啟發(fā)思考 經(jīng)歷過程 提升素養(yǎng)
——以“從函數(shù)的觀點看一元二次不等式”教學為例

潘晶薇

(江蘇省南京市第五中學,210004)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出:基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動，應該把握數(shù)學的本質(zhì),創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題,引發(fā)學生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)．如何在核心素養(yǎng)的視角下設計教學,提升學生的核心素養(yǎng)呢?章建躍博士認為，“從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考,這是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵點．”本文以一元二次不等式第一課時教學為例,淺談如何在課堂教學中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)．

一、創(chuàng)設情境,引出問題

師:一根長為10 m的繩子能圍成一個面積大于6 m2的矩形嗎?

生1:設矩形的一邊長為xm,則另一邊長為(5-x)m,其中06,化簡得x2-5x+6<0.

設計意圖問題是數(shù)學的心臟．問題情境的設置是順利解決數(shù)學問題、促進學生思維發(fā)展的有力保障,好的數(shù)學問題可以調(diào)動學生的學習積極性,激發(fā)學生探究的興趣,引導學生積極思考,形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．為了讓全體學生都積極參加到課堂學習中來,可以把課本順序進行調(diào)整,以課本里例2這個簡單應用題引入,這樣有助于全員參與,喚起所有學生學習新知的欲望,這個過程可以培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

二、聯(lián)想類比,生成定義

師:上面這個不等式同學們見過嗎?

生2:沒有,我只見過一元一次不等式．

師(追問):那這個不等式的特點是什么?

生2:只含一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式

師:如果讓你給這類不等式命名,起什么名字呢?

生2:一元二次不等式.

師:非常棒!我們把這種只含一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式．

設計意圖學習的本質(zhì)是體驗和感悟,因此,數(shù)學理解必須建立在學生親身經(jīng)歷的基礎上.一元二次不等式的概念同學們類比一元一次不等式自己能夠得到,通過提問讓學生思考,讓他們自己主動建構知識,既調(diào)動學生學習的積極性,又能夠讓學生更好地理解概念,培養(yǎng)學生數(shù)學抽象,邏輯推理等核心素養(yǎng)．

三、自主探究,解決問題

師:同學們能夠解出這個一元二次不等式嗎?請你試一試.

生4:利用二次函數(shù)y=x2-5x+6圖象數(shù)形結合解決.首先令y=0,即x2-5x+6=0求得交點坐標為P1((2,0),P2(3,0)，令y<0，如圖1，得圖象上對應x軸下方點橫坐標x的取值范圍是{x|2

師:太棒了!能夠自己利用數(shù)形集合解決這個不等式,水平很高．那么利用圖象能不能解決x2-5x+6>0?

全體搶答:當然可以,只要找圖象上對應x軸上方點橫坐標x的取值范圍即可.

師:那解集是什么?

全體搶答:{x|x<2或x>3}.

師:上面解不等式的方法你們喜歡哪個?

全體搶答:第二個數(shù)形集合的方法,又快又好!

師:第二種方法除了快還有其它優(yōu)點嗎?

生5:它具有一般性,對于不能因式分解的一元二次不等式也可以用第二種解決．

設計意圖蘇教版新教材從函數(shù)的觀點看一元二次不等式的前一節(jié)是從函數(shù)的觀點看一元二次方程,讓學生自己動手嘗試解決問題,預設學生會直接用二次函數(shù)的圖象解決問題,上課時可能會有學生將其轉化為一元一次不等式組去解決.課堂教學要尊重學生的認知規(guī)律,讓學生從中獲得成就感,然后把學生引導到這節(jié)課的重點上來,用函數(shù)的觀點看一元二次方程．這個過程可以培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理核心素養(yǎng).

四、觀察體會,歸納總結

師:試根據(jù)剛才第二種解不等式的情況,對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)，該如何求解呢?

生6:可以作出函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象，運用圖象來解決.

師(追問):那二次函數(shù)的圖象有幾類?

生6:三類．當Δ>0時,二次函數(shù)函數(shù)的圖象和x軸有2個交點,當Δ=0時，二次函數(shù)函數(shù)的圖象和x軸有一個交點,當Δ<0時,圖象和x軸沒有交點．

師(繼續(xù)追問)那么根據(jù)圖象寫出不等式的解集，我們需要知道什么?

