生運(yùn)算水平的重要途徑。

（三）基本操作型

“空間觀念”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂（2011年版）》提出的十個(gè)核心概念之一，文中并沒(méi)有對(duì)“空間觀念”的內(nèi)涵作具體的描述，但從四個(gè)方面對(duì)它的特征進(jìn)行了描述，其中包括能夠描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化、依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形。所以能夠依據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)、關(guān)系，對(duì)圖形進(jìn)行分析、操作也是中考數(shù)學(xué)的考查內(nèi)容之一。

例3 如圖，在△中，=，∠=40°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠的度數(shù)為（）。

（四）基本方法應(yīng)用型

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法以數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能為載體，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的精髓。以知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想與方法是意識(shí)形態(tài)的，看不見(jiàn)、摸不著，所以對(duì)于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查，要以試題為媒介。

以上是中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的基礎(chǔ)題類型，對(duì)于基礎(chǔ)題，直接運(yùn)用基本知識(shí)技能、思想方法以及基本經(jīng)驗(yàn)即可解決。基礎(chǔ)題在中考數(shù)學(xué)試卷中比重較大，基礎(chǔ)題重在考查“四基”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要加深對(duì)知識(shí)的理解，要梳理知識(shí)的脈絡(luò)，牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，不能死記硬背，理清新知識(shí)與舊知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系，將新知識(shí)重組建構(gòu)，形成完整的知識(shí)體系。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要反復(fù)滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納數(shù)學(xué)方法?？傊?，一個(gè)好的數(shù)學(xué)教學(xué)，是能夠把數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維融為一體的教學(xué)。

二、中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的能力題題型

綜合近幾年的試題來(lái)看，中考數(shù)學(xué)中的能力題往往具有以下特點(diǎn)：①題目包含的信息容量大，一般包含多個(gè)數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)對(duì)象，從而能夠?qū)崿F(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的融合；②知識(shí)的綜合性和層次性增強(qiáng)，要求對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解水平能夠達(dá)到系統(tǒng)化和具體化，重建或調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通，并使知識(shí)得到廣泛遷移的程度；③問(wèn)題的探索性和創(chuàng)造性增強(qiáng)，問(wèn)題解決的思路往往會(huì)有多個(gè)方向，需要依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)思維對(duì)解題方案進(jìn)行及時(shí)控制和調(diào)整，在一定程度上能夠檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

數(shù)學(xué)能力是在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)上，通過(guò)廣泛遷移，不斷概括化、系統(tǒng)化，即類化而實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)技能的進(jìn)一步沉淀與升華。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題的訓(xùn)練能夠?yàn)閷W(xué)生搭建牢固的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)能力題可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)上有進(jìn)一步的突破。數(shù)學(xué)能力題綜合性強(qiáng)，解法靈活多變，從近幾年的中考數(shù)學(xué)來(lái)看，中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的能力題題型有以下幾種：

（一）動(dòng)態(tài)型問(wèn)題

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題常見(jiàn)的解決方法是以靜代動(dòng)，常常通過(guò)對(duì)問(wèn)題中的某些點(diǎn)（常取特殊位置）的動(dòng)態(tài)變化查找動(dòng)點(diǎn)的軌跡，大膽預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)圖的形狀，然后再進(jìn)行邏輯推理的證明。以圖形的動(dòng)態(tài)變化考查學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握及一定的作圖能力和幾何直觀能力，要求學(xué)生熟練掌握?qǐng)D形的相對(duì)位置關(guān)系。

（二）存在性問(wèn)題

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式。

幾何法要求學(xué)生能夠畫(huà)出所有符合條件的平行四邊形，對(duì)學(xué)生的圖形感知能力要求很高。而且本題以二次函數(shù)為背景，而平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)與形的橋梁，在此前提下，顯然本題的解題思路采用代數(shù)法更簡(jiǎn)便。

（三）新定義題

新定義題要求學(xué)生能夠在現(xiàn)有知識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷類比、遷移、概括、抽象的過(guò)程理解一個(gè)新定義，并能夠用現(xiàn)有知識(shí)和語(yǔ)言重新表述新定義的內(nèi)涵。

這個(gè)題目是常見(jiàn)的新定義題型，最關(guān)鍵的是要理解a×b的運(yùn)算法則。本題目經(jīng)歷了從舊知到新知、從新知到實(shí)際應(yīng)用的兩次遷移，充分考查了學(xué)生的類比遷移能力，學(xué)生需經(jīng)歷嘗試、探索、歸納、概括、抽象的完整思維過(guò)程，充分體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。此類題要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、理解閱讀能力，從而能夠根據(jù)舊知識(shí)理解新定義，并運(yùn)用新定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（四）閱讀理解題

∴AE=DF。

【類比探究】問(wèn)題①，如圖2，在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△，=，AD=4，連接AE，求△的面積。

解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AF。

請(qǐng)將余下的求解步驟補(bǔ)充完整。

【拓展應(yīng)用】問(wèn)題②，如圖3，在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，AD=4，連接BD、BF、DF，直接寫(xiě)出△的面積。

閱讀理解題是給定一段閱讀材料，要求學(xué)生通過(guò)對(duì)閱讀材料的理解、加工、整理，提取出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)方法，并能夠類比遷移，應(yīng)用到新的問(wèn)題情景中。這類題目主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和信息提取能力。

三、結(jié)論

中考作為學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)測(cè)量的一種手段，既是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能方面的考查，也是對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的各種數(shù)學(xué)能力的程度、水平的測(cè)量。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)學(xué)知識(shí)與技能是顯性的教學(xué)目標(biāo)，數(shù)學(xué)能力目標(biāo)則是以內(nèi)隱的形式蘊(yùn)含其中的教學(xué)目標(biāo)。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要鉆研教材，挖掘蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)能力，通過(guò)學(xué)科總目標(biāo)和課時(shí)目標(biāo)中的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度等滲透對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

（一）注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系

在教學(xué)過(guò)程中，教師要整體、全局地把握教材，了解知識(shí)的背景、發(fā)展過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)，注重對(duì)知識(shí)體系的建構(gòu)和對(duì)知識(shí)內(nèi)容的掌握。教師要注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘教材中內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法。扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)是解決基礎(chǔ)題的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的前提條件。

（二）抓住數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的關(guān)鍵期

在教學(xué)中，教師應(yīng)采用“探究式”的教學(xué)方法，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，抓住數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的關(guān)鍵期，在探索數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

（三）培養(yǎng)學(xué)生檢查自己思維的習(xí)慣

在學(xué)習(xí)和教學(xué)過(guò)程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生檢查自己數(shù)學(xué)思維、解題思維的習(xí)慣，認(rèn)識(shí)自己的優(yōu)勢(shì)和不足，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，從而在解題過(guò)程中能夠通過(guò)對(duì)知識(shí)的理解，設(shè)計(jì)并調(diào)控解題方案。

總之，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)把握好“四基”與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系，訓(xùn)練基礎(chǔ)題，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能，循序漸進(jìn)由簡(jiǎn)到繁；在面對(duì)難題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，在試誤過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)能力題的解決，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

[1] 馬云鵬.數(shù)學(xué)教育測(cè)量與評(píng)價(jià)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2009.

[2] 曹才翰,章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)(第3版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2018.

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