芻議數(shù)學(xué)解題中的辯證關(guān)系

王高明

(江蘇省清河中學(xué),223001)

數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,解題方法也多種多樣,有時(shí)一個(gè)方法能解多個(gè)題目,有時(shí)一個(gè)題目能用多種方法來解,有時(shí)一種方法只能解一個(gè)題目,有時(shí)題目類似卻不能用同一種方法來解.

其實(shí),如果利用唯物辯證法的觀點(diǎn)來審視數(shù)學(xué)解題,那么不難發(fā)現(xiàn),許多解題方法并不是孤立的,方法之間往往存在著某種聯(lián)系,甚至存在著某種辯證關(guān)系.在解題教學(xué)中，如果能正確揭示這些關(guān)系,那么對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力無疑將會(huì)有很大幫助.本文就一些常見的問題和解法進(jìn)行探究.

一、特殊與一般

一般包含特殊,特殊反映一般,沒有特殊也就沒有一般.一般與特殊的關(guān)系,既相互區(qū)別又相互聯(lián)系,二者是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系.解數(shù)學(xué)題時(shí),有時(shí)會(huì)從特殊到一般進(jìn)行推理,有時(shí)又會(huì)從一般到特殊進(jìn)行推理.

二、整體與部分

事物是由各個(gè)部分構(gòu)成的,不僅各個(gè)部分之間存在著相互聯(lián)系,而且整體與部分之間也存在著相互聯(lián)系.整體與部分的關(guān)系,既相互區(qū)別又相互聯(lián)系,二者是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系.在解數(shù)學(xué)題時(shí),有時(shí)可以從整體出發(fā),有時(shí)又可以從部分出發(fā).

例3在高三(4)班元旦晚會(huì)上,有6個(gè)演唱節(jié)目,4個(gè)舞蹈節(jié)目.

(1)若4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起,則有多少種不同的節(jié)目安排順序?

(2)若已定好節(jié)目單,后來情況有變,需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)節(jié)目,但不能改變?cè)瓉砉?jié)目的相對(duì)順序,則有多少種不同的節(jié)目演出順序?

評(píng)析問題(1)的解題思路是先捆后松,相當(dāng)于先整體后部分;問題(2)的解題思路也是先整體后部分.不過,問題(2)還有另一種思路,即插空.由于不能改變?cè)瓉砉?jié)目的相對(duì)順序,可以認(rèn)為該部分已排好,故只要把后加的節(jié)目排好即可.

三、共性與個(gè)性

一般對(duì)象的性質(zhì)稱為共性,是個(gè)別事物之間共同的本質(zhì);特殊對(duì)象的性質(zhì)稱為個(gè)性,是一事物區(qū)別于其它事物的特殊性質(zhì).共性寓于個(gè)性之中,沒有個(gè)性也就沒有共性.共性與個(gè)性的關(guān)系,既相互區(qū)別又相互聯(lián)系,二者是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系.解數(shù)學(xué)題時(shí),既要突出抓事物的共性,但又不能忽視事物的個(gè)性.

例4(2021年全國(guó)高考題)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( )

(A) eb

(C) 0

評(píng)析上面的解法是通法,是共性,是解決這類問題的一般思路.但本題是選擇題,故還可以考慮個(gè)性,考慮特殊方法,可用估算法來求解.若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則點(diǎn)(a,b)應(yīng)在曲線y=ex的下方,且在x軸的上方,可得0

四、分析與綜合

分析，一般是從目標(biāo)出發(fā),執(zhí)果索因;綜合，一般是從條件出發(fā),由因?qū)Ч?如果分析是拆解,那么綜合就是組裝.分析與綜合的關(guān)系,既相互區(qū)別又相互聯(lián)系,二者是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系.解數(shù)學(xué)題時(shí),有時(shí)可以用綜合法,有時(shí)可以用分析法,有時(shí)還可以將兩者結(jié)合起來使用.

評(píng)析分析和綜合是兩種常見的思維方法,對(duì)一些較難的題目,往往會(huì)先分析后綜合.又由于一些學(xué)生在使用分析法時(shí),會(huì)將執(zhí)果索因?qū)懗捎梢驅(qū)Ч?故提倡用分析法尋找思路,用綜合法表述解題過程.

五、運(yùn)動(dòng)與靜止

物質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的,沒有不運(yùn)動(dòng)的物質(zhì),故運(yùn)動(dòng)是普遍的、永恒的和無條件的,因而是絕對(duì)的.靜止是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形態(tài),靜止總是暫時(shí)的、有條件的,因而是相對(duì)的.運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和靜止的相對(duì)性是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系.解數(shù)學(xué)題時(shí),有時(shí)會(huì)動(dòng)中取靜,以靜制動(dòng);有時(shí)又會(huì)靜中求變,以變尋靜.

評(píng)析本題就是讓靜的問題動(dòng)起來,在運(yùn)動(dòng)變化過程中確定靜的狀態(tài).不過,也有些題目本身就是動(dòng)態(tài)的,這往往需要在變化中尋找不變的因素,在靜態(tài)中尋找問題的突破口.

(A) 存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直

(B) 存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直

(C) 存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直

(D) 對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

思路探求作AH⊥BD,交BD于點(diǎn)H,延長(zhǎng)AH至點(diǎn)E,使AH=HE.則?ABD在翻折過程中,點(diǎn)A的軌跡是一個(gè)圓,其在平面BCD上的射影A′始終在線段AE上.故要研究平面的一條斜線與平面內(nèi)的一條直線是否垂直,只需要研究這條斜線在平面內(nèi)的射影與這條直線是否垂直.易知選B.這里的線段AE就是不變的因素,就是解題的突破口.

六、分與合

這里的分是指變形方式或分類方式,比如將某個(gè)變量或某個(gè)部分從關(guān)系式中分離出來,或?qū)⑹挛锓殖蓭撞糠?分與合(不分),既相互區(qū)別又相互聯(lián)系,二者是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系.解數(shù)學(xué)題時(shí),有時(shí)需要分,有時(shí)又需要合.

評(píng)析所謂分離參數(shù)法,一般是指通過等價(jià)變形,將參數(shù)分離到等式或不等式的一側(cè)來研究.由于研究一個(gè)變量要比同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)變量來得簡(jiǎn)單,故為多數(shù)學(xué)生所首選.但事物是復(fù)雜的,不是所有的含參問題都能用分離參數(shù)法來做.如下面的問題:已知函數(shù)f(x)=xex-x-ax2.當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.本題宜直接求解:f(x)=x(ex-1-ax),令g(x)=ex-1-ax,則g′(x)=ex-a.若a≤1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,而g(0)=0,故當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),g(x)≥0,即f(x)≥0; 若a>1,則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,又g(0)=0,故當(dāng)x∈[0,lna)時(shí),g(x)