生7:如果圖象與x軸有交點,必須知道交點的橫坐標．

師(繼續(xù)追問)如何求圖象與x軸交點的坐標?

生8:解一元二次方程ax2+bx+c=0.

師:很好!然后根據(jù)圖象我們就可以寫出不等式的解集．下面請一位同學到黑板上完成下表.

Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的圖象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集

設計意圖通過上面不等式的求解,學生自己可以體會數(shù)形結合的思想,同時更能感受三個二次之間的關系.此時,教師趁熱打鐵,通過設計問題串,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．這個過程可以培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)．

五、優(yōu)化思維,規(guī)范步驟

例1求不等式-x2+2x+3>0的解集.

師:哪位同學說一下解法.

生9:方程-x2+2x+3=0的解為x1=-1,x2=3,根據(jù)y=-x2+2x+3的圖象,可得原不等式的解集為{x|-1

師:很好!這位同學借助于開口向下的拋物線圖象得到解集．有沒有其它解法?

生10:不等式兩邊同乘以-1,得x2-2x-3<0.方程x2-2x-3=0的解為x1=-1,x2=3,根據(jù)y=x2-2x-3的圖象,可得原不等式的解集為{x|-1

師:很好!該同學把二次項系數(shù)變正,然后轉化為前面研究的開口向上得拋物線去研究．

例2求不等式4x2-4x+1>0的解集.

例3求不等式x2-2x+2>0的解集.

生12:因為Δ<0,所以方程x2-2x+2=0沒有實數(shù)根．根據(jù)y=x2-2x+2的圖象可得原不等式的解集為R.

師:很好!同學已經(jīng)能利用圖象很熟練地解決一元二次不等式,你能總結出解一元二次不等式的一般步驟嗎?

生13:解一元二次不等式的步驟:

① 先把不等式中二次項系數(shù)化為正數(shù);

② 計算Δ=b2-4ac,解對應的一元二次方程;

③ 根據(jù)對應方程的根的情況,結合不等號的方向,寫出不等式的解集.

設計意圖通過幾個具體的不等式的求解,引導學生尋求更一般的解法,讓學生體會從特殊到一般的認知規(guī)律.對于一元二次不等式的求解,其書寫格式也需規(guī)范,通過教師板書予以示范.從求解過程中,提煉出解題步驟,形成方法,從感性認識上升到理性認識.解后反思應形成習慣,這對于學生以后的學習也是一種幫助.

練習1求不等式4x2-4x>15的解集.

練習2求不等式13-4x2>0的解集.

六、探究提高,深化理解

(1)ax2+bx+c>0對一切x都成立的條件是什么?

(2)ax2+bx+c<0對一切x都成立的條件是什么?

設計意圖前面一直是給出不等式然后求解,而當我們知道一個不等式的解后,能否得到這個不等式呢?這個問題的設置對于學生進一步理解三個二次之間的關系大有幫助.而開放性問題的設置,也使得學生的思維空間更廣闊.

七、課堂小結

(1)通過這堂課,你學到了什么?

生14:利用圖象解一元二次不等式.

生15:數(shù)形集合的數(shù)學思想方法.

生16:等價轉化的數(shù)學思想方法.

……

設計意圖讓學生自己總結所學知識,既可以調(diào)動學生的積極性,又可以引導學生主動進行知識的結構化梳理,使學生形成完善的一元二次不等式的解法的認知結構．通過引導學生從思想方法總結,可以讓學生進行深度思考與交流,培養(yǎng)學生抽象概括的能力,能有效促進數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．

數(shù)學是思維的科學,數(shù)學教育的價值是發(fā)展人的思維能力,數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學.因此,在數(shù)學教學中必須讓學生有實質(zhì)性的思考．章建躍博士說過“從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的合理性,學生思維的合理性上加強思考,這是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵點”.本節(jié)課通過設置問題情境,借助學生之間的相互合作與交流,引導學生自主探索,讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的全過程,并且抽象出一般規(guī)律的學習過程,使學生在學習知識的過程中學會思考,從而將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處．